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      一類新Durrmeyer型算子在Orlicz空間內(nèi)的逼近

      2022-01-17 08:23:34任美英
      關(guān)鍵詞:算子定理證明

      任美英

      (武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院, 福建 武夷山 354300)

      1 引言

      近些年來,有關(guān)Orlicz空間中算子逼近的研究已取得好些結(jié)果[1-12]. 2003年,V.Gupta, P.Maheshwari等學(xué)者[13]引進(jìn)如下一類新Durrmeyer型算子序列{Pn(f; ·)}:

      (Ⅰ)

      同時,在文獻(xiàn)[13]中,作者V.Gupta和 P.Maheshwari還引進(jìn)并研究了如下Pn(f; ·)的Bezier變形Pn,α(f; ·)的點態(tài)收斂速度:

      (Ⅱ)

      其中

      顯然,當(dāng)α=1,Pn,α(f; ·)就退化為Pn(f; ·).

      本文的目的是研究算子Pn(f; ·)在Orlicz空間內(nèi)的逼近性質(zhì).

      由文獻(xiàn)[15]知,ω1,M(f,t)→0 (t→0),ω2,M(f,t)→0 (t→0)當(dāng)且僅當(dāng)N函數(shù)M(u)滿足Δ2-條件.

      本文中,c表示與f,n無關(guān)的正常數(shù), 在不同處可以表示不同的值.

      定理2 設(shè)M(·)滿足Δ2-條件,則對于

      定理3 設(shè)M(·)滿足Δ2-條件,則對于

      2 幾個引理

      引理1[14]設(shè)M(·)為N-函數(shù),則對任意的u,v∈(-∞,+∞),有

      M(u)+M(v)≤M(|u|+|v|).

      引理2[13]對于(I) 式給出的算子Pn(f; ·),有,

      (1)Pn(1;x)=1;

      ‖g-f‖M≤ω1,M(f,t).

      由Cauchy-Schwarz不等式及引理3得

      3 定理證明

      ‖f(0)‖M+‖f‖M.

      定理2的證明:對

      |Pn(t-x;x)‖f′(x)|+|Pn((t-x)2;x)‖θf″(x)|≤

      其中0<ξ

      (2)對于

      ‖Pn(f; ·)-f‖M≤‖Pn(f-ft; ·)‖M+‖Pn(ft; ·)-ft‖M+‖ft-f‖M≤

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