一種新的配對等級資料統(tǒng)計推斷方法*

南方醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院生物統(tǒng)計學(xué)系(510515) 吳研鵬 周立志 陳平雁

【提 要】 目的 針對配對等級資料，提出一種新的統(tǒng)計推斷方法，并通過統(tǒng)計模擬，與經(jīng)典的非參數(shù)檢驗方法進行比較。方法 基于配對等級資料差值的離散性和多項分布特征，構(gòu)造一種新的統(tǒng)計量AOC(average order change)，即加權(quán)平均等級差，以及相應(yīng)檢驗方法。應(yīng)用Monte Carlo技術(shù)，比較AOC檢驗與Wilcoxon符號秩檢驗(Wilcoxon法)、Pratt法的統(tǒng)計性能。結(jié)果 在樣本量小于30時，三種方法的I類錯誤率偏于保守，其中Wilcoxon法偏離設(shè)定水平較大；在樣本量大于或等于30時，I類錯誤率均接近設(shè)定水平，以AOC檢驗更接近設(shè)定水平。當(dāng)樣本量小于20時，檢驗效能以Wilcoxon法較低，AOC檢驗和Pratt法相當(dāng)；在樣本量大于或等于20時，三種方法的檢驗效能非常相近。結(jié)論 在統(tǒng)計性能方面，AOC檢驗與Pratt檢驗表現(xiàn)相當(dāng)或略優(yōu)。在統(tǒng)計量意義上，AOC更能直觀表達等級變動情況。

配對等級資料在醫(yī)學(xué)研究中頗為常見，其特點之一是可能會有較大比例的零差值(zero differences)和相同秩(ties)[1-2]。對于相同秩，已有對應(yīng)的校正方法[3]。對于零差值，大部分非參檢驗包括最常用的Wilcoxon符號秩檢驗，是刪除零差值的數(shù)據(jù)后進行分析。這種處理的缺陷是損失信息，特別是零差值的比例較大時，會使統(tǒng)計推斷產(chǎn)生偏倚[4-5]。對此問題，Pratt[5]提出的處理方法是，先對包含零差值的所有差值進行排秩，然后刪去零差值觀測單位，再運用Wilcoxon法對剩下的秩次進行檢驗。目前，有關(guān)Pratt法的模擬研究較少，其統(tǒng)計性能如何尚待回答[6]。因此，本研究基于不損失信息和更具可解釋性的前提，提出一種新的比較配對等級資料的統(tǒng)計方法。

原理和方法

1.統(tǒng)計模型

假設(shè)某項臨床試驗一組病例的樣本量為N，療效評價指標(biāo)為疾病嚴(yán)重程度，分為K個等級，治療前后疾病嚴(yán)重程度等級的變化即等級差用D(D1，D2，…，DN)表示。顯然，Di的取值范圍為-(K-1)～(K-1)，所有可能的取值個數(shù)為2K-1，每種可能取值對應(yīng)的頻數(shù)為Fi，對應(yīng)頻率為fi=Fi/N，概率為πi。具體構(gòu)成見表1。

表1 配對等級數(shù)據(jù)等級差的分布

這里，我們根據(jù)加權(quán)平均等級差的思想定義一個統(tǒng)計量AOC(average order change)，即

(1)

這里差值Di在配對等級數(shù)據(jù)中可看作兩組前后的等級變動級數(shù)，級數(shù)為正，表示向上變動級數(shù)，級數(shù)為負，表示向下變動級數(shù)，為0表示級數(shù)不變。fi表示等級變動級數(shù)Di對應(yīng)的頻率。由公式(1)定義的AOC則表示總的等級變動級數(shù)的均值，當(dāng)AOC取0時，配對兩組等級前后變動的均值為0，表示治療前后無差異。

AOC的方差估計為

(2)

由于fi服從對應(yīng)概率為πi的多項分布[7]，進一步得出

(3)

在AOC=0的原假設(shè)下，可以構(gòu)建如下檢驗統(tǒng)計量z，

(4)

2.模擬方法

基于雙變量正態(tài)分布產(chǎn)生配對等級數(shù)據(jù)[8]。在雙變量正態(tài)分布中，參數(shù)μ1和μ2分別對應(yīng)配對兩組的均值，σ1和σ2對應(yīng)各自的標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差大小由相關(guān)系數(shù)ρ決定，即ρσ1σ2。在以上參數(shù)組合下，運用Monte Carlo技術(shù)模擬生成特定的雙變量正態(tài)分布數(shù)據(jù)，然后根據(jù)結(jié)局等級數(shù)，對雙正態(tài)分布數(shù)據(jù)進行等面積劃分。本研究只考慮臨床常見的三等級，四等級和五等級分類的配對資料比較，即對生成的雙變量正態(tài)數(shù)據(jù)進行三等分，四等分，五等分。具體模擬參數(shù)設(shè)置如下：

(1)雙變量正態(tài)分布設(shè)置：配對兩組無差異情況下，則μ1=μ2=0；存在差異情況，設(shè)μ1=0，μ2=0.3，0.5，0.8，1.0，1.3，1.5，1，8，2.0；

(2)雙變量正態(tài)相關(guān)系數(shù)：ρ=0.2，0.4，0.7；

(3)等級數(shù)：K=3，4，5；

(4)樣本量N=10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100；

檢驗水準(zhǔn)設(shè)置為雙側(cè)0.05，每種參數(shù)組合模擬次數(shù)為10000次，采用R 3.6.3編程實現(xiàn)。

結(jié) 果

不同等級數(shù)和相關(guān)系數(shù)組合下，AOC檢驗、Wilcoxon法和Pratt法的I類錯誤率隨樣本量變化的模擬結(jié)果見圖1。圖1中每個子圖中橫軸表示樣本量，縱軸表示I類錯誤率，按等級數(shù)K和相關(guān)系數(shù)ρ大小分別以橫向和縱向排列，并給出對應(yīng)組合下的零差值的比例大小(%)。顯然，高相關(guān)系數(shù)低等級水平下，零差值比例更高?？梢钥闯觯?dāng)樣本量小于30時，三種方法的I類錯誤率均偏離設(shè)定水平0.05較大，且絕大多數(shù)是小于設(shè)定水平；當(dāng)樣本量大于或等于30時，三種方法的I類錯誤率均接近設(shè)定水平，以AOC檢驗更接近設(shè)定水平，而且，樣本量的增大對I類錯誤率沒有趨勢性影響。

圖1 不同等級水平和相關(guān)系數(shù)下的I類錯誤率比較

圖2展示不同等級數(shù)和相關(guān)系數(shù)組合下，三種方法檢驗效能的比較。每個子圖中，橫軸為樣本量，縱軸表示檢驗效能，按等級數(shù)K和相關(guān)系數(shù)ρ大小分別以橫向和縱向排列，并給出對應(yīng)組合下的零差值的比例大小(%)?？梢?，當(dāng)樣本量小于20時，檢驗效能以Wilcoxon法較低，AOC檢驗和Pratt法相當(dāng)；當(dāng)樣本量大于或等于20時，三種方法的檢驗效能非常相近。

圖2 不同等級水平和相關(guān)系數(shù)下的檢驗效能比較

實例：瑞典一項研究招募了92名患者，使用Rand-36健康生活質(zhì)量表，記錄該組病人在參與心臟康復(fù)計劃之前和3個月后的健康質(zhì)量評價[9]。Rand-36中感受評價指標(biāo)分為5個等級，分別賦值為：1(很差)，2(較差)，3(一般)，4(較好)，5(很好)。該組病人在基線值和治療3個月后的自我評價健康情況見表2。

表2 心臟康復(fù)病人在基線和隨訪的自我健康評價

對表2資料采用AOC檢驗，定義等級差為治療后-基線(治療前)，得統(tǒng)計量AOC為0.577，95%置信區(qū)間為0.266～0.886，P值為0.00026。采用Wilcoxon法和Pratt法的P值分別為0.00031和0.00045。在檢驗水準(zhǔn)0.05下，三種檢驗均顯示差異顯著，但AOC可以直觀表示治療后患者的健康水平平均改善了0.577個等級。

討 論

本研究根據(jù)加權(quán)平均的思想，提出了AOC統(tǒng)計量，其優(yōu)點是直觀和良好的解釋性，而且充分利用了零差值的信息。

在統(tǒng)計性能的I、II類錯誤方面，模擬研究提示，AOC檢驗與Wilcoxon法、Pratt法相當(dāng)或略優(yōu)，特別是在零差值比例很大或樣本量較小的情形。

本研究存在一定的局限性。首先在模擬方面，目前只是在方差齊性和雙變量正態(tài)分布的假設(shè)下模擬數(shù)據(jù)。然而在實踐中，常會出現(xiàn)異方差和非正態(tài)分布情況，該種情況下的統(tǒng)計性能表現(xiàn)需要進一步驗證。其次，新方法的提出是基于漸進正態(tài)分布下的推導(dǎo)，小樣本的精確檢驗還需進一步研究。

綜上所述，本研究建立的AOC檢驗具有良好的解釋性和較為可靠的統(tǒng)計性能，可應(yīng)用于配對等級資料的檢驗。