混合網(wǎng)絡(luò)中疾病傳播的數(shù)值模擬

吳 曉

(海南醫(yī)學(xué)院物理教研室，海口 571199)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究一直以來(lái)都是人們關(guān)注的重要課題[1-2]，如復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的疾病傳播[3-4]與控制、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步[5]等。設(shè)計(jì)與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)更為接近的網(wǎng)絡(luò)模型是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。目前，規(guī)則網(wǎng)絡(luò)、ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)、NW小世界網(wǎng)絡(luò)、Scale-free無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)、衰減網(wǎng)絡(luò)[6]、等級(jí)網(wǎng)絡(luò)[7]等都是比較實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)模型。從這些網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)可以看出，其具有與實(shí)際相符的內(nèi)在演化機(jī)制，如規(guī)則、隨機(jī)、偏好、衰減、等級(jí)等，因此提出與實(shí)際人群關(guān)系網(wǎng)絡(luò)更為接近的網(wǎng)絡(luò)模型，更能準(zhǔn)確反映實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)涮匦院拖嚓P(guān)動(dòng)力學(xué)?，F(xiàn)實(shí)生活中，人群交往在一個(gè)小的人群范圍內(nèi)，人與人彼此都認(rèn)識(shí)，他們之間的交往可能按照偏好機(jī)制，當(dāng)人群范圍擴(kuò)大，人與人之間就不可能都認(rèn)識(shí)，那么他們的交往就可能部分是隨機(jī)的、偶然的，也可以理解為現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)不僅有節(jié)點(diǎn)的偏好連接，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增加到一定范圍后，也有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)連接。

1 網(wǎng)絡(luò)模型

開(kāi)始時(shí)網(wǎng)絡(luò)中有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，彼此任意連接(不重連，m=3)。

當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量大于N0=1000，以p的概率節(jié)點(diǎn)增加的偏好連接，以1-p概率節(jié)點(diǎn)內(nèi)部隨機(jī)連邊(不重連)，連邊數(shù)量與偏好連接數(shù)量相等。

網(wǎng)絡(luò)按步驟循環(huán)，直到達(dá)到規(guī)定節(jié)點(diǎn)數(shù)量N。

為了與實(shí)際網(wǎng)絡(luò)吻合，內(nèi)部連邊概率不宜過(guò)大(p≤0.5)，否則網(wǎng)絡(luò)會(huì)趨近隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)(也就是p=0)。

2 數(shù)值模擬結(jié)果與討論

2.1 度分布與平均度

在有限尺度的均勻網(wǎng)絡(luò)(隨機(jī)網(wǎng)絡(luò))和非均勻網(wǎng)絡(luò)(無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò))中，平均度與度分布P(k)是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的重要參數(shù)，也是對(duì)流行病傳播動(dòng)力學(xué)影響比較大的因素[8-9]。從圖1來(lái)看，當(dāng)概率p=1時(shí)，網(wǎng)絡(luò)是BA網(wǎng)絡(luò)，度分布呈冪率分布γ=-3，當(dāng)概率p=0.7和p=0.5時(shí)，偏好連接減小，隨機(jī)內(nèi)部連邊增加時(shí)，度分布P(k)冪率分布的情況不再保持，曲線尾部開(kāi)始轉(zhuǎn)向隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的度分布—泊松分布，也是網(wǎng)絡(luò)由非均勻網(wǎng)絡(luò)向均勻網(wǎng)絡(luò)過(guò)渡，其中p=0.7時(shí)，網(wǎng)絡(luò)度分布呈現(xiàn)與實(shí)證合作網(wǎng)相同的度分布，由此可以推斷實(shí)際網(wǎng)絡(luò)應(yīng)該是這兩種機(jī)制共存的混合網(wǎng)絡(luò)。圖2中，當(dāng)概率p=1時(shí)，平均度=6，隨著概率p減小，隨機(jī)內(nèi)部連邊增加，平均度也逐漸增加，且呈非線性變化。

圖1 不同概率p下的度分布P(k)Fig.1 P(k) under different p

圖2 平均度隨概率p變化曲線Fig.2 Curve of the changes of with p

2.2 傳播動(dòng)力學(xué)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病傳播動(dòng)力學(xué)基于流行病模型，常見(jiàn)的流行病模型有：SI、SIS、SIR(S 代表易感人群 ，I 代表感染人群，R 為免疫人群)，選取了這三種經(jīng)典流行病模型進(jìn)行模擬研究。

2.2.1 SI模型

在SI模型中，總?cè)藬?shù)N(也就是網(wǎng)絡(luò)的尺度)被認(rèn)為是常數(shù)，S(t)和I(t)是易感染個(gè)體和染病個(gè)體的數(shù)量，相應(yīng)的N=S(t)+I(t)。在SI模型中，傳播概率被定義為λ, 易感染個(gè)體通過(guò)其染病近鄰個(gè)體而被感染，同時(shí)，模型中的染病個(gè)體始終保持染病狀態(tài)，不能康復(fù)。在SI流行病模型的模擬中，選取了N=10 000，隨機(jī)選擇初始染病節(jié)點(diǎn)50個(gè)，傳播概率λ=0.01進(jìn)行模擬，ρI代表染病節(jié)點(diǎn)數(shù)占總數(shù)的比例(染病節(jié)點(diǎn)的密度)。

從圖3來(lái)看，隨著概率p的減小，隨機(jī)連邊增加，節(jié)點(diǎn)染病密度ρI隨時(shí)間演化曲線保持一致，但流行病蔓延整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間縮短，p=1,t≈150；p=0.5,t≈100。從三者曲線比較來(lái)看，在每一個(gè)時(shí)間步，p=0.5的概率所占據(jù)的染病節(jié)點(diǎn)密度最大。因此，此類流行病爆發(fā)后，盡量減少與陌生人接觸(節(jié)點(diǎn)的隨機(jī)加邊)，是控制此類疾病傳播范圍的有效措施。

圖3 節(jié)點(diǎn)染病密度ρ(I)隨時(shí)間t的變化曲線Fig.3 Changing curve of ρ(I) with t

2.2.2 SIS模型

在SIS傳播模型中，個(gè)體在網(wǎng)絡(luò)中的狀態(tài)是一個(gè)循環(huán)的過(guò)程：易感染態(tài)—感染態(tài)—易感染態(tài)。在每一個(gè)時(shí)間步，每一個(gè)易感染節(jié)點(diǎn)被其一個(gè)或多個(gè)染病近鄰以概率ν感染，同時(shí)染病的個(gè)體以δ(一般情況下，取δ=1)的概率被治愈或再次變成易感染的狀態(tài)。SIS模型中，有效的傳播概率定義為：λ=ν/δ，染病個(gè)體的密度(染病個(gè)體數(shù)目占總?cè)藬?shù)的比例)ρI。在SIS流行病模型的模擬中，選取N=10 000，隨機(jī)選擇初始染病節(jié)點(diǎn)為 50個(gè)，感染概率ν，康復(fù)概率δ=1進(jìn)行模擬，有效的傳播概率為：λ=ν/δ=ν/1=ν,ρI代表感染節(jié)點(diǎn)數(shù)占總數(shù)的比例(染病節(jié)點(diǎn)的密度)。

從圖4整體上可以看出，流行病傳播到一定時(shí)間會(huì)形成穩(wěn)態(tài)，疾病以一定的密度ρI維持在人群網(wǎng)絡(luò)中，不會(huì)消失。概率p的變化不影響染病節(jié)點(diǎn)密度ρI隨時(shí)間變化的曲線形態(tài)。在有效傳播概率λ一定，隨著概率p的減小，染病節(jié)點(diǎn)形成穩(wěn)態(tài)的密度會(huì)逐步增加，從p=1,ρ(I)≈0.08增加到p=0.5,ρ(I)≈0.28。在圖5中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)概率p減小，隨機(jī)加邊增加，不同疾病傳播概率(λ=0.5)情況下，穩(wěn)態(tài)密度隨概率p存在近似的線性變化。

圖4 有效傳播概率λ=0.1，不同概率p下穩(wěn)態(tài)密度ρ(I)變化曲線Fig.4 Changing curve of steady state density ρ(I) under the condition of effective communication λ=0.1 and different p

圖5 不同概率p下，傳播概率λ與穩(wěn)態(tài)密度ρ(I)變化曲線Fig.5 Changing curve of steady state density ρ(I) under the condition of different p and communication probability λ

圖6 傳播臨界值λC隨概率p變化曲線Fig.6 Curve of spread critical value λC with p

2.2.3 SIR模型

在SIR傳播模型中，R為免疫態(tài)，即治愈后并獲得免疫能力的個(gè)體，這類節(jié)點(diǎn)不具有傳染能力。實(shí)際生活中，水痘這類治愈后獲得免疫的傳染病，往往可以用SIR模型來(lái)描述。在每一個(gè)時(shí)間步，每一個(gè)易感染節(jié)點(diǎn)被其一個(gè)或多個(gè)染病近鄰以概率ν感染，同時(shí)染病的個(gè)體以δ的概率被治愈并不再被傳染。三種狀態(tài)個(gè)體的密度S(t)，R(t)，I(t)隨時(shí)間變化的曲線如圖7、8所示。選取N=10 000，隨機(jī)選擇初始染病節(jié)點(diǎn)為 50個(gè)，(1)感染概率ν=0.1，康復(fù)概率較小δ=0.02進(jìn)行模擬，見(jiàn)圖7。(2)感染概率ν=0.1，康復(fù)概率較小δ=0.3進(jìn)行模擬，見(jiàn)圖8。兩者圖像整體比較，康復(fù)概率較小和康復(fù)概率較大，R態(tài)呈現(xiàn)出不同的變化曲線。從圖7來(lái)看，S態(tài)節(jié)點(diǎn)最終在網(wǎng)絡(luò)中不存在，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)只存在I態(tài)和R態(tài)，當(dāng)康復(fù)概率較小時(shí)，概率p減小，隨機(jī)連邊增加，三種狀態(tài)整體曲線形態(tài)沒(méi)有改變，S態(tài)節(jié)點(diǎn)密度在相對(duì)消亡時(shí)間上有所延長(zhǎng)(p=1,t=9；p=0.5,t=25)，I態(tài)節(jié)點(diǎn)密度減小，R態(tài)節(jié)點(diǎn)密度近似線性增加。從圖8來(lái)看，有小部分S態(tài)節(jié)點(diǎn)存在網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)概率p減小，隨機(jī)連邊增加，I態(tài)節(jié)點(diǎn)消亡時(shí)間上縮短，S態(tài)節(jié)點(diǎn)密度會(huì)減小(p=1,ρ(S)≈0.39；p=0.5,ρ(S)≈0.19)，R態(tài)節(jié)點(diǎn)密度增加，I態(tài)節(jié)點(diǎn)最終在網(wǎng)絡(luò)中消亡，網(wǎng)絡(luò)中只存在S態(tài)和R態(tài)的節(jié)點(diǎn)?？梢哉f(shuō)，大的康復(fù)概率對(duì)疾病的消亡更有利，當(dāng)然這取決于更有效的免疫藥物、更好的醫(yī)療水平能讓病人在短時(shí)間內(nèi)康復(fù)。

圖7 感染概率ν=0.1，康復(fù)概率δ=0.02不同概率p下S、I、R態(tài)密度隨時(shí)間變化曲線Fig.7 Changing curve of S, I and R density state with time under the condition of infection probability ν=0.1, recovery probability δ=0.02 and different p

圖8 感染概率ν=0.1 康復(fù)概率 δ=0.3不同概率p下S、I、R態(tài)密度隨時(shí)間變化曲線Fig.8 Changing curve of S, I and R density state with time under the condition of infection probability ν=0.1, recovery probability δ=0.3 and different p

3 總結(jié)

提出隨機(jī)和偏好機(jī)制共存的網(wǎng)絡(luò)-混合網(wǎng)絡(luò)，并在此網(wǎng)絡(luò)上數(shù)值模擬流行病傳播的相關(guān)過(guò)程，發(fā)現(xiàn)概率p減小，隨機(jī)連邊增加，會(huì)帶來(lái)SI型疾病傳播時(shí)間縮短、SIS型疾病中節(jié)點(diǎn)染病密度增加、傳播閾值λC減小等相關(guān)不利影響，但在SIR型疾病中會(huì)有相反的變化：感染概率一定，較小的恢復(fù)概率中，I態(tài)密度減??；較大的恢復(fù)概率中，I態(tài)消亡時(shí)間縮短，依此理論來(lái)指導(dǎo)實(shí)際的疾病預(yù)防工作，具有一定的參考價(jià)值。