一類新Durrmeyer型算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

任美英

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院, 福建 武夷山 354300)

1 引言

近些年來，有關(guān)Orlicz空間中算子逼近的研究已取得好些結(jié)果[1-12]. 2003年，V.Gupta, P.Maheshwari等學(xué)者[13]引進(jìn)如下一類新Durrmeyer型算子序列{Pn(f; ·)}：

(Ⅰ)

同時，在文獻(xiàn)[13]中，作者V.Gupta和 P.Maheshwari還引進(jìn)并研究了如下Pn(f; ·)的Bezier變形Pn,α(f; ·)的點態(tài)收斂速度：

(Ⅱ)

其中

顯然，當(dāng)α=1，Pn,α(f; ·)就退化為Pn(f; ·).

本文的目的是研究算子Pn(f; ·)在Orlicz空間內(nèi)的逼近性質(zhì).

由文獻(xiàn)[15]知，ω1,M(f,t)→0 (t→0),ω2,M(f,t)→0 (t→0)當(dāng)且僅當(dāng)N函數(shù)M(u)滿足Δ2-條件.

本文中，c表示與f,n無關(guān)的正常數(shù), 在不同處可以表示不同的值.

定理2 設(shè)M(·)滿足Δ2-條件，則對于

定理3 設(shè)M(·)滿足Δ2-條件，則對于

2 幾個引理

引理1[14]設(shè)M(·)為N-函數(shù)，則對任意的u,v∈(-∞,+∞)，有

M(u)+M(v)≤M(|u|+|v|).

引理2[13]對于(I) 式給出的算子Pn(f; ·)，有,

(1)Pn(1;x)=1;

‖g-f‖M≤ω1,M(f,t).

由Cauchy-Schwarz不等式及引理3得

3 定理證明

‖f(0)‖M+‖f‖M.

定理2的證明：對

|Pn(t-x;x)‖f′(x)|+|Pn((t-x)2;x)‖θf″(x)|≤

其中0<ξ

(2)對于

‖Pn(f; ·)-f‖M≤‖Pn(f-ft; ·)‖M+‖Pn(ft; ·)-ft‖M+‖ft-f‖M≤