日晷投影和等距離正圓柱投影在極區(qū)航海圖編制及航海應(yīng)用中的比較

彭認(rèn)燦 董 箭 王 芳 劉國輝 戴佳良

1 海軍大連艦艇學(xué)院軍事海洋與測繪系，遼寧 大連，116018 2 海軍大連艦艇學(xué)院海洋測繪工程軍隊(duì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連，116018 3 91001 部隊(duì)，北京，100161 4 海圖信息中心，天津，300450

近年來，隨著北極冰蓋的消融速度加快，中國相關(guān)科技工作者為做好北極航道開通之前的航海保障準(zhǔn)備工作，針對北極地區(qū)（簡稱極區(qū)）特殊的地理環(huán)境，從海洋調(diào)查、海洋測量、航海圖書編制等方面開展了大量研究與實(shí)踐，取得了不少富有價值的成果。李樹軍等［1］對編制極區(qū)航海圖需解決的投影選擇、制圖資料收集與利用、專題符號設(shè)計和海圖分幅4個關(guān)鍵問題進(jìn)行了探討，初步給出了相應(yīng)的解決方案。王海波等［2］提出了一種適用于極區(qū)的橫軸墨卡托航海圖：為改變橫軸墨卡托投影航海圖上極區(qū)經(jīng)緯線網(wǎng)格為三角形的特性和提高極區(qū)導(dǎo)航定位的精度，構(gòu)建了基于偽經(jīng)緯線網(wǎng)的橫軸墨卡托航海圖，使得圖上的極區(qū)相當(dāng)于墨卡托航海圖上的赤道附近，偽經(jīng)緯線網(wǎng)與墨卡托海圖上經(jīng)緯線網(wǎng)的特點(diǎn)相同。溫朝江等［3］對墨卡托投影在極區(qū)航海圖編制中的可用性進(jìn)行了研究，從長度變形控制的角度，針對基準(zhǔn)緯度的選用、最大長度變形的確定、圖幅緯度的范圍等影響因素，提出了提高墨卡托投影極區(qū)可用性的思路，重點(diǎn)討論了適宜長度變形范圍選用這一關(guān)鍵問題，按照基準(zhǔn)緯度是否在圖幅中緯的不同情況，分析了緯度75°～85°間墨卡托投影的可用性。隨后，溫朝江等［4］對可能用于極區(qū)航海圖編制的雙重極球面投影在極區(qū)的投影誤差進(jìn)行了分析，從投影變形、經(jīng)緯線形狀以及大圓航線與直線逼近程度等方面，探討了極球面投影上用直線代替大圓航線的可行性。張志衡等［5］對極地航海區(qū)等距離正圓柱投影平面上等角航線的展繪方法進(jìn)行了研究，從分析等角航線在等距離正圓柱投影中的方程及其曲率入手，得出等距離正圓柱投影面上等角航線一般為曲線的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用“以直代曲”的研究思路，提出了一種在等距離正圓柱投影航海圖上精確展繪等角航線的方法，并通過具體算例驗(yàn)證了該方法的可行性及實(shí)用性。隨后，張志衡等［6］對等距離正圓柱投影在極區(qū)航海圖中的應(yīng)用問題進(jìn)行了研究，提出了選用等距離正圓柱投影作為極區(qū)航海圖投影的設(shè)想，并分析了該投影在極區(qū)航海圖編制與應(yīng)用中的適用性，研究了等角航線展繪和圖上方位、距離量測等關(guān)鍵技術(shù)，為該投影在極區(qū)航海圖中的應(yīng)用提供了技術(shù)支撐。

雖然以上研究已經(jīng)從不同角度探討了包括投影選擇和投影可用性等大量與極區(qū)航海圖編制與應(yīng)用有關(guān)的問題，但筆者認(rèn)為，這些研究還未能全面解決極區(qū)航海圖投影選擇中需要解決的關(guān)鍵問題。為此，本文從給定投影在極區(qū)航海圖編制和航海應(yīng)用中的適用性角度，采取分析比較的方法，對編制極區(qū)航海圖可能采用的日晷投影和等距離正圓柱投影進(jìn)行了研究。

1 兩種投影在極區(qū)航海圖編制中的適用性比較分析

1.1 日晷投影

1.1.1 投影公式

日晷投影是視點(diǎn)位于球心的透視投影，其投影公式如下［7，8］：

式中，R為視地球?yàn)榍蝮w時的半徑；θ表示余緯度，θ= π/2 -φ，φ為球面緯度；λ為球面經(jīng)度。

1.1.2 投影性質(zhì)與特點(diǎn)

投影性質(zhì)與特點(diǎn)如下［8，9］：

1）球面上各垂直圈（所有通過切點(diǎn)的大圈）被描寫為放射狀的直線，各等高圈（垂直于垂直圈的平行圈）被描寫為以切點(diǎn)為中心的同心圓。

2）兩垂直圈之間的夾角與投影平面上相應(yīng)的兩直線間的夾角相等。

3）圓球上任何大圈都被描寫成直線。

4）投影變形與其至切點(diǎn)的距離有關(guān)：切點(diǎn)附近變形小，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)變形愈大。即切點(diǎn)上長度比為1，隨著其與切點(diǎn)間距離的增加，長度比不斷增大，距切點(diǎn)90°（大圈距離）以上，長度比為無窮大。但在與切點(diǎn)為同一距離的等高圈上的長度比一致。

5）隨著切點(diǎn)位置的不同，經(jīng)緯線的形狀也不同，有以下3 種情況：

①當(dāng)切點(diǎn)在兩極時，即為正方位投影，經(jīng)線被描寫為交于極點(diǎn)的放射狀直線。放射中心各經(jīng)線間的夾角與球面上的經(jīng)差一致，同一緯線上的經(jīng)差相等，緯線被描寫成以極點(diǎn)為中心的同心圓，但各圓弧之間的距離并不相等，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)間隔愈大，至赤道為無窮大。

②當(dāng)切點(diǎn)在赤道上時，即為橫方位投影，經(jīng)線被描寫成平行的直線，以通過切點(diǎn)的子午線（中央經(jīng)線）為對稱軸左右對稱，平行線的間隔不等，離切點(diǎn)愈遠(yuǎn)間隔愈大，與切點(diǎn)經(jīng)差為90°處的間隔為無窮大。赤道被描寫成直線，其他緯線被描寫為以赤道為對稱軸的雙曲線。離切點(diǎn)愈遠(yuǎn)，曲線間隔愈大，至兩極為無窮大。

③當(dāng)切點(diǎn)在極點(diǎn)和赤道以外的地球面上的任何一個位置時，即為斜方位投影，經(jīng)線被描寫為交于極點(diǎn)的一束放射狀直線，各線間交角不相等。除赤道被描寫為直線外，其他經(jīng)線隨位置的不同分別被描寫為雙曲線、拋物線或橢圓曲線（極點(diǎn)附近），曲線間的間隔隨它與切點(diǎn)間的距離而變化，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)，間隔愈大。距切點(diǎn)大圈距離為90°處的變形為無窮大。

1.2 等距離正圓柱投影

1.2.1 投影公式

等距離正圓柱投影是圓柱投影面與地軸平行，按經(jīng)線長度不變的條件將經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，再沿某一母線剖開展平的一種投影。將地球視為半徑為R的球體時，可得到等距離正圓柱投影的一種常見形式——等距離正切圓柱投影，其投影公式如下［8］：

1.2.2 投影性質(zhì)與特點(diǎn)

投影性質(zhì)與特點(diǎn)如下［8］：

1）投影后的緯線間隔與實(shí)地等長，經(jīng)線與緯線表現(xiàn)為相互垂直的等距平行直線。

2）視地球?yàn)榍蝮w時，經(jīng)緯網(wǎng)為正方形格網(wǎng)，故等距離正圓柱投影又稱為“方塊投影”或“方格投影”。

3）從投影變形性質(zhì)來看，等距離正圓柱投影屬于任意投影，角度與面積均存在變形，長度只在經(jīng)線方向與基準(zhǔn)緯度處無變形，在其他區(qū)域與其他方向均存在變形。

1.3 兩種投影的投影變形情況比較

1）日晷投影的投影變形。如前文所述，日晷投影為任意投影，其變形公式如下［8］：

式中，μ1、μ2分別表示緯線圈和子午線方向上的長度變形，其中，μ1為日晷投影的極大長度變形，μ2為極小長度變形；p為面積變形；ω為角度變形。

表1 展示了若干典型余緯度θ處的日晷投影變形情況。

表1 日晷投影變形信息Tab.1 Deformation Information of Sundial Projection

2）等距離正圓柱投影的投影變形。與日晷投影一樣，等距離正圓柱投影也是一種任意投影。當(dāng)以赤道為基準(zhǔn)緯度時即為等距離正切圓柱投影，而其緯線方向的長度變形、面積變形和角度變形將達(dá)到最大。為便于與日晷投影的投影變形作比較，以視地球?yàn)榍蝮w時的等距離正切圓柱投影為例進(jìn)行分析，其變形公式為［8］：

式中，m為經(jīng)線方向長度比；n為緯線方向長度比；其余符號同前。表2 為若干典型球面緯度φ處的等距離正切圓柱投影變形情況。

表2 等距離正切圓柱投影變形信息Tab.2 Deformation Information of Equidistant Tangent Cylindrical Projection

1.4 兩種投影極區(qū)航海圖圖幅設(shè)計難易比較

航海圖圖幅設(shè)計指的是按標(biāo)準(zhǔn)的航海圖規(guī)格（圖幅尺寸），根據(jù)比例尺、經(jīng)緯線網(wǎng)和制圖區(qū)域特點(diǎn)確定海圖范圍的過程。其中，圖框計算是圖幅設(shè)計中需要解決的關(guān)鍵技術(shù)問題，具體分為以下兩種情況：①以經(jīng)緯線為內(nèi)圖廓線時，準(zhǔn)確求出4個圖廓角點(diǎn)的經(jīng)緯度值；②不將經(jīng)緯線作為內(nèi)圖廓線時，大致確定出圖幅范圍。

兩種投影極區(qū)航海圖的圖框計算方法如下：

1）日晷投影極區(qū)航海圖的圖框計算［9，10］。由于日晷投影的經(jīng)緯線不是成垂直正交的兩組直線，因此，不能將經(jīng)緯線作為內(nèi)圖廓線，這給采用該投影的極區(qū)航海圖圖框計算帶來了困難，其主要過程如下：

①確定圖幅邊緣的經(jīng)緯度值。根據(jù)制圖區(qū)域范圍，確定出邊緣的概略經(jīng)緯度值。

②計算并確定比例尺。計算邊緣經(jīng)線與北界緯線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)xN；計算邊緣經(jīng)線與南界緯線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)y0；計算中央經(jīng)線與南界緯線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)x0；根據(jù)計算得到的xN、y0和x0，計算橫圖廓和縱圖廓的實(shí)地長度a′和b′，其公式為：

假設(shè)航海圖的規(guī)格為橫向a0cm、縱向b0cm（即圖幅尺寸或圖積大小為a0cm×b0cm），則橫向比例尺為a0/(a′× 100 )、縱向比例尺為b0/(b′× 100 )。在此基礎(chǔ)上，取比例尺較小者并對比例尺分母進(jìn)行必要的湊整，得到初步確定的比例尺分母C0。

③按初步確定的比例尺分母C0重新計算圖積大小。分別將a′和b′乘以C0，將得到的新的a′、b′與a0、b0作比較。若相差較大，則通過調(diào)整制圖區(qū)域的邊緣緯度或改變比例尺分母C0的大小來調(diào)整制圖區(qū)域的邊緣經(jīng)度。

④調(diào)整和試湊圖幅范圍。以規(guī)格圖積為目標(biāo)，通過切點(diǎn)不變、調(diào)整邊緣緯度等方法反復(fù)進(jìn)行調(diào)整和試湊，直至確定出符合規(guī)格圖積的圖幅范圍。

盡管上述方法針對的是手工作業(yè)方式，但即使采用計算機(jī)制圖技術(shù)，其過程也頗為復(fù)雜，往往要經(jīng)過多次調(diào)整和人機(jī)交互處理，才能完成日晷投影極區(qū)航海圖的圖幅設(shè)計工作。

2）等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖的圖框計算。與日晷投影相比，由于等距離正切圓柱投影的經(jīng)線與緯線表現(xiàn)為相互垂直的等距平行直線，這一性質(zhì)使得其圖幅設(shè)計工作變得十分簡單，因?yàn)閳D幅的內(nèi)圖廓直接由上下兩條緯線和東西兩條經(jīng)線構(gòu)成。具體地，當(dāng)?shù)厍虬霃綖镽、規(guī)格圖積大小為a0cm×b0cm、比例尺分母為C0時，等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖的圖框計算過程如下：

①計算圖幅的橫向經(jīng)差和縱向緯差：

式中，Δλ、Δφ分別表示橫向經(jīng)差和縱向緯差（單位：rad）。

②通過給定圖廓左下角點(diǎn)的經(jīng)緯度φ南、λ西，得到圖廓左上角點(diǎn)的經(jīng)緯度為φ南+ Δφ、λ西，右上角點(diǎn)的經(jīng)緯度為φ南+ Δφ、λ西+ Δλ，右下角點(diǎn)的經(jīng)緯度為φ南、λ西+ Δλ。需要注意的是，具體作業(yè)時要將這些圖廓點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為度分秒形式。

顯然，若圖幅覆蓋的地理范圍不合適，可首先將左下角點(diǎn)經(jīng)緯度坐標(biāo)φ南、λ西調(diào)整至理想位置，并在此基礎(chǔ)上按前面的計算步驟得到所需的其余3個圖廓角點(diǎn)的準(zhǔn)確經(jīng)緯度值。

2 兩種投影在極區(qū)航海應(yīng)用中的適用性比較分析

2.1 兩種投影極區(qū)航海圖上定位與量讀難易比較

在航海圖上定位是應(yīng)用海圖的一種基本技術(shù)，有多種定位的方法，如距離法、方位距離法、三標(biāo)兩角法和經(jīng)緯度值定位法等。同樣地，在航海圖上量讀也是應(yīng)用海圖的一種基本技術(shù)，主要包括點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀、方位量讀和距離量讀等內(nèi)容。本文以最常用也是最基礎(chǔ)的經(jīng)緯度值定位法和點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀為例，對兩種投影極區(qū)航海圖上的定位與量讀難度進(jìn)行比較［10］。

1）日晷投影極區(qū)航海圖上定位與量讀。本文以以極點(diǎn)為切點(diǎn)的正方位投影為例，介紹日晷投影極區(qū)航海圖上確定點(diǎn)位的經(jīng)緯度值定位法。如前文所述，由于該投影圖上經(jīng)線被描寫為從極點(diǎn)出發(fā)的放射狀直線，各經(jīng)線的夾角與球面上的經(jīng)差一致，且同一緯線上的經(jīng)差相等；而緯線被描寫成以極點(diǎn)為中心的同心圓，但各圓弧之間的距離并不相等，距切點(diǎn)愈遠(yuǎn)，間隔愈大，至赤道為無窮大。顯然，在給定某點(diǎn)的經(jīng)緯度值后，其困難在于準(zhǔn)確定位該緯度值在圖上的位置，即需要通過投影公式計算出該緯度值在圖上的同心圓圓弧，而其經(jīng)度值在圖上的位置可根據(jù)其值的大小，在此同心圓圓弧上按照弧段距離等分法快速確定。

在日晷投影極區(qū)航海圖上實(shí)現(xiàn)點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀，與上述經(jīng)緯度值定位法原理是一致的，在此不再贅述。

顯然，以人工的方法在日晷投影極區(qū)航海圖上進(jìn)行定位與量讀并不是件容易的事情。事實(shí)上，在電子海圖技術(shù)出現(xiàn)或得到實(shí)際應(yīng)用之前，為解決相關(guān)問題，相關(guān)科技工作者曾通過編制出版《海圖投影計算手冊》［9］等工具書的途徑，詳細(xì)給出日晷投影圖上各種實(shí)用的定位、量讀與量測方法。

2）等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖上定位與量讀。與日晷投影極區(qū)航海圖上確定點(diǎn)位的經(jīng)緯度值定位法和實(shí)現(xiàn)點(diǎn)位經(jīng)緯度值量讀時的復(fù)雜性相比，由于球面等距離正切圓柱投影圖上經(jīng)緯線被投影為正方形格網(wǎng)，因此相應(yīng)的方法都非常簡單，均只需在經(jīng)線和緯線上通過線段距離等分的方法即可快速、準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)圖上定位與量讀。

2.2 兩種投影極區(qū)航海圖上等角航線與大圓航線繪制難易比較

1）日晷投影極區(qū)航海圖上等角航線與大圓航線繪制。由于日晷投影屬于一種各種投影變形均比較大的任意投影，等角航線被描寫成復(fù)雜的曲線，因此難以通過人工的方法在該投影圖上繪制出等角航線。與此同時，從國內(nèi)外已公開的文獻(xiàn)中也無法查閱到如何利用計算機(jī)技術(shù)實(shí)現(xiàn)日晷投影圖上等角航線繪制的方法。由此可見，還需要對如何在電子海圖系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)該投影圖上等角航線的自動繪制（顯示）進(jìn)行研究。但日晷投影上的大圓被投影成直線，因此，在該投影極區(qū)航海圖上繪制大圓航線十分容易。

2）等距離正切圓柱投影極區(qū)航海圖上等角航線與大圓航線繪制。通過表1 和表2 可以看出，與日晷投影相比，等距離正切圓柱投影是一種長度變形和面積變形都相對較小的任意投影，但相關(guān)文獻(xiàn)表明，在該投影的航海圖上等角航線與大圓航線均被描寫成復(fù)雜的曲線，因此難以通過人工的方法繪制，而在電子海圖系統(tǒng)上則可以按照“以直代曲”思路解決其自動繪制（顯示）的問題［5，6］。

2.3 兩種投影極區(qū)航海圖鄰幅拼接難易比較

日晷投影的性質(zhì)和特點(diǎn)決定了其只適合用于制作單幅航海圖，而不適合用于制作拼接使用的同一比例尺系列航海圖。也就是說，若用這種投影制作極區(qū)航海圖，要實(shí)現(xiàn)相鄰圖幅的拼接才能在航海時使用，存在明顯的不便，這對依靠紙質(zhì)航海圖實(shí)施航海作業(yè)是十分不利的。

相比之下，等距離正切圓柱投影航海圖上的經(jīng)緯線網(wǎng)被描寫為正方形，其經(jīng)緯線網(wǎng)與墨卡托投影相似，甚至還因不存在緯度漸長而比墨卡托投影更簡單，因此，非常容易實(shí)現(xiàn)任意方向相鄰圖幅的直接拼接使用。

3 結(jié)束語

盡管在中國相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)《中國航海圖編繪規(guī)范》（GB 12320—1998）中對極區(qū)航海圖投影已有明確規(guī)定，要求航海圖制圖區(qū)域60% 以上的地區(qū)緯度高于75°時，采用日晷投影，而不采用墨卡托投影。但相關(guān)研究已發(fā)現(xiàn)，簡單地按照這一規(guī)定執(zhí)行，在極區(qū)航海圖編制和航海應(yīng)用等關(guān)鍵環(huán)節(jié)中會存在不少需要解決的問題。為此，本文針對當(dāng)前和今后可能應(yīng)用于極區(qū)航海圖編制與航海應(yīng)用的日晷投影和等距離正圓柱投影，對其性質(zhì)與特點(diǎn)、投影變形的大小與分布、圖幅設(shè)計、圖上定位與量讀、圖上等角航線與大圓航線繪制和鄰幅拼接的難易等進(jìn)行了分析與比較。從研究結(jié)果看，無論是在極區(qū)航海圖編制還是航海應(yīng)用中，與日晷投影相比，采用等距離正圓柱投影都具有更多的優(yōu)勢。因此，建議有關(guān)部門積極開展等距離正圓柱投影極區(qū)航海圖編制實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步解決其中可能存在的技術(shù)問題，扎實(shí)推進(jìn)極區(qū)航海圖正式生產(chǎn)的準(zhǔn)備工作，更好地滿足北極航線開通對極區(qū)航海圖的迫切需要。