長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金的設(shè)計(jì)與價(jià)值測(cè)度

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(天津財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津300222)

一、引 言

人口預(yù)期壽命的普遍延長(zhǎng)使“生命周期假說(shuō)”中退休階段的財(cái)富配置得到越來(lái)越多的關(guān)注，退休人員的財(cái)富衰減計(jì)劃(wealth decumulation)逐漸成為個(gè)人理財(cái)中的重要課題。年金作為養(yǎng)老金融產(chǎn)品，在老年人的生存期間定期提供支付以支撐其晚年消費(fèi)，即在保證了老年人每期消費(fèi)的同時(shí)覆蓋了全部的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。然而，現(xiàn)實(shí)中各國(guó)的年金市場(chǎng)發(fā)展的并不繁榮——這就是所謂的“年金之謎”?！澳杲鹬i”的形成有兩個(gè)方面的原因:第一，需求不旺盛:年金損害了老年人的流動(dòng)性偏好和遺產(chǎn)動(dòng)機(jī)，同時(shí)年金的價(jià)格很高;第二，供給非意愿:逆向選擇的長(zhǎng)期存在以及長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的凸顯，限制了壽險(xiǎn)公司對(duì)年金的供給。雖然學(xué)術(shù)界討論了兩種壽險(xiǎn)公司管理長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的途徑:再保險(xiǎn)和對(duì)沖，但是這兩種方法都會(huì)提高管理費(fèi)用，使年金價(jià)格進(jìn)一步升高;此外，這兩種方法的管理效果還沒(méi)有得到充分的現(xiàn)實(shí)考證。本文旨在通過(guò)長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金(LIDA)的設(shè)計(jì)，一方面轉(zhuǎn)移年金提供者承擔(dān)的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，另一方面，為年金購(gòu)買者提供價(jià)格較低的多樣化長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率的年金產(chǎn)品。

長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金(Longevity-Indexed Deferred Annuities)，是一種指數(shù)化變額年金產(chǎn)品，實(shí)現(xiàn)了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)在年金提供者和購(gòu)買者之間的轉(zhuǎn)移和分擔(dān)。以實(shí)際存活率與參照存活率的比值作為長(zhǎng)壽指數(shù)，表征系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。年金供給者將每期支付與長(zhǎng)壽指數(shù)掛鉤，將(部分)系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給年金購(gòu)買者。年金供給者承擔(dān)(部分)系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)、非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)(根據(jù)大數(shù)定律可充分分散)和利率風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)購(gòu)買者而言，LIDA的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率不再是100%，而是自身承擔(dān)了一部分系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，因此價(jià)格較低。本文利用保險(xiǎn)精算和動(dòng)態(tài)優(yōu)化數(shù)值方法計(jì)算一系列LIDA的價(jià)格和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率，購(gòu)買者可以根據(jù)自己的遺產(chǎn)動(dòng)機(jī)、流動(dòng)性要求等選擇不同風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率和價(jià)格的LIDA產(chǎn)品。

二、文獻(xiàn)綜述

從長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的角度，學(xué)者們研究了很多類型的年金產(chǎn)品。第一類是群體自年金化(GSA)或長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)池年金(longevity-risk pooling fund)。這一類年金最早由 Wadsworth et al［1］提出，之后 Piggott et al［2］進(jìn)行細(xì)致分析。GSA的風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)模式是年金持有人承擔(dān)系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，年金池負(fù)責(zé)分散非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，而年金提供者，在一定意義上來(lái)講，不承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)。Piggott et al［2］推導(dǎo)了構(gòu)成GSA價(jià)格的兩個(gè)調(diào)整因子在單一群體年金池、異質(zhì)群體年金池和死亡率預(yù)期改變等情況下的具體形式和支付路徑。Qiao和 Sherris［3］利用極值理論計(jì)算存活率的分布和年金價(jià)格，并在此基礎(chǔ)上測(cè)度GSA的風(fēng)險(xiǎn)池化效率，并量化了年金池的規(guī)模對(duì)風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)的影響。第二類年金產(chǎn)品是與死亡率有關(guān)的指數(shù)型年金。Richter和Weber［4］設(shè)計(jì)了死亡率指數(shù)年金并比較了傳統(tǒng)年金與死亡率指數(shù)年金對(duì)購(gòu)買者的吸引力。 Denuit et al［5］提出了長(zhǎng)壽指數(shù)年金，年金的支付與系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移都與長(zhǎng)壽指數(shù)相關(guān)，并對(duì)轉(zhuǎn)移的比例設(shè)定了上下限，這樣設(shè)計(jì)既能減輕年金供給者的負(fù)擔(dān)又能保證對(duì)年金購(gòu)買者的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋。

從消費(fèi)者購(gòu)買年金價(jià)格的角度開發(fā)年金產(chǎn)品，代表性的主要是Milevsky［6］年提出的通脹調(diào)整型延遲年金(ALDA)。這種年金在高齡階段(如80歲以后)才產(chǎn)生支付，價(jià)格低于普通年金，但能提供高齡階段的全部風(fēng)險(xiǎn)覆蓋。Scott［7］利用保險(xiǎn)價(jià)值原理分析了一類適合于不愿意完全年金化的老年人的年金產(chǎn)品——長(zhǎng)壽年金，即延遲支付的年金。數(shù)值計(jì)算認(rèn)為，用10%的財(cái)富購(gòu)買長(zhǎng)壽年金所得收益高于50%財(cái)富分配在即期年金上所得到的的收益。在ALDA的基礎(chǔ)上，Huang et al［8］開發(fā)了破產(chǎn)或有生命年金RCLA，其支付要延遲到一個(gè)預(yù)設(shè)的金融擴(kuò)散過(guò)程的觸零時(shí)刻才產(chǎn)生，文章用數(shù)值方法在一系列現(xiàn)實(shí)的參數(shù)下為RCLA定價(jià)。

Mitchell et al［9］在《美國(guó)經(jīng)濟(jì)評(píng)論》雜志上發(fā)表了一篇關(guān)于個(gè)人年金貨幣價(jià)值的文章。為計(jì)算年金的保險(xiǎn)價(jià)值，文章比較了退休人員年金化和非年金化兩種模式下的消費(fèi)效用，并利用兩種模式下達(dá)到相同最優(yōu)效用時(shí)的財(cái)富比值作為年金保險(xiǎn)價(jià)值的測(cè)度指標(biāo)。Brown和Poterba［10］同樣提到了“年金等價(jià)財(cái)富”的概念，即為了得到與全部年金化相同的效用，消費(fèi)者至少需要多少倍的非年金化財(cái)富。Gong和Webb［11］利用ADLA的年金等價(jià)財(cái)富與即期年金等價(jià)財(cái)富的比值作為衡量ADLA的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率的指標(biāo)，計(jì)算結(jié)果顯示，在購(gòu)買人85歲時(shí)，ADLA在滿足了購(gòu)買人流動(dòng)性要求的同時(shí)，提供了高于50%的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋。

綜上所述，GSA將所有長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移給購(gòu)買者承擔(dān)，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者的吸引力不大;長(zhǎng)壽指數(shù)年金通過(guò)設(shè)定上下限的方式約束了系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移比例，具有一定合理性。本文在設(shè)計(jì)長(zhǎng)壽指數(shù)時(shí)，從購(gòu)買者的角度考慮，只設(shè)定年金支付的下限。由于長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)一般在75歲之后才開始顯現(xiàn)，所以延遲年金相比即期年金而言可能將會(huì)更受投資者青睞。本文綜合以上兩種年金的支付形式，創(chuàng)新性地提出長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金，同時(shí)滿足了年金提供者的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移和年金購(gòu)買者的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋。

三、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移——LIDA的設(shè)計(jì)與定價(jià)

長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金包含了延遲年金和長(zhǎng)壽指數(shù)年金這兩種年金的支付特征。因此，為了更好的闡述LIDA，我們先分別探討即期年金(SPIA)、延遲年金(ALDA)和長(zhǎng)壽指數(shù)年金(LIA)的設(shè)計(jì)與定價(jià)，然后構(gòu)建LIDA的定價(jià)公式，最后做數(shù)值計(jì)算。

1.即期年金與延遲年金

即期年金(Single-Premium Immediate Annuity)是最簡(jiǎn)單的年金形式，退休人員在x歲購(gòu)買，從即期開始定期支付。在不確定生命周期下分析，x歲的人的預(yù)期余命用Tx表示，由生存概率tpx決定。因此，每期支付1元的即期年金的價(jià)格為:

延遲年金(Advanced-Life Delayed Annuity)是指老年人在x歲時(shí)購(gòu)買，在x+τ歲時(shí)開始支付。從這個(gè)意義上講，即期年金是延遲年金的特例，即當(dāng)τ=0時(shí)，延遲年金就退化成了即期年金。根據(jù)定義，1元延遲年金的價(jià)格為:

從另一個(gè)定價(jià)的角度看，ALDA的價(jià)格可以理解為將在x+τ歲購(gòu)買的SPIA貼現(xiàn)到x歲時(shí)的價(jià)值，即:

從(3)式可以看出，延遲年金的價(jià)格要小于即期年金的價(jià)格。

2.長(zhǎng)壽指數(shù)年金

長(zhǎng)壽指數(shù)年金的每期支付不再是定值，而是與真實(shí)存活率的預(yù)測(cè)值相關(guān)。真實(shí)存活率預(yù)期對(duì)參照存活率的偏離即為系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。利用長(zhǎng)壽指數(shù)L表征系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn):

tpx表示真實(shí)存活率的預(yù)測(cè)值，通過(guò)死亡率模型估算得到。表示參照存活率，由人壽保險(xiǎn)生命表計(jì)算得到。當(dāng)死亡率普遍下降，真實(shí)存活率上升，長(zhǎng)壽指數(shù)增大，年金產(chǎn)品的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)增大。為了轉(zhuǎn)移系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，LIA每期的支付設(shè)定為1/L，即當(dāng)預(yù)期存活率上升時(shí)，LIA的支付下降。

然而，年金購(gòu)買者不愿意承擔(dān)全部系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，為了保證年金購(gòu)買者的收益，本文設(shè)定年金支付的下限(如floor=0.8)，此時(shí)，長(zhǎng)壽指數(shù)年金的價(jià)格為:

由于死亡率普遍下降，長(zhǎng)壽指數(shù)幾乎不可能大于1，因此，與即期年金相比，長(zhǎng)壽指數(shù)年金的價(jià)格更低。同一年齡和利率下，LIA與SPIA的差別便可以作為年金供給者轉(zhuǎn)移給購(gòu)買者的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的度量。

3.長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金

綜合以上LIA與ALDA的支付特征，可以推導(dǎo)出LIDA的單位年金價(jià)格:

從公式來(lái)看，LIDA的價(jià)格比LIA更低，因此相較傳統(tǒng)的SPIA，LIDA在價(jià)格上更具吸引力。這一點(diǎn)我們將在下文的數(shù)值計(jì)算中充分體現(xiàn)。

需要說(shuō)明的是，在傳統(tǒng)年金中，年金提供者承擔(dān)所有風(fēng)險(xiǎn)——利率風(fēng)險(xiǎn)、系統(tǒng)性和非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)大量的年金合同進(jìn)行分散，利率風(fēng)險(xiǎn)和系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)是年金提供者風(fēng)險(xiǎn)管理的重點(diǎn)。為了闡述和計(jì)算簡(jiǎn)便，本文暫時(shí)不考慮利率風(fēng)險(xiǎn)，將利率設(shè)定為常數(shù)，單純考慮系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移和覆蓋在年金價(jià)格中的體現(xiàn)。

4.數(shù)值計(jì)算

(1)參數(shù)設(shè)定

首先，本文利用尚勤［14］構(gòu)造的死亡強(qiáng)度對(duì)生存概率進(jìn)行預(yù)測(cè)，具體形式為:

其中，λx(t)為x歲人口在第t年的死亡強(qiáng)度，服從帶跳躍的OU過(guò)程:

式中Wλ(t)表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，本文假定死亡率與金融資產(chǎn)收益率相互獨(dú)立，因此Wλ(t)與Wrt不相關(guān)。J(t)是純復(fù)合泊松跳躍過(guò)程，泊松到達(dá)強(qiáng)度為l＞0，跳躍幅度服從指數(shù)分布，其均值μ＜0。假設(shè)布朗運(yùn)動(dòng)、泊松過(guò)程和跳躍過(guò)程相互獨(dú)立。

利用《中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表(2000-2003)》中養(yǎng)老金業(yè)務(wù)男表的數(shù)據(jù)估計(jì)出參數(shù)值為:μ =-0.00038，a=0.07698，l=0.00256，σ =0.00031［14］。qx為死亡率，由生命表查得。通過(guò)(8)式可以計(jì)算x歲的男性人口在未來(lái)生存期間(105-x)年的存活率(生命表中的最大年齡為105歲)。

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最后，利率設(shè)為定值，r分別取0.03，0.04，0.05。在計(jì)算LIDA價(jià)格時(shí)，年金支付下限分別設(shè)定為floor=0.8，0.7，0.6。延遲時(shí)間分別設(shè)定為 τ=10，15，20，25，30。

(2)本文利用數(shù)值法在離散時(shí)間下計(jì)算60歲男性人口購(gòu)買年金的價(jià)格，結(jié)果如表1。

表1 LIDA年金價(jià)格

從總體上看，折現(xiàn)利率增大，年金的價(jià)格減小。以r=0.03為例，比較各類年金的價(jià)格。為獲得1元即期年金，需躉交17.118元;而若購(gòu)買長(zhǎng)壽指數(shù)年金，價(jià)格降低到15.255～15.770元;如果購(gòu)買LIDA，價(jià)格有更大幅度的下降:下限0.8，70歲起付的年金價(jià)格為7.034元，較即期年金下降了57.3%。從年金支付的下限進(jìn)行比較，下限越低，每期保證支付的金額就少，因此年金價(jià)格也降低，但不同下限的年金價(jià)格差別不大，因?yàn)橄孪拗g的差別經(jīng)折現(xiàn)之后體現(xiàn)在年金價(jià)格上就不明顯了。從延遲時(shí)間來(lái)看，隨著τ增大，年金價(jià)格不斷下降，而且下降幅度越來(lái)越大，下限0.8，90歲起付的年金價(jià)格僅為0.527元。退休人員的個(gè)人長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)一般在75歲開始顯現(xiàn)，因此，單獨(dú)從價(jià)格上考慮，以4.494元購(gòu)買下限0.8，75歲起付的LIDA對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)更有吸引力。

(3)系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移測(cè)度。

年金購(gòu)買者因承擔(dān)了一部分系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)而獲得價(jià)格較低的年金，本文利用LIA、LIDA與SPIA的年金價(jià)格相比的降低幅度粗略地量化轉(zhuǎn)移了的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。風(fēng)險(xiǎn)分擔(dān)情況如圖1所示。

從圖1的數(shù)據(jù)中我們可以分析出兩個(gè)特點(diǎn):第一，LIA的設(shè)計(jì)目的就是要幫助年金供給者轉(zhuǎn)移系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，從數(shù)值上看，轉(zhuǎn)移幅度大概為7%左右，達(dá)到了預(yù)期的目的。第二，LIA(τ=0)的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移率隨著折現(xiàn)率r的增大而減小，而LIDA的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移率隨著折現(xiàn)率r的增大而增大。這說(shuō)明雖然每類年金的價(jià)格都是隨著折現(xiàn)率的上升而下降，但LIDA的年金價(jià)格下降的幅度更大。第三，LIDA的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移的幅度很大，延遲10年支付，可以轉(zhuǎn)移一半以上的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn);當(dāng)延遲時(shí)間為30年時(shí)，可以轉(zhuǎn)移95%以上的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。因此，從年金提供者的角度，發(fā)行L I D A是進(jìn)行長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)管理的一個(gè)有效有簡(jiǎn)捷的途徑。

圖1 長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)延遲程度

四、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的覆蓋——L I D A保險(xiǎn)價(jià)值的計(jì)算

年金對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的保險(xiǎn)價(jià)值可以用年金的等價(jià)財(cái)富來(lái)度量。退休人員的財(cái)富衰減計(jì)劃大體上有兩種選擇：年金化和非年金化。假定在非年金化模式下初始財(cái)富為W0，老年人通過(guò)合理安排自己的消費(fèi)達(dá)到了最大化效用U*，為了達(dá)到相同的效用U*，老年人需要進(jìn)行年金化的財(cái)富為 Weq。定義 α=W0/Weq為年金等價(jià)財(cái)富系數(shù)，即1單位年金化的財(cái)富等價(jià)于α單位的非年金化的財(cái)富。由于年金的保險(xiǎn)作用，所以α大于1，因而年金的保險(xiǎn)價(jià)值體現(xiàn)為為達(dá)到相同的效用，老年人需要增加多少非年金化財(cái)富，即α-1。

上文中提到，即期年金對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的覆蓋率是100%，因此，L I D A的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的覆蓋率可以通過(guò)比較L I D A與即期年金的保險(xiǎn)價(jià)值獲得。

1.分析框架

假定老年人在60歲有一定量初始財(cái)富，未來(lái)沒(méi)有收入來(lái)源，老年人通過(guò)選擇財(cái)富衰減策略最大化晚年效用。本文采用時(shí)間可加的效用函數(shù)來(lái)描述：

其中，消費(fèi)效用采用了C R R A效用函數(shù)形式，γ表示相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。ρ表示時(shí)間偏好。

（1）當(dāng)老年人選擇非年金化時(shí)，每期的財(cái)富約束如下：

（10）、（11a） 和（11b） 式組成了動(dòng)態(tài)最優(yōu)化模型，通過(guò)對(duì)模型的求解，可以得出最優(yōu)消費(fèi)路徑和最大化效用U*。

（2）當(dāng)老年人購(gòu)買即期年金或長(zhǎng)壽指數(shù)年金時(shí)，每期的財(cái)富約束如下：

假定老年人將全部財(cái)富年金化，手中所剩財(cái)富W0=0，之后每期都會(huì)獲得At的支付。當(dāng)老年人購(gòu)買即期年金時(shí)，At為定值；當(dāng)老年人購(gòu)買L I A時(shí)，At與長(zhǎng)壽指數(shù)有關(guān)。求解（10）、（12a） 和（12b） 構(gòu)成的動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型，找出滿足m a x U=U*時(shí)的每期支付進(jìn)而計(jì)算 Weq：

ax表示某一類型年金（SP I A、L I A、L I D A）的價(jià)格。通過(guò)以上求解得出和。

（3）當(dāng)老年人購(gòu)買L I D A時(shí)，財(cái)富縮減過(guò)程包括兩個(gè)階段：年金起付時(shí)刻之前的自主安排和年金支付期定期獲得支付。因此，效用的計(jì)算也分為兩個(gè)階段。出于簡(jiǎn)單考慮，本文假定，在起付期之前，老年人按照（1）中的最優(yōu)消費(fèi)路徑進(jìn)行消費(fèi)，并得到相應(yīng)的效用。在年金支付期，動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型變化如下:此時(shí)，需計(jì)算滿足 maxU =U*-U*1 的At)。

(4)計(jì)算長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率。

通過(guò)以上計(jì)算，可以分別得到即期年金、LIA和LIDA的保險(xiǎn)價(jià)值如下:

即期年金覆蓋了全部長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，因此，其長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率為100%。其他年金的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率(longevity-risk coverage)可以與之比較得到:

2.數(shù)值計(jì)算

假定參數(shù) ρ=0.05，r=0.03，本文利用離散時(shí)間下動(dòng)態(tài)最優(yōu)化數(shù)值方法進(jìn)行實(shí)證分析。

(1)LIA長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率計(jì)算結(jié)果如表2。

表2 LIA的等價(jià)財(cái)富系數(shù)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率

以往很多研究表明，年金對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避型消費(fèi)者而言價(jià)值更大，這個(gè)結(jié)論在表3中也能體現(xiàn)。同樣提供100%風(fēng)險(xiǎn)覆蓋的即期年金，對(duì)γ=3的消費(fèi)者而言，1單位年金化財(cái)富相當(dāng)于1.609單位的非年金化財(cái)富，而對(duì)γ=7的消費(fèi)者而言，等價(jià)財(cái)富系數(shù)上升到1.655。由于LIA存在著系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移，因此其等價(jià)財(cái)富系數(shù)均小于即期年金，而且隨著年金支付下限的降低，年金的等價(jià)財(cái)富系數(shù)減小。

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率是根據(jù)等價(jià)財(cái)富系數(shù)計(jì)算獲得的，因此對(duì)不同風(fēng)險(xiǎn)偏好的消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，同一年金的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率不同，從這個(gè)意義上講，這是一個(gè)相對(duì)主觀的指標(biāo)。同一年金對(duì)于γ=3和γ=7的消費(fèi)者的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率相差2%～3%。從整體結(jié)果來(lái)看，LIA能夠?yàn)槟杲鹳?gòu)買者提供80%以上的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋。

(2)LIDA長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率的計(jì)算。年金保險(xiǎn)價(jià)值與消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的關(guān)系在表3中已經(jīng)得到體現(xiàn)，在此僅以γ=3為例對(duì)LIDA長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率進(jìn)行闡述，如圖2所示。

當(dāng)消費(fèi)者的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)一定時(shí)，LIDA的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率沿著兩個(gè)維度變化:一是隨著支付下限的降低而降低，二是隨著延遲時(shí)間的延長(zhǎng)而降低，而且降低的幅度越來(lái)越大。從計(jì)算結(jié)果來(lái)看，當(dāng)延遲時(shí)間不超過(guò)20年時(shí)，LIDA能夠提供50%以上的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋。當(dāng)老年人選擇75歲起付的下限為0.8的LIDA時(shí)，其獲得的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋為65.62%;結(jié)合表1的價(jià)格數(shù)據(jù)，75歲的老年人以26.25%(4.494/17.118)的價(jià)格獲得65.62%的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋，其余的34.38%的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)由節(jié)省下來(lái)73.75%的非年金化財(cái)富覆蓋，這樣可以既保證了一定程度的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋，又使老年人手中留有較多的流動(dòng)性財(cái)富供其支配。此外，本文的分析是基于老年人在退休期間沒(méi)有任何其他收入來(lái)源的假設(shè)之上的，當(dāng)老年人存在其他收入來(lái)源，如退休金、社保金、繼續(xù)工作的報(bào)酬、兒女贍養(yǎng)費(fèi)等，那么在本文提供的一系列LIDA中，老年人將會(huì)有更大的選擇空間。

圖2 LIDA長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率

五、結(jié)論及展望

本文從養(yǎng)老金融產(chǎn)品創(chuàng)新的角度，緩解了年金的供給和需求的矛盾:在轉(zhuǎn)移了年金供給人的部分系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的同時(shí)，為年金購(gòu)買者提供了具有一定長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋的更低價(jià)格的年金產(chǎn)品——長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金(LIDA)。

在年金產(chǎn)品中，年金供給者承擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)、系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。利率風(fēng)險(xiǎn)是任何金融產(chǎn)品都會(huì)包含的風(fēng)險(xiǎn)，非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)可以根據(jù)大數(shù)定律進(jìn)行分散，而系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)才是年金供給者真正的挑戰(zhàn)。再保險(xiǎn)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖產(chǎn)品都是管理長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的合理途徑。然而，再保險(xiǎn)市場(chǎng)的成熟程度限制了年金供給者進(jìn)行再保險(xiǎn)的可能;而長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)沖對(duì)產(chǎn)品參數(shù)的設(shè)定、市場(chǎng)成交量、資本市場(chǎng)發(fā)達(dá)程度等都有很高的要求。長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金，通過(guò)設(shè)定長(zhǎng)壽指數(shù)將系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)部分轉(zhuǎn)移給年金購(gòu)買者，轉(zhuǎn)移程度隨著下限的降低和延遲時(shí)間的延長(zhǎng)而增大。這樣，既豐富了老年人的產(chǎn)品選擇，又有效地減輕了年金供給者的風(fēng)險(xiǎn)負(fù)擔(dān)。實(shí)證結(jié)果顯示，本文設(shè)定的三款下限為0.8～0.6的LIDA均能夠轉(zhuǎn)移50%以上的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。

老年人制定財(cái)富衰減計(jì)劃時(shí)會(huì)在年金化和非年金化之間躊躇，實(shí)質(zhì)上是在購(gòu)買年金的代價(jià)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋之間進(jìn)行衡量。即期年金可以為老年人提供100%的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋，但代價(jià)是很高的年金價(jià)格以及損害了老年人的流動(dòng)性需求和遺產(chǎn)需求。本文在梳理計(jì)算各類年金(SPIA、LIA、LIDA)的價(jià)格之后，引入年金等價(jià)財(cái)富的概念，利用動(dòng)態(tài)最優(yōu)化數(shù)值算法求解不同種類年金的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率。計(jì)算結(jié)果表明，長(zhǎng)壽指數(shù)年金可以以較低價(jià)格提供80%以上的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋，而LIDA為老年人提供了一系列更低價(jià)格、不同長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋程度的產(chǎn)品，使老年人在長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)覆蓋率、流動(dòng)性需求和遺產(chǎn)動(dòng)機(jī)之間有更大的權(quán)衡空間。

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