一種極區(qū)統(tǒng)一坐標(biāo)系及其導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換方法*

林秀秀，卞鴻巍，王榮穎，馬 恒

（海軍工程大學(xué)電氣工程學(xué)院，武漢 430033）

0 引言

極區(qū)導(dǎo)航技術(shù)是對極區(qū)研究開發(fā)的重要基礎(chǔ)，是近年來國內(nèi)研究的熱點(diǎn)。而極區(qū)坐標(biāo)系是極區(qū)導(dǎo)航的基礎(chǔ)性問題，影響極區(qū)時(shí)空基準(zhǔn)的確立，所以對極區(qū)坐標(biāo)系的研究具有重要的意義。傳統(tǒng)導(dǎo)航方法應(yīng)用于極區(qū)時(shí)，存在真航向、大地坐標(biāo)系極點(diǎn)經(jīng)度收斂、導(dǎo)航參數(shù)定義不再適用、傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系不再適用等問題［1］。因此，極區(qū)導(dǎo)航必須采用新的極區(qū)坐標(biāo)系和新的導(dǎo)航參數(shù)定義。

目前為止，我國學(xué)者對極區(qū)導(dǎo)航的研究采用的極區(qū)坐標(biāo)系眾多，主要分為格網(wǎng)坐標(biāo)系和橫向坐標(biāo)系兩大體系。其中，格網(wǎng)坐標(biāo)系在極球面投影海圖中采用不同的航向參考基準(zhǔn)，形成了格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系、圖幅中央經(jīng)線格網(wǎng)坐標(biāo)系、沿大圓航線格網(wǎng)坐標(biāo)系等不同格網(wǎng)坐標(biāo)系的定義，投影方式不同也會對應(yīng)不同格網(wǎng)坐標(biāo)系定義。橫向坐標(biāo)系則主要依據(jù)Donald R Watlan［2］等人提出的適用于極區(qū)導(dǎo)航的橫向極區(qū)坐標(biāo)系定義。此外，國內(nèi)學(xué)者還給出了逆坐標(biāo)系［3］、偽地球坐標(biāo)系［4］、橫向地球坐標(biāo)系［5］等多種定義方法，這些定義方法基本沿用Donald R Watlan 提出的極區(qū)坐標(biāo)系，用以解決極區(qū)導(dǎo)航問題。在本文中為了加以區(qū)分，將上述基本沿用Donald R Watlan 提出的極區(qū)坐標(biāo)系的坐標(biāo)系統(tǒng)稱為Donald 極區(qū)坐標(biāo)系。橫向坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)定義方式也有多種多樣，針對不同的應(yīng)用背景，很多學(xué)者對各種橫向坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)方式也都有一定的研究，如劉猛［6］、張福斌［7］等人為了解決極區(qū)對準(zhǔn)以及極區(qū)組合導(dǎo)航的問題都有定義新的坐標(biāo)系。針對上述現(xiàn)象提出以下主要問題：1）格網(wǎng)坐標(biāo)系體系中的定義和概念多樣，格網(wǎng)坐標(biāo)系的確定構(gòu)建依賴極區(qū)海圖，而極區(qū)海圖種類多樣，造成學(xué)者對其定義方式多種多樣；2）橫向坐標(biāo)系體系中的定義和概念多樣，沒有明確建立起橫向坐標(biāo)系與格網(wǎng)坐標(biāo)系之間的聯(lián)系；3）稱謂不統(tǒng)一。格網(wǎng)坐標(biāo)系，也稱為柵格坐標(biāo)系、網(wǎng)格坐標(biāo)系等，橫向坐標(biāo)系也稱為逆坐標(biāo)系、偽坐標(biāo)、橫向地球坐標(biāo)系等，專業(yè)術(shù)語混亂；4）基于格網(wǎng)坐標(biāo)系的指向類導(dǎo)航系統(tǒng)和基于橫向坐標(biāo)系的定位類導(dǎo)航系統(tǒng)不能統(tǒng)一，造成不同導(dǎo)航系統(tǒng)間信息交聯(lián)困難，缺乏統(tǒng)一的極區(qū)坐標(biāo)系定義，給國內(nèi)極區(qū)導(dǎo)航的研究和應(yīng)用造成了混亂。

針對以上問題，本文提出一種極區(qū)橫向坐標(biāo)系，該坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)了基于格網(wǎng)坐標(biāo)系的指向型導(dǎo)航系統(tǒng)和基于橫向坐標(biāo)系定位類導(dǎo)航系統(tǒng)的統(tǒng)一，并給出不同坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)換關(guān)系及導(dǎo)航參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，最后通過慣導(dǎo)編排仿真證明該坐標(biāo)系在極區(qū)導(dǎo)航中的可行性。

1 坐標(biāo)系定義

1.1 統(tǒng)一橫向坐標(biāo)系定義

圖1 橫向地球坐標(biāo)系和橫向地理坐標(biāo)系

1.2 橫向地理坐標(biāo)系和格網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)一性分析

圖2 北極區(qū)域橫向坐標(biāo)系俯視圖

與本文統(tǒng)一的格網(wǎng)坐標(biāo)系為格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系［8-9］，格網(wǎng)坐標(biāo)系本質(zhì)上是一種地理坐標(biāo)系，其北向定義為平行于格林尼治子午面的格網(wǎng)平面與當(dāng)?shù)厮矫娴慕痪€。由橫向坐標(biāo)系定義可知，橫向北相切于橫向經(jīng)度圈，且北極地區(qū)位于橫向赤道與橫向本初子午線相交的區(qū)域。在極區(qū)范圍內(nèi)，橫向經(jīng)度圈的切線近似平行，由此格網(wǎng)北與橫向北本質(zhì)上是統(tǒng)一的，兩個(gè)坐標(biāo)系天向一致，故在極區(qū)橫向地理坐標(biāo)系與格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系近似統(tǒng)一。

從圖1 中僅觀察北極區(qū)域的橫向地理坐標(biāo)系，可作出圖2 所示的北極區(qū)域橫向坐標(biāo)系俯視圖，發(fā)現(xiàn)橫向地理坐標(biāo)系正好是一個(gè)格網(wǎng)坐標(biāo)系，此時(shí)橫向經(jīng)緯線近似構(gòu)成格林尼治導(dǎo)航格網(wǎng)。由此結(jié)論再結(jié)合橫向坐標(biāo)系的慣導(dǎo)編排就可以為解決北極地區(qū)定位和定向上的問題提供理論依據(jù)。

2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換

2.1 地球坐標(biāo)系、地理坐標(biāo)系與橫向坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)以上定義過程，可以寫出從地球坐標(biāo)系到橫向地球坐標(biāo)系間的變換矩陣為

橫向地理坐標(biāo)系可由地理坐標(biāo)系繞Ozg軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)σ 角度得到?？梢詫懗龅乩碜鴺?biāo)系到橫向地理坐標(biāo)系的變換矩陣

從地球坐標(biāo)系到橫向地理坐標(biāo)系的變換可以先從地球坐標(biāo)系變換到橫向地球坐標(biāo)系再變換到橫向地理坐標(biāo)系，其轉(zhuǎn)換過程由式（3）表示。

同理該變換也可從地球坐標(biāo)系變換到地理坐標(biāo)系，然后再變換到橫向地理坐標(biāo)系而得，其轉(zhuǎn)換過程由式（4）表示。

2.2 Donald 極區(qū)坐標(biāo)系與橫向坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換

本文提出的Donald 坐標(biāo)系為Donald R Watlan提出的極區(qū)坐標(biāo)系［2，10］，橫向地球坐標(biāo)系繞負(fù)軸旋轉(zhuǎn)90°可以轉(zhuǎn)換為Donald 極區(qū)地球坐標(biāo)系。

Donald 極區(qū)坐標(biāo)系到橫向地球坐標(biāo)系的變換過程可以寫出從地球坐標(biāo)系到橫地球坐標(biāo)系間的變換矩陣為

對比Donald 極區(qū)地理坐標(biāo)系和橫向地理坐標(biāo)系，發(fā)現(xiàn)橫向地理坐標(biāo)系可由Donald 極區(qū)地理坐標(biāo)系繞Ozg'軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)σ'角度得到?？梢詫懗龅乩碜鴺?biāo)系到橫向地理坐標(biāo)系的變換矩陣

使用兩種變換關(guān)系可得式（7）和式（8）。

3 導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換

3.1 地球坐標(biāo)系和橫向坐標(biāo)系的導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換

結(jié)合式（3）和式（4）可得傳統(tǒng)坐標(biāo)系和橫向坐標(biāo)系的導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3.2 Donald 極區(qū)坐標(biāo)系和橫坐標(biāo)系的導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換

結(jié)合式（7）和式（8）得Donald 極區(qū)坐標(biāo)系和橫向坐標(biāo)系的導(dǎo)航參數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系。

根據(jù)上面給出的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以將其他的極區(qū)橫向坐標(biāo)系的定義方式轉(zhuǎn)換到本文所提出的坐標(biāo)系中，使得坐標(biāo)系有更廣泛的應(yīng)用和較強(qiáng)的適用性。

3.3 航向轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)航向的轉(zhuǎn)換關(guān)系和航向與東向速度和北向速度的關(guān)系，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出東向速度VE與橫東向速度、北向速度VN與橫北向速度的轉(zhuǎn)換關(guān)系

極區(qū)導(dǎo)航系統(tǒng)中常用的海圖投影方式有極球面投影和橫向墨卡托投影，根據(jù)不同的投影方式可以定義不同格網(wǎng)坐標(biāo)系，分別為基于極球面投影的橢球面格網(wǎng)坐標(biāo)系和基于橫向墨卡托投影的橢球面格網(wǎng)坐標(biāo)系。下面將對本文坐標(biāo)系確定的橫航向與基于極球面投影的橢球面格網(wǎng)航向、基于橫向墨卡托投影的橢球面格網(wǎng)航向之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系進(jìn)行討論。

1）橫航向與基于極球面投影的橢球面格網(wǎng)航向的轉(zhuǎn)換關(guān)系

其中，l 表示投影圖上的經(jīng)度，sign（·）為符號函數(shù)。

2）橫航向與基于橫向墨卡托投影的球面格網(wǎng)航向的轉(zhuǎn)換關(guān)系

4 基于橫向坐標(biāo)系的慣導(dǎo)編排

4.1 姿態(tài)微分方程

姿態(tài)微分方程由式（15）確定

4.2 速度微分方程

速度微分方程由式（16）確定

4.3 位置微分方程

位置微分方程可由式（17）確定

在姿態(tài)、速度和位置的微分方程中，當(dāng)采用傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系時(shí)，極區(qū)地理緯度L 趨于90°時(shí)，計(jì)算三角函數(shù)會出現(xiàn)計(jì)算溢出現(xiàn)象，當(dāng)采用新定義的橫向坐標(biāo)系時(shí)，極區(qū)區(qū)域橫向地理緯度在0°～15°，在慣導(dǎo)編排中，不存在三角函數(shù)溢出的問題，即新的橫向坐標(biāo)系可以解決在北極區(qū)域出現(xiàn)奇異點(diǎn)的問題，新的橫向坐標(biāo)系在極區(qū)適用。

5 仿真分析

為了驗(yàn)證本文所定義坐標(biāo)系在極區(qū)導(dǎo)航中的可行性，本文基于橫向坐標(biāo)系的慣導(dǎo)編排進(jìn)行仿真試驗(yàn)，在中低緯度橫向坐標(biāo)系與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系均適用的區(qū)域進(jìn)行仿真，對比橫向坐標(biāo)系與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系的仿真誤差，驗(yàn)證低緯度橫向坐標(biāo)系的正確性。另外，在極區(qū)區(qū)域分別對橫向坐標(biāo)系和傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系進(jìn)行仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證并說明橫向坐標(biāo)系在極區(qū)的適用性。

5.1 中低緯度橫向坐標(biāo)系與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排對比仿真結(jié)果

假設(shè)載體初始地理位置為（60°N，125°E），地理速度為15 m/s，地理航向角為0°，橫搖角設(shè)置為0.3°sin（πt/4）rad，縱搖角設(shè)置為0.3°sin（πt/4）rad，仿真周期為48 h。在軌跡發(fā)生器中將3 個(gè)陀螺的常值漂移0.01 °/h，隨機(jī)漂移為0.01 °/h，3 個(gè)加速度計(jì)零偏為10-4g，隨機(jī)強(qiáng)度誤差為10-4g。仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 中低緯度橫向坐標(biāo)系編排與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排對比仿真結(jié)果

分析圖3 結(jié)果可知：經(jīng)緯度誤差均在8′以內(nèi)，東向速度、北向速度誤差不超過8 m/s；橫、縱搖誤差不超過3′，航向誤差不超過40′；橫向坐標(biāo)系和傳統(tǒng)坐標(biāo)系在中低緯度可以滿足一般導(dǎo)航精度要求?？梢哉f明橫向坐標(biāo)系在中低緯度性能與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系差異不大，從而驗(yàn)證橫向坐標(biāo)系的導(dǎo)航編排正確性。

5.2 極區(qū)區(qū)域橫向坐標(biāo)系與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排對比仿真結(jié)果

將載體初始地理位置改為（80°N，125°E），其余仿真條件不變。仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 極區(qū)橫向坐標(biāo)系編排與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排對比仿真結(jié)果

分析圖4 極區(qū)橫向坐標(biāo)系編排與傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系編排對比結(jié)果表明：1）在軌跡的設(shè)定中載體在20.69 h 后到達(dá)理想軌跡北極點(diǎn)；2）傳統(tǒng)地理坐標(biāo)系在極點(diǎn)處已經(jīng)不適用于極區(qū)導(dǎo)航，而橫向坐標(biāo)系編排基本不受極點(diǎn)影響，可應(yīng)用于極區(qū)導(dǎo)航。

6 結(jié)論

本文針對當(dāng)前極區(qū)導(dǎo)航坐標(biāo)系存在的問題，提出一種與格林尼治格網(wǎng)坐標(biāo)系相統(tǒng)一的橫向坐標(biāo)系定義方式，并給出其導(dǎo)航參數(shù)的準(zhǔn)確定義及與其他坐標(biāo)系系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，使得本文提出的坐標(biāo)系有更廣泛的應(yīng)用和較強(qiáng)的適用性，同時(shí)，通過基于橫向坐標(biāo)系慣導(dǎo)編排的推導(dǎo)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，證明該坐標(biāo)系在極區(qū)的適用性。