基于幾何相位超表面的Ince-Gaussian矢量渦旋光場聚焦

張雪妍，郁步昭，王吉明*，吳 彤，赫崇君，劉友文，路元剛

(1.南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院， 南京 211106；2.南京航空航天大學(xué) 空間光電探測與感知工業(yè)和信息化部重點實驗室， 南京 210016)

引 言

超表面由亞波長尺寸的周期性諧振微元構(gòu)成，是一種可以靈活調(diào)控電磁波的超薄的表面器件。當(dāng)電磁波入射該諧振微元時，可產(chǎn)生異常的相位突變。通過設(shè)計不同的微結(jié)構(gòu)以及微結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)角度等，改變幾何相位(geometric phase,GP)的積累，可以實現(xiàn)對電磁波振幅、相位、偏振的調(diào)制。1956年，喇曼實驗室的PANCHARATNAM提出電磁波在偏振態(tài)轉(zhuǎn)化過程中會產(chǎn)生一個額外的相位[1]。1984年，英國的BERRY提出了幾何相位的概念[2]，因此幾何相位也稱PB相位(Pancharatnam-Berry,PB)[1-2]，其數(shù)學(xué)含義是一個內(nèi)在的拓?fù)湫?yīng)。在設(shè)計超表面時，通常應(yīng)用不同旋轉(zhuǎn)角的納米粒子產(chǎn)生幾何相位突變，并以此調(diào)控光束。

在光學(xué)設(shè)計中，聚焦是最基礎(chǔ)的功能之一，用超表面透鏡代替?zhèn)鹘y(tǒng)的光學(xué)元件，可以減小介質(zhì)厚度差異和曲面誤差，從而避免球差。2012年，拋物線梯度幾何相位理論應(yīng)用于線偏振轉(zhuǎn)換超表面的設(shè)計[3]，通過調(diào)整各個偶極天線的方向角φ，局部相位突變?yōu)椤?φ，正負(fù)號由入射旋性決定。2014 年，基于Si的全介質(zhì)超表面開始用于替代透鏡使用[4]。2016 年，一種以SiO2為基底、TiO2為微結(jié)構(gòu)的超表面被報道，在可見光波段可作為高數(shù)值孔徑和高效率的超透鏡[5]?，F(xiàn)有研究表明，超表面有望在便攜式成像系統(tǒng)、加密信息傳輸、光捕獲與光操控、激光超精細(xì)加工等領(lǐng)域獲得實質(zhì)性應(yīng)用[6-9]，實現(xiàn)波束整形、超分辨成像、全息成像、光子信息轉(zhuǎn)換等功能[10-14]。

厄米-高斯光束(Hermite-Gaussian beam,HGB)和拉蓋爾-高斯光束(Laguerre-Gaussian beam,LGB)，分別是自由空間傍軸波動方程(paraxial wave equation,PWE)在直角坐標(biāo)和圓柱坐標(biāo)下的已知精確解。2004年，BANDRES等人在橢圓柱面坐標(biāo)下求得PWE的精確解析解，并引入構(gòu)成PWE的精確解和正交解的第3類傍軸波動方程完整解系的因斯-高斯(Ince-Gaussian,IG)模式光束，IG模式是HGB和LGB之間的連續(xù)過渡模式[15-17]，有望被應(yīng)用于微粒操控[18-19]、光學(xué)通信[20-21]等領(lǐng)域。正交偏振的IG奇模和偶模疊加，可生成具有豐富空間結(jié)構(gòu)的復(fù)雜矢量光場[22-23]。進一步引入渦旋相位，攜帶軌道角動量的IG矢量渦旋光具備了更加豐富的信息。

本文中基于幾何相位控制原理，設(shè)計并優(yōu)化了超表面結(jié)構(gòu)，使其針對Ince-Gaussian矢量光依然具有良好的聚焦功能，同時研究了IG矢量渦旋光經(jīng)超表面的聚焦特性。

1 超表面相位調(diào)控及聚焦原理

光在改光學(xué)元件中傳播時，由于不同位置的厚度不同，光在介質(zhì)中積累的相位不同，可實現(xiàn)波前的調(diào)控，即斯涅耳定律。以透鏡為例，從中心到邊緣的厚度呈梯度變化，所產(chǎn)生的光程差會形成一定的梯度。對于超表面，該定律可以進行推廣，即廣義斯涅耳定律。電磁波通過超表面，會產(chǎn)生一定梯度的相位突變。

根據(jù)費馬原理，光從一點傳播到另一點時，無論傳播路徑如何，其光程保持一定。如圖1a中的折射模型，有：

k0nisinθidx+(φ+dφ)=k0ntsinθt+φ

(1)

式中，k0=2π/λd為波數(shù)，λd為設(shè)計所需的工作波長，ni和nt分別為入射和透射介質(zhì)的折射率，θi和θt分別為入射和透射光路與法線的夾角，φ和φ+dφ是兩條光路通過不連續(xù)界面時相位不連續(xù)產(chǎn)生的相位變化。設(shè)定波長為λ0，推得廣義斯涅耳的折射公式[24]：

(2)

Fig.1 Generalized Snell’s law schematic

同理，根據(jù)圖1b中的反射模型，有：

k0nisinθi+(φ+dφ)=k0nisinθr+φ

(3)

式中，θr為反射介質(zhì)折射率，廣義斯涅耳定律的反射公式為[24]：

(4)

(4)式表明，只要改變每一點的相位突變dφ/dx，使其呈一定的梯度變化，即可實現(xiàn)對波前的靈活調(diào)控。若想實現(xiàn)聚焦功能，則需要將超表面上的相位梯度設(shè)計成拋物線分布，每一點相位分布應(yīng)滿足：

(5)

式中，f為焦距，rNF為微結(jié)構(gòu)所在位置到超表面中心的距離。在實際設(shè)計時，設(shè)工作波長為λd，表面上位于(x，y)的納米微粒所產(chǎn)生的相位突變φNF為[5]：

(6)

根據(jù)相位突變值為超表面納米結(jié)構(gòu)指向角的2倍，位于(x，y)的納米結(jié)構(gòu)沿軸向旋轉(zhuǎn)角度θNF為[5]：

(7)

2 超表面的結(jié)構(gòu)設(shè)計及優(yōu)化

2.1 聚焦超表面的優(yōu)化過程

首先結(jié)合線偏振光，設(shè)計并優(yōu)化初始的聚焦超表面結(jié)構(gòu)。聚焦波長532nm的線偏振光，以長方體TiO2為微結(jié)構(gòu)，長250nm，寬95nm，高600nm，在SiO2的襯底上以325nm為周期按四邊形排成晶胞，如圖2a所示。根據(jù)聚焦公式(7)式，確定不同位置微元的特定旋轉(zhuǎn)角度，設(shè)計焦距為4μm。圖2b為532nm的線偏振光通過該原始超表面(見圖2a)后，焦點位置的xy橫截面的光強分布，圖2c為軸向xz面的光強分布?？梢钥闯?，該結(jié)構(gòu)對線偏振光有初步的聚焦功能，但聚焦特性不理想。進一步優(yōu)化TiO2的結(jié)構(gòu)，將長方體改為橢圓柱，其它參量不變。圖2d為初始結(jié)構(gòu)經(jīng)過第1次優(yōu)化后的微結(jié)構(gòu)為橢圓柱結(jié)構(gòu)，橢圓的長軸為250nm，短軸為95nm，橢圓柱高600nm。在以SiO2的襯底上，4個橢圓柱為一組，以正方形晶胞排布成陣列。以532nm的線偏振光入射，橫向和軸向的聚焦特性如圖2e和圖2f所示。相比于初始結(jié)構(gòu)，該優(yōu)化結(jié)構(gòu)能較好地實現(xiàn)緊聚焦，表明聚焦特性有了顯著的提升。需要注意的是，聚焦場沿軸向為約2000nm的長焦深，也意味著透過超表面軸向聚焦特性有待提升。

Fig.2 Optimization of linear polarization focusing metasurface

為進一步優(yōu)化聚焦特性，第2次優(yōu)化過程在保持圖2d中微元結(jié)構(gòu)和材料不變的基礎(chǔ)上，調(diào)整微粒的排布使其更趨近于環(huán)狀分布，將原有的4個微元組成的正方形晶胞優(yōu)化為7個微元組成的正六邊形晶胞，如圖2g所示。以532nm的線偏振光照射該超表面，得到的圖2h、圖2i分別為焦點位置橫向和軸向的光強分布圖。從圖2h可以看出，相比于優(yōu)化前的聚焦場，有著更少的雜散光和旁瓣。圖2i中，沿軸向光場聚焦也更集中，表明優(yōu)化后的整體結(jié)構(gòu)可以在設(shè)計好的焦距位置有效匯聚光場。

經(jīng)過兩次優(yōu)化后得到的聚焦超表面結(jié)構(gòu)如圖3所示。圖3a中以SiO2為襯底，厚度H=600nm，上方微元呈橢圓柱結(jié)構(gòu)，由TiO2制成，長軸R1=250nm，短軸R2=95nm，高度H=600nm；每個橢圓柱之間的間距D=325nm，如圖3b所示，7個微元為一組構(gòu)成正六邊形晶胞；圖3c為線偏振聚焦超表面結(jié)構(gòu)。

Fig.3 Parameters and performance of metasurface

2.2 針對IG矢量光場的超表面優(yōu)化

沿z軸傳播的傍軸場為U=Ψ(ξ,η,z)eik0z，其中(ξ,η)是軸上位于z處的光束橫截面上的坐標(biāo)，Ψ滿足近軸波動方程。在橢圓坐標(biāo)系中，得到波動方程的解為高斯光束調(diào)制形式并在右側(cè)插入因斯多項式的乘積，得到奇偶IG模式的一般表達式[15]：

(8)

(9)

而IG矢量光場可以由兩個具有偶模和奇模IG模式的正交偏振分量疊加構(gòu)成，用瓊斯矢量表示為:

(10)

式中，Ge,px,mx,εx和Go,py,my,εy分別為x、y偏振分量，下標(biāo)px,mx,εx和py,my,εy分別是光場x分量和y分量IG模式的階數(shù)、級數(shù)、橢圓參量，δ是x、y分量之間的相位延遲。

為了適用于IG矢量光，這里仍采用線偏振聚焦的正六邊形超表面結(jié)構(gòu)，因該結(jié)構(gòu)對不同偏振態(tài)都有相同的匯聚能力，所以理論上并不影響聚焦效果。選取4階的IG矢量光為入射光場[23]，其入射光場強度分布及聚焦光場如圖4所示。其中，圖4a為波長532nm的4階IG矢量光場強度分布；圖4b經(jīng)過正六邊形聚焦超表面后焦平面處的光場強度分布?？梢园l(fā)現(xiàn)，該結(jié)構(gòu)雖然能夠起到匯聚的作用，但對于IG復(fù)雜矢量光場，內(nèi)部強度信息并不能很好在聚焦場中體現(xiàn)，所以需要進一步優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

對整體結(jié)構(gòu)分析，能夠影響聚焦特性的因素之一是正六邊形的空間方位角。此處，作者嘗試將具有六邊形晶胞的超表面結(jié)構(gòu)整體逆時針旋轉(zhuǎn)30°，仿真結(jié)果如圖4c所示。與優(yōu)化前相比，焦平面位置的光場強度信息更完善、詳細(xì)。進一步對比入射光場與聚焦光場，提取電場的x方向分量Ex和y方向分量Ey，如圖4d所示，從左到右分別依次為：4階IG矢量光場入射光(見圖4a)的Ex分量、Ey分量；經(jīng)過優(yōu)化超表面結(jié)構(gòu)后的聚焦場(見圖4c)中的Ex分量、Ey分量。對比分析可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)優(yōu)化后，主要空間強度結(jié)構(gòu)信息在聚焦過程中能夠?qū)崿F(xiàn)較好的傳遞。

3階IG矢量光場的聚焦場空間結(jié)構(gòu)較4階聚焦場更為簡單。進一步對3階IG矢量光場的超表面聚焦進行研究，如圖5所示。其中，圖5a為波長532nm的3階IG矢量光場，圖5b為3階IG矢量光場的超表面聚焦場橫向平面的光強分布，圖5c為3階IG矢量光場的超表面聚焦場在軸向平面的光強分布。從圖中可以看出，3階IG矢量光場聚焦后內(nèi)部強度信息同樣有缺失，但IG模式的基本結(jié)構(gòu)仍然可以保持。分析圖4b與圖5b，觀察到經(jīng)超表面得到的不同階聚焦場均呈現(xiàn)一定的非軸對稱性，表現(xiàn)為一、三象限與二、四象限的聚焦光斑強弱不同。這主要是受具有六邊形晶胞的超表面結(jié)構(gòu)的整體旋轉(zhuǎn)角度所影響。結(jié)構(gòu)設(shè)計時，通過中心旋轉(zhuǎn)超表面至適當(dāng)?shù)慕嵌瓤蓽p弱這種非軸對稱性，從而實現(xiàn)優(yōu)化。

Fig.4 Structure optimization of the 4th-order IG vector light field focusing metasurface

3 IG矢量渦旋光場的超表面聚焦

在研究IG矢量光場聚焦特性基礎(chǔ)上，進一步研究攜帶軌道角動量的IG矢量渦旋光場的超表面聚焦特性。

3.1 渦旋光的超表面聚焦

為研究具有渦旋相位的IG矢量光，首先研究優(yōu)化后的六邊形超表面結(jié)構(gòu)是否能對渦旋光聚焦。圖6a中，入射光為拓?fù)浜蓴?shù)L=-5的532nm環(huán)狀渦旋光；圖6b和圖6c中，Ex和Ey分量具有相反的渦旋相位，整個環(huán)上為5個周期,在[-π,π]之間周期變換，且x和y之間存在π/2的相位延遲，其中圖6b關(guān)于縱軸互為反相，圖6c關(guān)于橫軸互為反相。

經(jīng)過超表面聚焦后得到焦點位置光場如圖6d所示。可以發(fā)現(xiàn)，該結(jié)構(gòu)對渦旋光在4μm的焦點位置也能夠較好聚焦，但環(huán)狀上光強分布并非理想均勻化分布，這與超表面正多邊形晶胞結(jié)構(gòu)有關(guān)。圖6e和圖6f分別為焦平面聚焦場的Ex分量和Ey分量的相位?？梢钥闯觯h(huán)帶上相位分布呈現(xiàn)0～2π循環(huán)交替的5個周期。對比聚焦場Ex分量(見圖6e)和Ey分量(見圖6f)的相位可發(fā)現(xiàn)，兩者之間同入射場一樣存在π/2的相位延遲。至此，可以判斷該聚焦結(jié)構(gòu)可以用于渦旋光的聚焦實驗。

3.2 IG矢量渦旋光的超表面聚焦特性

對4階IG矢量渦旋光進行聚焦?？紤]分量Ex具有渦旋相位，拓?fù)浜蓴?shù)L=-1，Ey分量無渦旋相位，結(jié)果如圖7所示。圖7a中從左至右為入射的4階IG矢量光，入射光Ex分量的相位和Ey分量的相位。圖7b中從左到右為焦點位置橫截面的電場強度，聚焦場x分量的相位和y分量的相位。對比圖7b中Ex分量的相位和Ey分量的相位，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間存在著π/2的相位差。焦點位置的電場與入射的4階IG矢量渦旋光比較，表現(xiàn)為聚焦后光場結(jié)構(gòu)對稱性的破缺。原因在于將Ex和Ey分量疊加后相位正負(fù)情況相反，引起的振幅減弱，所以聚焦后的結(jié)果存在信息缺失，僅保留了正負(fù)一致的重疊部分，與拓?fù)潆姾蒐x=-1有關(guān)。進一步研究較為簡單的3階IG矢量渦旋光，分析聚焦特性。

Fig.6 Electric field and phase distribution of annular vortex light after focusing

Fig.7 The 4th-order IG vector light field and metasurface focusing field(Lx=-1,Ly=0)

圖8a從左至右依次為：3階IG矢量光的Ey分量相位分布；拓?fù)浜蓴?shù)L=-1時，Ex分量相位分布；L=1時，Ex分量相位分布。圖8b從左至右依次為：拓?fù)浜蓴?shù)L=-1時，焦點處橫向的電場強度；聚焦光場Ex分量的相位分布；聚焦光場Ey分量的相位分布。保持其它條件不變，變換Ex分量拓?fù)浜蓴?shù)L=1，經(jīng)由超表面聚焦得到圖8c，從左至右依次為：焦點處橫向的電場強度；聚焦光場Ex分量的相位分布；聚焦光場Ey分量的相位分布。對比拓?fù)浜蓴?shù)L=-1和L=1時的聚焦場，圖8a中的Ex分量相位分布在[-π,π]之間，且關(guān)于縱軸反相。對比聚焦后的結(jié)果(見圖8b和圖8c)，可以觀察到L=-1的結(jié)果和L=1的結(jié)果也是相反的。

進一步研究矢量場中渦旋相位與聚焦場結(jié)構(gòu)破缺的關(guān)系，保持Ex分量為平面相位，Ey分量攜帶渦旋相位，聚焦場及相位分布如圖9所示。圖9a中從左到右依次分別為：Ex分量相位分布；L=-1時Ey分量相位分布；L=1時Ey分量相位分布。圖9b和圖9c中從左到右依次為L=-1和L=1時，焦點橫截面場強分布、Ex和Ey分量相位分布?？梢钥闯?，Ey分量攜帶渦旋相位時，聚焦場特征與前述所歸納的結(jié)論類似，聚焦場不再具有對稱性。不同之處在于，Ex分量攜帶渦旋相位時，聚焦場在橫向上對稱性被破壞，而Ey分量攜帶渦旋相位時，聚焦場在縱向上有對稱性的破缺，且當(dāng)L=-1時，上方結(jié)構(gòu)破缺，而L=1時下方結(jié)構(gòu)破缺。這證實了聚焦場的信息缺失與相位渦旋的旋向有關(guān)，當(dāng)旋向相反時得到的結(jié)果相反。對其它不同拓?fù)浜蓴?shù)L進行分析，可以得到相似的結(jié)果。如圖10所示，僅Ey分量攜帶渦旋相位，其中圖10a為L=-0.5時焦點橫截面場強分布，圖10b為L=0.5時焦點橫截面場強分布。同樣在聚焦場縱向上產(chǎn)生破缺，且L=-0.5時，上方結(jié)構(gòu)破缺，L=0.5時，下方結(jié)構(gòu)破缺，符合前述結(jié)論。

Fig.8 The 3rd-order IG vector light field and metasurface focusing field(Lx=±1,Ly=0)

Fig.9 The 3rd-order IG vector light field and metasurface focusing field (Lx=0,Ly=±1)

Fig.10 The 3rd-order IG vector metasurface focusing field

4 結(jié) 論

本文中以3階和4階IG矢量渦旋光場為例，研究了復(fù)雜矢量光場的超表面聚焦特性。研究結(jié)果表明，IG矢量光場經(jīng)超表面的聚焦場保持原有的基本空間結(jié)構(gòu)，中心結(jié)構(gòu)信息會有損失，與設(shè)計的結(jié)構(gòu)的尺度有關(guān)。IG矢量渦旋光場聚焦后出現(xiàn)了空間結(jié)構(gòu)對稱性的破缺，來源于渦旋相位的存在。因此，復(fù)雜矢量光場的聚焦不單單和超表面結(jié)構(gòu)有聯(lián)系，還和入射矢量光場的空間結(jié)構(gòu)有關(guān)，在進行相關(guān)超表面設(shè)計時，需同時考慮超表面聚焦性能和入射光場的矢量結(jié)構(gòu)，二者的相關(guān)匹配度如何提升還需要進一步研究。