高考數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的研究及啟示

才讓當(dāng)知

（甘南自治州合作市高級(jí)中學(xué) 甘肅甘南 747000）

數(shù)形結(jié)合的思想在我們高中數(shù)學(xué)是非常重要的思想之一，簡單來說就是數(shù)與形的有機(jī)地結(jié)合來解決問題，達(dá)到數(shù)與形的完美地結(jié)合，以數(shù)制型，以形得數(shù)。數(shù)學(xué)是以“數(shù)”與“形”為基本研究對(duì)象的自然科學(xué)，該學(xué)科內(nèi)容在現(xiàn)實(shí)生活中得到廣泛應(yīng)用的同時(shí)，也對(duì)社會(huì)發(fā)展發(fā)揮著重要的推動(dòng)作用。將圖形和數(shù)式進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化，可以讓獲取的數(shù)量關(guān)系更加精準(zhǔn)，以便得出準(zhǔn)確的數(shù)字結(jié)論。數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)信息的相互轉(zhuǎn)化，為學(xué)生解題提供了新的解題方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。

一、數(shù)形結(jié)合思想的意義

（一）化抽象為形象

隨著我國教育水平的不斷發(fā)展和要求，數(shù)學(xué)作為學(xué)生高中階段的基礎(chǔ)學(xué)科，教師要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)模式來適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出的新要求。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，將教學(xué)的重點(diǎn)放在對(duì)學(xué)生理解能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng)上面。教師可將數(shù)形結(jié)合的思想靈活應(yīng)用于教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生能夠真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)化，使其根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建出對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)圖像。與此同時(shí)，采用該方法，可以讓學(xué)生解決問題的道路更加寬廣。原本抽象的問題內(nèi)容也會(huì)變得更加簡單，學(xué)生圖形與數(shù)式相結(jié)合的能力也會(huì)有所提升。另一方面，通過將高考與該思想結(jié)合，學(xué)生的想象能力、思維能力以及抽象能力都可以得到有效培養(yǎng)，在層層遞進(jìn)的推理關(guān)系中，學(xué)生的思維能力也會(huì)得到極大拓展[1]。

（二）有助于初高中知識(shí)的銜接

數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透，能夠讓學(xué)生盡早樹立數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，使其在未來的學(xué)習(xí)中有更好的方式解決問題，實(shí)現(xiàn)初高中知識(shí)的有效銜接，也讓高中知識(shí)和初中知識(shí)可以融會(huì)貫通。初中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性較強(qiáng)，且概念性也比較突出，解題方法的模仿性方面也很強(qiáng)，教學(xué)的實(shí)際中，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的思維能力、空間構(gòu)造能力與計(jì)算能力等。學(xué)生歷經(jīng)必要的過渡期之后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也就會(huì)更加順利，數(shù)形結(jié)合思想也能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知更加深刻。

（三）有助于培養(yǎng)學(xué)生解題意識(shí)

數(shù)形結(jié)合意識(shí)在學(xué)生腦中的滲透絕不僅僅是簡單的理論講解即可，而是需要教師將其應(yīng)用到實(shí)際的教學(xué)中，讓學(xué)生能夠洞悉數(shù)形結(jié)合思想的深意，學(xué)會(huì)分析問題并解決問題。在教師潛移默化的培養(yǎng)下，學(xué)生也能學(xué)會(huì)立足于不同視角，去分析數(shù)學(xué)問題，將解題中的障礙一一掃除。經(jīng)過實(shí)際的教學(xué)來看，將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)解題中，可以讓學(xué)生對(duì)較為抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加了解，也可以進(jìn)一步深化學(xué)生的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)[2]。

（四）有助于提升學(xué)生應(yīng)用能力

數(shù)形結(jié)合的思想在學(xué)生學(xué)習(xí)中的滲透絕不是一朝一夕可以完成的，學(xué)生也無法在短時(shí)間內(nèi)形成一種超能力。想要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，就需要教師真正將數(shù)與形能夠結(jié)合起來，讓學(xué)生可以應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)問題。另一方面，教師還要將數(shù)形結(jié)合的思想滲透于學(xué)習(xí)的全過程中，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)能夠減輕，并進(jìn)一步提升學(xué)生的主動(dòng)性與積極性。

二、高考數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透

例1：（2017年全國卷Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=ax2-axxlnx，且f(x)≥0。

（1）求a。

（2）證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2＜f(x0)＜2-2。

分析：針對(duì)本題的求解主要思路如下：第一，已知條件提到f(x)≥0是恒成立的，一般這類題型需要求出a的取值區(qū)間。根據(jù)題干，由于本題要求明確a的值，所以可對(duì)函數(shù)f(x)圖像和x軸的關(guān)系進(jìn)行預(yù)判，即相切，并且切點(diǎn)之外的所有點(diǎn)都應(yīng)該落于x軸的上方，所以遷移分拆的兩個(gè)函數(shù)圖象也具備同樣特征；第二，f(x)有唯一極大值x0存在，這就代表該函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，圖象最終呈現(xiàn)為“N”或“反N”型；第三，最后想要證明不等式成立，就需要參考已經(jīng)求出的數(shù)值和已證結(jié)論，選擇適宜的方法。

（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）假設(shè)x0是f(x)的零點(diǎn)之一，證明y=lnx在點(diǎn)A（x0，lnx0）處的切線也是曲線y=ex2的切線。

分析：根據(jù)本題已知的條件，完成（1）的求解時(shí)，可采用下列三種方式解，具體如下。

第一種思路：學(xué)生可以先求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，再參照定義域來對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行斟酌。學(xué)生可以先畫出f(x)的圖形，選擇部分較為特殊的函數(shù)值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，來驗(yàn)證函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。在實(shí)際的求解中，大部分考生可能因多種原因，并沒有想到將函數(shù)畫出圖形。事實(shí)上，根據(jù)函數(shù)的圖像，才更容易聯(lián)想到一些具有特殊性的數(shù)值。在考生熟知且和題目密切相關(guān)的內(nèi)容輔助下，解題過程將會(huì)更加順利。因此，我們也可以理解為圖形猶如一根杠桿，具有四兩撥千斤的作用，可為考生順利求解指引方向。

第二種思路：如第一種思路，同樣需要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并定義域結(jié)合來對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行預(yù)判，再畫出函數(shù)圖形，以此求出極值，并將其與0進(jìn)行對(duì)比，得到大小的結(jié)論。隨后，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，來驗(yàn)證函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。在實(shí)際的解題中，需要學(xué)生注意的是x→0+是指變量x從0的右側(cè)逐漸趨向于0，以此類推同理可得。這種方式是將解法1逐漸地推向于極限情形，對(duì)于解決問題可以產(chǎn)生直接作用，需要考生具備扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推理能力。

在對(duì)第（2）題求解時(shí)，由于函數(shù)的抽象性極為顯著，并且成為了很多學(xué)生學(xué)習(xí)路上的攔路虎，所以往往是學(xué)生感到極度頭疼的問題。但本題中，如果應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，則可以順利解決存在的問題。通過數(shù)形結(jié)合，原本抽象的題干意思直觀地呈現(xiàn)了出來，并且也不再復(fù)雜，學(xué)生理解起來也更加容易。按照?qǐng)D象，就可以求得切線斜率是1x0，相關(guān)問題也就自然而然地解決了。

三、高考例題中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的啟示

（一）數(shù)學(xué)概念與數(shù)形結(jié)合思想的融合

高中數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容較為廣泛，其中數(shù)學(xué)概念就占據(jù)了一定比例。可以說，數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，更是數(shù)學(xué)內(nèi)容的基本元素，如果學(xué)生能夠深入理解相關(guān)概念，有利于其對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式的理解，也能夠讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從感性到理性的飛升。所以筆者從教師教學(xué)中可以將數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用于數(shù)學(xué)課程，給學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠主動(dòng)探尋事物內(nèi)在的聯(lián)系，總結(jié)其本質(zhì)特征。在不斷地積累和總結(jié)中，學(xué)生的表達(dá)能力可以有效增強(qiáng)，對(duì)此學(xué)生也能夠更好地理解數(shù)學(xué)題目，對(duì)數(shù)學(xué)思想更加了解[3]。

（二）數(shù)學(xué)例題與數(shù)形結(jié)合思想的融合

高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，有效運(yùn)用案例是很重要的一個(gè)部分。在案例分析中，教師可以將新知識(shí)融入其中，學(xué)生不僅可以鞏固已學(xué)知識(shí)，還能夠?qū)φ莆战忸}的技巧，以此提升自己的解題能力。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)課程中的重要思想之一，想要培養(yǎng)學(xué)生該思想，就要將其融入例題分析中，加深學(xué)生的印象，讓其知道數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該用在哪一類的解題中，致力于提升自身的綜合能力。

（三）數(shù)學(xué)實(shí)踐與數(shù)形結(jié)合思想的融合

數(shù)學(xué)教學(xué)除了課堂上的集體授課，教師也會(huì)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容適當(dāng)組織教學(xué)活動(dòng)，以實(shí)踐驗(yàn)證真知，在實(shí)踐中獲得的感悟?qū)?huì)更加深刻。基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)，學(xué)生要對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有深刻的認(rèn)識(shí)，并掌握應(yīng)用技巧。教師可根據(jù)學(xué)生的身心特點(diǎn)和愛好，開展不同的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生可以積極地參與進(jìn)來。在不斷地探索進(jìn)程中，學(xué)生也可以對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的了解更深，內(nèi)心的興趣也被激發(fā)出來，調(diào)動(dòng)起自己的學(xué)習(xí)積極性，提升整體的教學(xué)質(zhì)量[4]。

（四）數(shù)學(xué)方法與數(shù)形結(jié)合思想的融合

在數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法應(yīng)用中，主要采取圖形。具體來講，數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的應(yīng)用，借助于直觀的圖形表達(dá)知識(shí)點(diǎn)的深層含義。首先，數(shù)形結(jié)合意識(shí)是教師所具備的，教學(xué)工具主要采取的是圖形，對(duì)學(xué)生的圖形感知能力進(jìn)行培養(yǎng)：學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問題時(shí).首先分析采用數(shù)形結(jié)合方法是否可以對(duì)這道題進(jìn)行解決.將問題中隱藏條件給找出來，對(duì)相應(yīng)的圖形進(jìn)行繪制，這樣方可以正確解題。那么教師就需要對(duì)學(xué)生的數(shù)形互譯能力進(jìn)行培養(yǎng)；教師還可以應(yīng)用先進(jìn)的多媒體技術(shù)，將數(shù)形轉(zhuǎn)化過程展示給學(xué)生，促使學(xué)生空間立體思維能力的提高。

（五）提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的綜合能力

對(duì)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化和整合能力進(jìn)行訓(xùn)練。如果學(xué)生已經(jīng)具備基本繪圖能力，那么就需要引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化和整合數(shù)形，將數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法傳授給他們，用數(shù)解形，或者用形來助教。數(shù)解形就是數(shù)量化高中數(shù)學(xué)中的集合問題。通過數(shù)的計(jì)算或者簡化.對(duì)數(shù)學(xué)中的幾何問題進(jìn)行處理。向量法、三角方法和解析法等都可以來處理高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的幾何問題。比如，借助于向量法對(duì)幾何問題進(jìn)行解決.構(gòu)建圖形，就有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系形成于平面向量和坐標(biāo)之間，可以更好地進(jìn)行數(shù)的計(jì)算，降低問題難度。

（六）結(jié)合信息技術(shù)，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

目前，很多高中生在數(shù)學(xué)上都有一定的“畏難心理”。這是因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性和理論性，很多數(shù)學(xué)教師不知道如何通過適當(dāng)?shù)姆椒ń档蛯W(xué)生學(xué)習(xí)理論知識(shí)的難度。高中數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性導(dǎo)致很多缺乏抽象思維的學(xué)生學(xué)習(xí)困難，針對(duì)這種問題，教師充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的作用，通過視聽化教學(xué)語言的設(shè)計(jì)，使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加形象化，這樣不僅能夠深化學(xué)生的知識(shí)理解，同時(shí)還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、空間思維等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[5]。

以線與圓的方程式課程的教學(xué)活動(dòng)為例，在本課程中，筆者運(yùn)用PPT的動(dòng)畫效果，向?qū)W生演示了“現(xiàn)有的圓經(jīng)過A（5，8）點(diǎn)和B（9，4）點(diǎn)，圓心在y=0線上，求圓的方程式，同時(shí)，結(jié)合CAD繪圖軟件，為學(xué)生制作平面直角坐標(biāo)系，并通過精確的繪圖方式向?qū)W生展示數(shù)學(xué)模型。這樣，學(xué)生就可以在直觀的數(shù)學(xué)模型的影響下深化思維，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（七）結(jié)合學(xué)生差異，培養(yǎng)核心素養(yǎng)

課堂訓(xùn)練對(duì)學(xué)生鞏固知識(shí)很有幫助。但是在數(shù)學(xué)課堂訓(xùn)練活動(dòng)的設(shè)計(jì)上，我們要避免學(xué)生形成疲憊感，由于學(xué)生思維能力和學(xué)習(xí)特點(diǎn)的差異性，教師在設(shè)計(jì)課堂訓(xùn)練內(nèi)容的過程中也要堅(jiān)持層次性的特點(diǎn)，逐漸提高數(shù)學(xué)訓(xùn)練活動(dòng)的難度，通過階梯式的數(shù)學(xué)訓(xùn)練內(nèi)容逐步調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與度，吸引學(xué)生的注意力、培養(yǎng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)訓(xùn)練的新型，促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高[6]。數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)信息的相互轉(zhuǎn)化，為學(xué)生解題提供了新的解題方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。

例如，在進(jìn)行“數(shù)列”課程的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，筆者為基礎(chǔ)較差的學(xué)生設(shè)計(jì)了這樣的練習(xí)：“數(shù)列的公式{an}為an=13N，找出數(shù)列的前五項(xiàng)”。那么學(xué)生在面對(duì)這種相對(duì)簡單的數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)往往會(huì)產(chǎn)生一定的自信心，然后在此基礎(chǔ)上逐步增加數(shù)學(xué)習(xí)題的難度，這種方式可以有效地促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維核心素養(yǎng)。對(duì)于學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)例子：“判斷16和45是否是數(shù)列{3N+1}中的項(xiàng)目。如果是的話，請(qǐng)指出這兩個(gè)數(shù)字是第幾項(xiàng)？”這樣，筆者在這一階段不斷提高學(xué)生的知識(shí)拓展能力，通過層層設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)題目的方式，有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)信息的相互轉(zhuǎn)化，為學(xué)生解題提供了新的解題方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，促使抽象思維與形象思維完美地統(tǒng)一起來，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性，常常會(huì)讓學(xué)生陷入死胡同中，而這時(shí)數(shù)形結(jié)合思想的作用就被凸顯了出來。在解題過程中，筆者認(rèn)為學(xué)生應(yīng)該演算、思考與畫圖同步進(jìn)行，在畫出和其相匹配的圖形之后，利用數(shù)形結(jié)合的思想，讓原本復(fù)雜的問題變得更加簡單，不但可以讓學(xué)生快速抓住銜接點(diǎn)，探尋到有效的解題思路，弄清楚問題所要求得的真相，還能夠讓學(xué)生在解題中不再畏懼?？傊處熢谌粘＝虒W(xué)中應(yīng)該將該思想和高考結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，并且提高解題的效率。