建立城市坐標(biāo)系的關(guān)鍵問題探討*

馬 波，張 洪，朱月恒

(云南省地礦測繪院，云南 昆明 650218)

0 引言

隨著改革開放的不斷深化，中國的政治建設(shè)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、文化建設(shè)、基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、網(wǎng)絡(luò)建設(shè)以及城市化進(jìn)程等領(lǐng)域經(jīng)歷了40多年的高速發(fā)展。在城市建設(shè)領(lǐng)域，大部分城市的國土部門和規(guī)劃部門都先后建立了各自體系內(nèi)的城市坐標(biāo)系，以滿足其相關(guān)業(yè)務(wù)的順利開展。目前，隨著自然資源局的掛牌成立，原國土和規(guī)劃部門的并入，坐標(biāo)系的不一致、原有基礎(chǔ)資料的共享利用、相關(guān)業(yè)務(wù)是否能順利開展成為了急待解決的問題。

我國西部地區(qū)的海拔較高，屬于高原地區(qū)，采用國家大地坐標(biāo)系(CGCS2000)投影至橢球體面上的坐標(biāo)不能滿足長度變形值不大于25 mm/km的要求(CJJ/T 8—2011《城市測量規(guī)范》中的基本規(guī)定第一條要求：城市平面坐標(biāo)系的投影長度變形值不應(yīng)大于25 mm/km)[2]，需要將控制網(wǎng)邊長投影至某一高程面上，建立相對獨立的城市坐標(biāo)系。

在不考慮高斯投影變形的前提下，簡化后的每千米高程投影變形公式為：

(1)

式中：H為大地高；R為CGCS2000框架下地球橢球的平均曲率半徑。

通過式(1)計算可得表1結(jié)果。

表1 投影變形對比表Tab.1 Comparison of projection deformation

從表1可以看出：對于海拔高高于150 m的城市，不能直接采用國家大地坐標(biāo)系作為城市坐標(biāo)系，必須建立與國家大地坐標(biāo)系有關(guān)聯(lián)的城市獨立坐標(biāo)系，以滿足城市建設(shè)中規(guī)劃、設(shè)計、施工、驗收、變形監(jiān)測等需要。建立獨立坐標(biāo)系時，可根據(jù)城市所在地理位置、海拔高度、投影變形值等因素綜合考慮中央子午線經(jīng)度和抵償高程面高程值。

1 中央子午線和抵償高程面的選取

1.1 任意3度帶抵償面高斯投影坐標(biāo)系

從式(1)可知，高程投影變形值恒為負(fù)數(shù)，通過高斯投影公式可知高斯投影變形值恒為正數(shù)，故二者可相互抵消，建立城市坐標(biāo)系宜采用“任意3度帶抵償面高斯投影坐標(biāo)系”[2-5]。

通常情況下，選擇城市中心作為中央子午線位置，選擇平均海拔高程作為抵償高程面高程。但是，根據(jù)筆者多年的工作經(jīng)驗和大量的實踐證明，如不進(jìn)行嚴(yán)密的公式推導(dǎo)和計算以及大量算例數(shù)據(jù)的驗證，就確定中央子午線經(jīng)度和抵償高程面的值，是不可取的。中央子午線和抵償高程面的選擇需要結(jié)合城市的地形地貌及建設(shè)發(fā)展情況，通過嚴(yán)密公式精確計算出不同地理位置的投影變形值，并綜合考慮抵償高程面與偏離中央子午線Y坐標(biāo)的關(guān)系式，最終確定中央子午線經(jīng)度和主投影面高程，達(dá)到利用一個投影面控制面積最大化的要求。

1.2 投影變形

1.2.1 高程投影變形

如圖1所示，可推導(dǎo)出各參考面邊長與參考橢球半徑、大地高、正常高、高程異常的關(guān)系。設(shè)地球表面觀測所得邊長為S，抵償高程面邊長為S0，Hm為大地高，H0為高程抵償投影面的正常高，hm為參考橢球的高程異常，Δh為地面點高出抵償投影面的高差，R為參考橢球的平均曲率半徑。根據(jù)相似三角形原理，可得：

圖1 橢球參考面關(guān)系圖Fig.1 Relationship of ellipsoidal reference surface

(2)

如圖1所示，可得Hm=H0-hm+Δh。

由式(2)可推導(dǎo)出：

(3)

將式(3)按照牛頓二項式定理[3]進(jìn)行展開，取至前四項，可得到毫米級精度的高程投影長度比公式，設(shè)高程投影長度比為m1，公式可寫為：

(4)

1.2.2 高斯投影變形

本文要討論的是球面坐標(biāo)投影至高斯平面直角坐標(biāo)后的投影變形情況，并推導(dǎo)出高斯投影長度比公式?？赏ㄟ^高斯投影正算公式推導(dǎo)出高斯投影長度比公式。

高斯投影正算公式中的第二式[4]：

cos5B(5-18t2+t4+14η2-58η2t2)l″5

(5)

(6)

式(6)即為高斯投影長度比公式，其中，ym為兩點間的Y坐標(biāo)平均值，Δy為兩點間的Y坐標(biāo)差值，R為平均曲率半徑。

1.2.3 投影變形公式

某一橢球面上的邊長經(jīng)高程投影和高斯投影至高斯平面上，其邊長投影長度比為：

(7)

投影后的長度變形為(1-m1×m2)；按《城市測量規(guī)范》的要求，投影后長度變形要求滿足“每公里變形不大于±25 mm”，令式(7)的右邊為“±25”，式(7)的左邊為“投影長度變形×1 000 000”，即可得到每千米邊長的投影變形公式：

(1-m1×m2)×1 000 000=±25

(8)

可以看出式(8)是一個以Δh和ym為變化量的二元函數(shù)，Δh為高出抵償面的高差，ym為偏離中央子午線Y坐標(biāo)值，為了方便研究式(8)的性質(zhì)和圖像，m1、m2只取其第一項，即可得到邊長投影長度變形公式的簡化公式，即：

(9)

式中：R、H0、hm均為常數(shù)，設(shè)(R+H0-hm)=B，2R2=C；則式(9)可寫為：

(10)

以CGCS2000地球橢球為例，橢球平均曲率半徑R=6 202 279 m，由于高程抵償面H0和參考橢球高程異常hm兩個數(shù)值涉密，故在此不列出具體值，直接代入計算，可得式(10)中B=6 204 100 m，C=2R2=7.693 652 95913m。將B、C的值代入式(10)，可得到以Δh和ym為變化量、投影變形值為±25 mm的投影變形公式。

1.3 投影變形曲線圖

為了進(jìn)一步研究式(10)的圖像及性質(zhì)，在此定義坐標(biāo)軸。以Δh變化的方向為坐標(biāo)縱軸，以ym變化的方向為坐標(biāo)橫軸。在此坐標(biāo)軸下，取一些特征值，使之滿足式(10)，可繪制出變形值為±25 mm的投影變形曲線圖，如圖2所示。

圖2 投影變形曲線圖Fig.2 Projection deformation curve

如圖2所示，圖中下方拋物線為“投影變形值為-25 mm”的曲線圖，上方拋物線為“投影變形值為+25 mm”的曲線圖。

綜上所述，建立城市坐標(biāo)系時，可根據(jù)圖2的雙曲線選取中央子午線經(jīng)度和抵償高程面高程，“中央子午線經(jīng)度”應(yīng)選取在城市中心位置偏西20 km左右，“抵償高程面高程”應(yīng)選取低于城市平均高程100 m至150 m；如需要精準(zhǔn)到具體鄉(xiāng)鎮(zhèn)和位置，可提取Y坐標(biāo)值和高程值，代入投影變形公式進(jìn)行精確計算。如此反復(fù)選取和計算，可最終確定中央子午線經(jīng)度和抵償高程面高程，以及其控制的范圍。

2 縱、橫坐標(biāo)加常數(shù)的選取

大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為高斯投影坐標(biāo)時，通常以赤道作為坐標(biāo)橫軸，中央子午線經(jīng)線為坐標(biāo)縱軸，由于中國處在北半球，投影后X坐標(biāo)恒為正值，故X坐標(biāo)的加常數(shù)一般設(shè)為 0 m；為了讓Y坐標(biāo)值不出現(xiàn)負(fù)數(shù)，Y坐標(biāo)加常數(shù)一般設(shè)為500 km，這是一般的做法。

然而，根據(jù)筆者多年工作經(jīng)驗證明，如果城市坐標(biāo)系也采用國家標(biāo)準(zhǔn)的坐標(biāo)加常數(shù)，則兩種坐標(biāo)成果放在一起使用時，城市坐標(biāo)系就沒有一個較好的辨識度，也存在一定的用錯坐標(biāo)的隱患。為進(jìn)一步說明此問題，給出如下算例：設(shè)T01點的大地經(jīng)緯度分別為“25°01′46.25845″、102°47′52.10156″，經(jīng)過3度帶高斯投影后，不同坐標(biāo)系的直角坐標(biāo)如表2所示。

表2 國家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系成果表Tab.2 Results of national standard coordinate systems

從表2可看出，同一點的3種坐標(biāo)系(1954年北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、CGCS2000)坐標(biāo)的相似度較高，一般技術(shù)人員在使用時比較容易混淆。假設(shè)所選取的中央子午線經(jīng)度與標(biāo)準(zhǔn)3°帶經(jīng)線相差1°，經(jīng)計算投影后的Y坐標(biāo)大約相差“106 200 m”(按每秒29.5 m計算，此值根據(jù)橢球半軸近似計算可得)；再經(jīng)抵償高程面投影改化后，其X坐標(biāo)和Y坐標(biāo)的變化值都不大；即各個坐標(biāo)系高斯直角坐標(biāo)值的辨識度不高。

綜上所述，建議在建立城市坐標(biāo)系時，高斯投影的縱、橫坐標(biāo)加常數(shù)都應(yīng)考慮一個適當(dāng)?shù)臄?shù)值，不應(yīng)該(不用一刀切)采用與國家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系一樣的處理方法(橫坐標(biāo)值加500 km)；加常數(shù)的選取應(yīng)充分考慮與其他坐標(biāo)系(1954年北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系、CGCS2000)的辨識度，以便在使用過程中能夠清晰、準(zhǔn)確地辨認(rèn)。

3 坐標(biāo)成果的使用及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

城市坐標(biāo)系一旦建立，并形成控制全市域范圍的首級控制網(wǎng)，其控制網(wǎng)點的成果應(yīng)形成一套完整的體系。即同一坐標(biāo)系下，應(yīng)具備3種不同形式的控制網(wǎng)點成果，且連同高程成果一并納入。3種形式的坐標(biāo)成果是：大地坐標(biāo)(緯度B、經(jīng)度L、大地高H)，空間直角坐標(biāo)(X、Y、Z)，高斯投影直角坐標(biāo)(X北坐標(biāo)、Y東坐標(biāo)、H正常高)。這3種坐標(biāo)成果可通過高斯投影正、反算公式相互轉(zhuǎn)換獲得，此處不再累述。

在各個坐標(biāo)系之間，為了獲得嚴(yán)密的轉(zhuǎn)換關(guān)系(參數(shù))，應(yīng)采用七參數(shù)轉(zhuǎn)換法，數(shù)學(xué)模型為布爾沙模型[1，5]，計算公式為：

(11)

實踐證明，如果控制點成果或地理信息數(shù)據(jù)的范圍大于10 km2，應(yīng)采用“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法，才能夠獲得較高精度且分布均勻的轉(zhuǎn)換參數(shù)。以下算例是150 km2范圍的四等控制網(wǎng)，采用網(wǎng)內(nèi)18個控制網(wǎng)點進(jìn)行七參數(shù)和四參數(shù)計算；采用網(wǎng)內(nèi)9個和網(wǎng)外6個同等級點進(jìn)行精度檢核。七參數(shù)轉(zhuǎn)換法和四參數(shù)轉(zhuǎn)換法的精度統(tǒng)計對比情況見表3-6。

表3 七參數(shù)轉(zhuǎn)換法殘差分布表Tab.3 Residual error distribution of seven-parameters conversion method

表4 四參數(shù)轉(zhuǎn)換法殘差分布表Tab.4 Residual error distribution of four-parameters conversion method

表5 內(nèi)符合精度對比表Tab.5 Comparison of inside precision

經(jīng)過以上算例的對比，可得出“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法的優(yōu)點：

1)轉(zhuǎn)換精度較高、殘差分布均勻；

2)具有高程擬合的效果，網(wǎng)內(nèi)高程精度可達(dá)到“圖根水準(zhǔn)”的要求；

表6 外符合精度對比表Tab.6 Comparison of outside precision

3)根據(jù)外符合精度的分析，“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法具有更高的穩(wěn)定性。因此，對于大型(大面積)區(qū)域的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，建議采用“布爾沙模型”的七參數(shù)轉(zhuǎn)換法。

4 結(jié)束語

本文通過公式推導(dǎo)和算例分析，旨在說明建立城市坐標(biāo)系至少需要綜合考慮3個方面的因素：中央子午線經(jīng)度和抵償高程面的選取；坐標(biāo)加常數(shù)的目的和意義；坐標(biāo)成果的使用及坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換問題。由此保證城市坐標(biāo)系統(tǒng)的完整性、嚴(yán)密性和可靠性，這樣在實際應(yīng)用時才能獲得高精度數(shù)據(jù)，成果也便于使用。