回歸定義促深思 深度學(xué)習(xí)拓視野

四川 王昌林 羅萍雙

深度學(xué)習(xí)是根據(jù)學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)從而滿足自身需求的學(xué)習(xí)方式.其主要過(guò)程包括發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題、總結(jié)歸納問(wèn)題、問(wèn)題推廣應(yīng)用四個(gè)環(huán)節(jié).深度學(xué)習(xí)還是一種文化的傳承，教師若是熱愛(ài)數(shù)學(xué)，對(duì)鉆研數(shù)學(xué)問(wèn)題有濃厚興趣，勇于探究和創(chuàng)新，其品質(zhì)和精神必然能潛移默化地感染學(xué)生，從而引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí).積極開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，可以促進(jìn)自身專業(yè)發(fā)展，提高施教水平；對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，提升創(chuàng)造和創(chuàng)新問(wèn)題以及研究問(wèn)題的能力.

1.問(wèn)題提出

問(wèn)題提出可以是人為引導(dǎo)產(chǎn)生的，也可以是偶然產(chǎn)生的.許多教師通過(guò)在課外拓展題、高考?jí)狠S題、自主招生的另類題以及競(jìng)賽試題中去有意尋找問(wèn)題，從而提出問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程是較為低效的且許多問(wèn)題是不利于開(kāi)展深度學(xué)習(xí)的.問(wèn)題提出應(yīng)該是一個(gè)自然的過(guò)程，例如在教材的定義、例題和習(xí)題中.這些“接地氣”問(wèn)題的提出對(duì)深度學(xué)習(xí)的開(kāi)展才是高效且有益的.

1.1問(wèn)題提出背景

一位高三學(xué)生，學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)诎嗉?jí)處于中上游水平.學(xué)生在結(jié)束全部新課內(nèi)容后對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納整理時(shí)發(fā)現(xiàn)，橢圓與雙曲線定義中分別是到兩定點(diǎn)距離之“和”與到兩定點(diǎn)距離之“差”，從而產(chǎn)生猜想如果是“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之積或商為定值”又會(huì)是怎樣的圖象呢？于是自己嘗試對(duì)猜想進(jìn)行探索，有一些眉目卻不能解決，于是想到尋找老師幫忙驗(yàn)證與完善.

1.2提出問(wèn)題

橢圓的定義是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，雙曲線的定義是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之差為定值，一個(gè)是距離之和一個(gè)是距離之差，既然有了加和減，那乘和除呢？這樣的曲線存在嗎？有的話它們的動(dòng)點(diǎn)軌跡分別又是什么樣子呢？

2.問(wèn)題解決

問(wèn)題解決是深度學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，問(wèn)題解決與否決定著深度學(xué)習(xí)能否順利進(jìn)行.問(wèn)題解決的方式是多樣的，可以是教師主導(dǎo)，也可以是學(xué)生自主.在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以采取合作討論、查閱研讀相關(guān)資料與書(shū)籍、借助現(xiàn)代教育技術(shù)等多種方式.需要注意以下幾點(diǎn)：

(1)要給學(xué)生充分的思考探究時(shí)間，寶劍鋒從磨礪出，學(xué)生才能有所收獲；

(2)在解決問(wèn)題時(shí)回顧舊知識(shí)與方法，起到復(fù)習(xí)鞏固作用；

(3) 暴露出真實(shí)的思維過(guò)程，教師既能及時(shí)糾正學(xué)生的錯(cuò)誤，又能傳授解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)；

(4)方法的引導(dǎo)與選取要“接地氣”，要與學(xué)生的思維水平相適應(yīng)；

(5)問(wèn)題偏難應(yīng)加強(qiáng)鼓勵(lì)，推動(dòng)深度學(xué)習(xí)積極進(jìn)行.

以下為整理后的探究曲線方程片斷：

師：針對(duì)所提出的問(wèn)題？對(duì)于曲線方程，你做了哪些探究工作呢？

生：我類比探究橢圓方程的步驟，把曲線看作是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)的軌跡，并作如下探究：

取線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖1所示平面直角坐標(biāo)系.

圖1

設(shè)|AB|=2c(c>0)，即A(-c,0)，B(c,0).

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，

等式兩邊平方化簡(jiǎn)可得(λ2-1)x2-2c(λ2+1)x+(λ2-1)y2=c2(1-λ2).

式子還不夠簡(jiǎn)潔，但不知道后面該進(jìn)行怎樣的化簡(jiǎn).

師：仔細(xì)觀察，等式有沒(méi)有什么共同的或者相似的地方？

學(xué)生認(rèn)真觀察后……

生：有，未知數(shù)x與y前都是λ2與1的加與減形式，減比較多，要不我們同時(shí)除以λ2-1？

師：想法沒(méi)問(wèn)題，但若是λ2-1=0，你還可以直接除以λ2-1嗎？

生：那就分等于0和不等于0兩種情況討論.

學(xué)生開(kāi)始分情況討論，教師在旁指導(dǎo)，得到結(jié)果如下：

師：現(xiàn)在來(lái)看動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么？

師：是的，我們把它稱作阿波羅尼斯圓.顧名思義，阿波羅尼斯圓是古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題后得到的結(jié)果，即平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為定值且動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線或圓.

生：這個(gè)初中的時(shí)候有提到過(guò),還可以叫阿氏圓,原來(lái)是它.

師：是的，類比我們剛才的方法，你能繼續(xù)探究“積”所對(duì)應(yīng)的曲線方程嗎？

生：取兩定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|·|PB|=λ(λ>0且為常數(shù)).取線段AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖1所示平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)|AB|=2c(c>0)，即A(-c,0)，B(c,0).

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，

等式兩邊同時(shí)平方得(x2+2cx+c2+y2)(x2-2cx+c2+y2)=λ2，若是展開(kāi)，等式左邊項(xiàng)數(shù)過(guò)多，我覺(jué)得不正確，后面就沒(méi)有繼續(xù)探究了.

師：按照剛才的思考方式，再試試，看能不能繼續(xù)探究呢？

學(xué)生仔細(xì)觀察等式結(jié)構(gòu)并思考后回答：

生：等式左邊兩因式中就2cx那一項(xiàng)的系數(shù)不同，其余部分都是相同的，我們將2cx調(diào)整位置后可以得到(x2+c2+y2+2cx)(x2+c2+y2-2cx)=λ2，將“x2+c2+y2”看成是一個(gè)整體，就可以得到(x2+c2+y2)2-4c2x2=λ2.

師：是的，還可以再化簡(jiǎn)嗎？

生：等式看起來(lái)有些復(fù)雜，但是每一項(xiàng)都有平方，它是一個(gè)偶函數(shù)，軌跡應(yīng)該是對(duì)稱的.

師：我們用幾何畫(huà)板來(lái)看一下吧.(以下為幾何畫(huà)板作圖的詳細(xì)過(guò)程與結(jié)果)

(1)連接PA，PB，并度量長(zhǎng)PA與PB長(zhǎng)度，點(diǎn)擊[數(shù)據(jù)]-[計(jì)算]PA·PB的值，并[制表]PA,PB以及PA·PB的輸出值.移動(dòng)點(diǎn)N，得如圖2所示的雙紐線，PA·PB的值固定不變且與OM相等.

(2)左右移動(dòng)點(diǎn)M，得以下軌跡：

師：我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M其實(shí)是可以和點(diǎn)O重合，那我們前面有沒(méi)有哪里需要改正的呢？

生：動(dòng)點(diǎn)P應(yīng)該滿足|PA|·|PB|=λ(λ≥0且為定值).

師：是的，平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之積為定值的點(diǎn)的軌跡，我們把它稱為卡西尼卵形線.和阿波羅尼斯一樣，卡西尼也是一個(gè)人名，卡西尼卵形線是卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的.關(guān)于軌跡方程，λ與c之間有這樣的關(guān)系：

①當(dāng)λ=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為兩個(gè)定點(diǎn)A(-c,0)，B(c,0)；

②當(dāng)0<λ

③當(dāng)λ=c時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圖2所示8字形交叉的雙紐線；

生：卡西尼卵形線竟然如此有意思，其中它變化多樣的動(dòng)點(diǎn)軌跡最有意思.卡西尼當(dāng)時(shí)沒(méi)有幾何畫(huà)板這些現(xiàn)代化的作圖工具，能探究出來(lái)這些優(yōu)美的軌跡和結(jié)論，真的太厲害了.

3.結(jié)論應(yīng)用

深度學(xué)習(xí)是師生共同經(jīng)歷的一場(chǎng)智慧之旅.旅程的終點(diǎn)不是讓學(xué)生獲得一堆零散、呆板、無(wú)用的知識(shí)，而是讓他們能夠積極、充分、靈活地運(yùn)用知識(shí)，去理解世界、解決問(wèn)題，學(xué)以致用，獲得人格的健全和精神的成長(zhǎng).理解不僅僅是單純字面意思上的知道、了解、明白之意，它更強(qiáng)調(diào)一種深層次的思考，即解釋、思辨、推理、驗(yàn)證、應(yīng)用等更有難度、更加復(fù)雜和更具綜合性的學(xué)習(xí).

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)M，N，T皆是在圓O上的點(diǎn)，

所以|OM|=|ON|=|OT|.

由切割線定理可知|OT|2=|OA|·|OB|，

所以|OT|2=|OM|2=|ON|2=|OA|·|OB|，

所以△OMA∽△OBM，△ONA∽△OBN，

【評(píng)注】在驗(yàn)證結(jié)論①正確性后就可以看出，應(yīng)用1有著阿波羅尼斯圓的知識(shí)背景.

【應(yīng)用2】給定平面上兩個(gè)點(diǎn)F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，點(diǎn)P到這兩點(diǎn)的距離的乘積為a2(a>1)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.下列關(guān)于曲線C的說(shuō)法中，正確的是.

【評(píng)注】應(yīng)用2是以卡西尼卵形線為背景命制的試題，準(zhǔn)確運(yùn)用定點(diǎn)與定值的關(guān)系可以快速有效地判斷結(jié)論①②的正確性.

【評(píng)注】應(yīng)用3是教材習(xí)題，將定點(diǎn)改為定直線，探究曲線方程的方法和前面的探究是一樣的，除此以外人教A版選修2-1的第47頁(yè)、59頁(yè)、65頁(yè)等也有與應(yīng)用3相類似的例題和習(xí)題.

4.教學(xué)思考

深度學(xué)習(xí)的發(fā)生是不經(jīng)意間的，問(wèn)題的提出往往都會(huì)伴隨著深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.學(xué)生提出的問(wèn)題或許有些比較顯而易見(jiàn)，但仔細(xì)思考卻也是豐富多彩，關(guān)鍵在于弄清學(xué)生為什么會(huì)提出這樣的問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題可以怎樣解決，學(xué)生能獲得什么.波利亞在《怎樣解題》中指出：解決問(wèn)題包括弄清題意、擬定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧.深度學(xué)習(xí)的過(guò)程就是幫助學(xué)生享受這一過(guò)程，享受成功解決問(wèn)題的快樂(lè)；享受山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村的驚喜；享受知識(shí)本身所散發(fā)的獨(dú)特魅力.