考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計損傷修正模型

譚維佳 ，魏云杰 ，王俊豪 ，高敬軒

（1.長安大學地質(zhì)工程與測繪學院，陜西 西安 710054；2.中國地質(zhì)環(huán)境監(jiān)測院，北京 100081）

非飽和土是一種固液氣三相體系土，其力學性能明顯復雜于固液二相體系飽和土[1-2]，基質(zhì)吸力是研究非飽和土力學特性的重要參數(shù)，將基質(zhì)吸力有機地納入非飽和土變形過程模擬預測是非飽和土力學的重難點[3-4]。

目前國內(nèi)外考慮基質(zhì)吸力的非飽和土力學特性研究結果較為豐碩。Liu等[5]分析了基質(zhì)吸力對非飽和土抗剪強度的影響。孫德安[6]研究了飽和度對非飽和土對應力-應變關系和強度的影響。宋友建等[7]探索不同吸力路徑下非飽和土的強度變化規(guī)律。劉文化[8]研究了干濕循環(huán)作用下非飽和土的力學性能。楊慶[9]開展了初始狀態(tài)對非飽和土宏觀力學特性的影響研究。張慶海[10]以凍融干濕作為試驗因素，探討對非飽和土力學特性的影響。以上工作豐富了不同試驗條件下非飽和土力學特性的研究，非飽和土力學特性研究還應與本構模型相結合。趙成剛等[11]將非飽和土本構模型歸納為彈塑性模型、廣義吸力模型、損傷模型以及基于熱力學的混合物理論模型。魏建柄等[12]基于粉質(zhì)黏土的非飽和蠕變試驗,嘗試改進Mesri模型和Log-Modified模型，改進后的2個模型為應力-基質(zhì)吸力-應變-時間模型。Farouk等[13]通過數(shù)值模擬建立了預測非飽和土體含水量和基質(zhì)吸力的模型。李順群等[14]通過Brooks和Corey所建基質(zhì)吸力與飽和度的經(jīng)驗關系，引入到Fredlund模型之中，構建一種考慮基質(zhì)吸力變化的非飽和土本構模型。Hamid等[15]提出一種基質(zhì)吸力、凈正應力雙變量的非飽和土界面本構模型。秦冰等[16]推導了基于混合物理論同時考慮熱-水-力的本構模型。楊明輝等[17]采用擴展Mohr-Coulomb準則模擬非飽和土微單元的承載能力，考慮外部荷載和基質(zhì)吸力對非飽和土變形的影響，建立考慮基質(zhì)吸力的統(tǒng)計損傷模型。章志榮[18]將三剪統(tǒng)一準則應用于非飽和土，建立考慮基質(zhì)吸力的修正劍橋模型。上述工作豐富了非飽和土本構模型研究，所建本構模型盡管能考慮基質(zhì)吸力的變化，但多數(shù)模型未考慮土體內(nèi)部損傷的累積。

鄧肯-張模型是一種雙曲線形態(tài)的彈性本構模型，在基礎工程、邊坡工程中應用廣泛。本文開展非飽和土三軸固結排水試驗，根據(jù)非飽和土變形特性及工程特點，在傳統(tǒng)鄧肯-張模型的基礎上，引入統(tǒng)計損傷理論，將非飽和土力學性態(tài)的變化簡化為損傷累積擴展的過程，構建鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型。通過搭建初始切線模量與基質(zhì)吸力的聯(lián)系，建立一種新的考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型。給出參數(shù)解析方法，得到概率密度分布參數(shù)經(jīng)驗表達式，從而修正模型。分析損傷累積過程，辨識驗證模型可行性和合理性。研究成果為非飽和土的力學特性研究及辨識模擬提供一定參考。

1 非飽和土固結排水三軸壓縮試驗

試驗土樣取自重慶某基坑工地現(xiàn)場，土樣物理力學指標為：平均濕密度2.13 g/cm3，干密度1.54 g/cm3，孔隙比1.6，含水率16.7%，液限28.7%，塑限16.9%，塑性指數(shù)為11.8，為粉質(zhì)黏土，黏聚力54.9 kPa，內(nèi)摩擦角31.3°。在實驗室先風干土樣，待自然風干后將其碾碎過2 mm篩，通過擊實法制備直徑60 mm、高120 mm的圓柱體重塑試樣。擊實后以干密度1.54 g/cm3稱取所需質(zhì)量的土樣分4層裝入飽和容器，分層擊實直至最后一層，干密度誤差控制在0.02 g/cm3以內(nèi)，然后抽氣飽和，保鮮膜密封靜置1 d，使水分均勻擴散。

采用FSR-6型非飽和土三軸蠕變儀開展基質(zhì)吸力控制下的非飽和土固結排水三軸壓縮試驗，將圍壓設置為100 kPa。參照已有研究結果[7，17-18]，100～400 kPa是一般非飽和土的基質(zhì)吸力常見范圍，故將本文試驗中基質(zhì)吸力分別設為100，200，300，400 kPa，不同基質(zhì)吸力下的試驗結果如圖1所示。

由圖1可看出，本次試驗非飽和土的偏應力-應變曲線形態(tài)近似雙曲線，基質(zhì)吸力對土體力學行為影響十分明顯，基質(zhì)吸力越大，土體偏應力越高。在應變值小于1%時，土體偏應力-應變曲線近似表現(xiàn)為線彈性，隨著土體的持續(xù)受壓，曲線斜率逐漸遞減，逐漸向非線彈性轉(zhuǎn)變。在應力作用下，非飽和土力學性態(tài)發(fā)生改變，土體內(nèi)部微缺陷、微裂隙不斷發(fā)育延展，內(nèi)部損傷不斷累積擴展。傳統(tǒng)鄧肯-張模型是雙曲線形態(tài)的本構模型，盡管在土力學和基礎工程中廣泛應用，但未考慮土體力學性態(tài)在應力作用下的改變，統(tǒng)計損傷理論可將這種力學性態(tài)改變的過程簡化為損傷累積擴展，由此在鄧肯-張雙曲線模型的基礎上，引入統(tǒng)計損傷理論，同時考慮基質(zhì)吸力的變化，以期建立較為全面的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計損傷本構模型。

圖1 非飽和土偏應力-應變曲線Fig.1 Deviatoric stress-strain curves of unsaturated soil

2 考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型

2.1 鄧肯-張模型及損傷變量

根據(jù)Lemaitre應變等效性假說[19]，宏觀應力σ作用導致材料受損部分發(fā)生的應變ε與有效應力σ′作用導致材料未受損部分發(fā)生的應變ε′相等，于是有：

式中：D——損傷變量；

Nt——土體受損單元數(shù)；

N——土體微單元總數(shù)，其中Nt≤N，故D∈[0，1]。

考慮到非飽和土應力-應變關系的雙曲線形態(tài)，傳統(tǒng)鄧肯-張模型是一種雙曲線非線性模型，故引用傳統(tǒng)鄧肯-張模型作為本文非飽和土的基礎模型，其應力-應變關系表示為：

式中：a、b——可通過試驗成果確定的相關參數(shù)；

σ1、σ3——最大和最小主應力；

ε1——軸向應變；

利用式（2）對式（4）進行損傷演化可得：

實際上，若通過式（3）描述損傷發(fā)展具有操作難度，土體材料受損微單元數(shù)目難以測定，故從土體微元強度的隨機性出發(fā)，假設非飽和土微元強度F服從某一類概率分布函數(shù)Q（F），于是將D定義為：

式中：F——非飽和土微元強度。

F與有效應力σ′可表示為如下關系：

2.2 鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型

統(tǒng)計分布主要有Weibull分布、冪函數(shù)分布、正態(tài)分布等[20]，Weibull分布因形式簡練、結構簡單得到廣泛應用，Weibull概率密度函數(shù)為：

式中：m、F0——Weibull分布參數(shù)。

將式（8）代入式（7）有：

參考文獻[21]，結合非飽和土變形破壞特征，引入Mises屈服準則，于是將F表示為：

式中：J2——應力偏量第二不變量；

σ2——中間主應力。

在土體三軸壓縮試驗中有σ2=σ3，則式（11）可寫為：

將式（9）代入式（5）可得：

式（13）即本文所建未考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型。

2.3 考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型

根據(jù)Hooke定律確定初始切線模量Eu，由于本文對傳統(tǒng)鄧肯-張模型進行了損傷演化，故Eu為：

土體三軸壓縮試驗剛開始時，認為此時土體材料內(nèi)部未受損，對應D=0，于是變形式（14）可得：

將式（15）代入式（13）有：

非飽和土是固液氣三項體系土，其力學行為受基質(zhì)吸力s影響尤為明顯，由此應建立應力-基質(zhì)吸力-應變力學模型，將s作為獨立變量體現(xiàn)在本構模型中。Janbu[22]研究發(fā)現(xiàn)初始切線模量Eu與σ3在雙對數(shù)坐標中線性相關，即Eu是σ3的冪函數(shù)，文獻[23]認為Eu與s之間亦同樣存在冪函數(shù)關系，于是將本文及相關文獻[23][24]中土體的Eu和s進行擬合，得到擬合曲線如圖2所示。

圖2 Eu和s擬合曲線Fig.2 Fitting curves between Eu and s

由圖2可看出，本文及文獻[23][24]中土體的Eu和s之間冪次擬合關系良好，故將Eu與s之間采用如下冪函數(shù)關系表達式[22-23]：

式中：pa——大氣壓（101.33 kPa）；

T、c——與基質(zhì)吸力s有關的常數(shù)。

將式（17）代入式（16）可得：

式（18）即為本文所建考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型。

3 模型參數(shù)求解

本文所建模型參數(shù)有b、c、T、m和F0，其中b為鄧肯-張模型參數(shù)，c和T為與基質(zhì)吸力s有關的常數(shù)，m和F0為Weibull分布參數(shù)。

3.1 參數(shù)b、c和T

依照鄧肯-張模型中求取參數(shù)b的方法，取圖1中偏應力-應變曲線的極限偏差應力（σ1-σ3）ult為：

土體三軸壓縮試驗中，一般以15%應變值為標準求取土體強度，盡管土體實際應變值能達到15%以上，但永遠不可能從物理意義上滿足ε1→∞的條件，故（σ1-σ3）ult的取值范圍為：

根據(jù)分數(shù)極限求導的數(shù)學計算方法，化簡式（20）可得：

鑒于極限偏差應力的極限性，同時考慮到模型計算可行性，取（σ1-σ3）ult的最大值，于是有：

由式（22）可看出，參數(shù)b為（σ1-σ3）ult的倒數(shù)，參數(shù)c、T與Eu緊密關聯(lián)，而（σ1-σ3）ult和Eu皆可通過試驗結果確定，求解示意圖如圖3所示。Eu取偏應力-應變曲線的初始切線，b取偏應力-應變曲線的極限偏差應力（σ1-σ3）ult的倒數(shù)，Eu和b如表1所示。

表1 Eu和b值Table 1 Eu and b values

圖3 （σ1-σ3）ult和Eu求解示意圖Fig.3 Schematic diagram of solving (σ1-σ3)ult and Eu

本文模型基于式（17）搭建了初始切線模量Eu和基質(zhì)吸力s之間的聯(lián)系，在式（17）中Eu表現(xiàn)出與參數(shù)T和c之間的冪次關系，因此模型改進后，仍可用式（17）求解參數(shù)T和c。采用式（17）擬合不同s/pa值下的Eu值，繪制擬合曲線，如圖4所示。由圖4可看出，Eu與參數(shù)T和c之間的冪次關系擬合良好，R2達到0.988 9，采用本文所建考慮基質(zhì)吸力的鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型進行曲線辨識時，不同基質(zhì)吸力條件下的參數(shù)T取為16.076，c取為0.632 4。

圖4 Eu和s/pa之間的擬合曲線Fig.4 Fitting curves between Eu and s/pa

3.2 參數(shù)m、F0

式（18）可變形為：

在式（23）等號兩側同時取對數(shù)，有：

對式（24）等號兩側再次取對數(shù)，有：

式（25）實際是一個線性方程，將式（25）變形為：

首先求取參數(shù)b、c和T，代入式（26）后通過線性擬合的方法，可得到參數(shù)m、F0，線性擬合結果如表2所列。

表2 參數(shù)m和F0值Table 2 Values of parameters m and F0

3.3 模型修正

表2中給出了不同基質(zhì)吸力下的m、F0值，分別擬合回歸m、F0與s之間的關系，擬合曲線分別如圖5、圖6所示，擬合回歸得到的修正后經(jīng)驗公式為：

從圖5、圖6可看出，m與s線性相關，R2為0.990 2，F(xiàn)0與s表現(xiàn)為冪次關系，R2為0.978 2。將式（27）代入式（18），在本文所建模型中添入m、F0的修正后經(jīng)驗公式，便能得到修正后的鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型的經(jīng)驗表達式，此時經(jīng)驗表達式未知參數(shù)僅有b、c和T，b、c和T通過試驗結果確定，與偏應力和應變緊密關聯(lián)，便于在工程實踐中應用。

圖5 m與s的擬合關系曲線Fig.5 Fitting relationship between m and s

圖6 F0與s的擬合關系曲線Fig.6 Relationship between F0 and s

4 損傷分析及模型驗證

將已確定的模型參數(shù)代入式（9），繪制損傷變量累積曲線，如圖7所示。

圖7 損傷變量累積曲線Fig.7 Cumulative curves of damage variables

由圖7可看出，隨著應變的增加，土體損傷變量逐漸遞增。在1%應變值以前，損傷變量急劇累積，應變值1%以后損傷變量累積速度逐漸放緩，當應變達到15%時，損傷變量已趨于收斂。同一應變值時，較高基質(zhì)吸力的損傷變量總是大于較低基質(zhì)吸力，這說明基質(zhì)吸力對非飽和土的損傷累積起促進作用，工程實踐中應引起重視。

為驗證所建模型的可行性和合理性，通過所建模型和傳統(tǒng)鄧肯-張模型對本文非飽和土偏應力-應變曲線進行辨識，得到計算值和試驗值對比曲線，如圖8所示。

圖8 本文非飽和黏土計算值與試驗值對比曲線Fig.8 Comparison curves between the calculated values and experimental values of the unsaturated soil of this paper

由圖8可看出，本文所建模型的辨識能力較強，平均R2為0.979 8，能較好地描述非飽和土偏應力-應變曲線，傳統(tǒng)鄧肯-張模型辨識非飽和土偏應力-應變曲線時存在較大偏差，平均R2為0.942 6，其計算值在應變10%以后略低于試驗值?？傮w上，本文所建模型擬合效果較好，精度較高，能較為準確地描述非飽和土的變形破壞全過程。

本文試驗土樣為非飽和粉質(zhì)黏土，為進一步驗證所建模型的適用性，引用文獻[24]中的非飽和粉質(zhì)黏土在圍壓200 kPa下的試驗數(shù)據(jù)，通過本文模型和鄧肯-張模型進行辨識，得到計算值和試驗值對比曲線，如圖9所示。

圖9 文獻[24]非飽和黏土數(shù)據(jù)的計算值與試驗值對比曲線Fig.9 Comparison curves between calculated value and experimental value of the unsaturated soil with the data from reference [24]

由圖9可看出，所建模型對不同基質(zhì)吸力下的非飽和土偏應力-應變曲線的擬合能力較強，計算值與試驗值吻合較好，平均R2為0.983 4，傳統(tǒng)鄧肯-張模型存在較大偏差，平均R2為0.939 5。

總體上，所建模型能較好地反映不同基質(zhì)吸力下的非飽和土變形破壞過程，由此驗證了所建模型描述不同類型非飽和粉質(zhì)黏土的適用性。由于本文試驗及驗證對象為非飽和粉質(zhì)黏土，今后還應探討研究本文m、F0與s之間的經(jīng)驗公式對不同類型非飽和土的適用情況、模型適用范圍以及在實際工程中的應用。

5 結 論

（1）非飽和粉質(zhì)黏土偏應力-應變曲線近似雙曲線，基質(zhì)吸力越大，土體偏應力越高。結合應力-應變曲線形態(tài)，選擇鄧肯-張雙曲線模型作為非飽和土基礎模型。假設非飽和土微元強度服從Weibull概率密度分布，將非飽和土力學性態(tài)的變化簡化為損傷累積擴展的過程，從而建立鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型。

（2）在鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型的基礎上，通過搭建初始切線模量與基質(zhì)吸力的聯(lián)系，建立考慮基質(zhì)吸力的非飽和土鄧肯-張統(tǒng)計損傷模型。給出參數(shù)解析方法，擬合m、F0與基質(zhì)吸力之間的關系，從而修正模型，得到未知參數(shù)僅有b、c和T的模型經(jīng)驗公式，參數(shù)b、c和T通過試驗結果可確定，便于實際應用。

（3）非飽和土在應力加載作用下，損傷變量先急劇累積，再逐漸趨于平緩，基質(zhì)吸力促進損傷累積。本文所建損傷模型結構簡單，參數(shù)較少，便于計算和應用，利用該模型對比辨識本文以及相關文獻中非飽和粉質(zhì)黏土試驗數(shù)據(jù)，驗證所建模型的合理性和適用性。