淺析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的分層教學(xué)設(shè)計(jì)

鄭昱

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?基于中職數(shù)學(xué)新課標(biāo)的提出以及課程思政的大背景，五年專學(xué)生的數(shù)學(xué)課程不僅要授業(yè)，更要傳道。聚焦職教特色的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，融入彰顯職教特色的課程思政元素，將立德樹人的根本任務(wù)落實(shí)到每堂數(shù)學(xué)課中，發(fā)展具有職教特色的素質(zhì)教育功能。以五年專教材第三冊(cè)第七章第四課“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”為載體，合理利用教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維分析世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”。通過創(chuàng)設(shè)合理的問題情境，以知識(shí)為主線，設(shè)置不同難度的題型，層層推進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)能力，以達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;分層教學(xué)設(shè)計(jì);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)] ?2096-0603（2022）02-0073-03

一、追憶解析幾何的浪漫歷史

17世紀(jì)，“我思故我在”的笛卡爾的幾何學(xué)推動(dòng)了用坐標(biāo)法研究平面幾何的熱潮，其中關(guān)于圓錐曲線的定義方式和方程的推導(dǎo)真是精彩紛呈。大家耳熟能詳?shù)哪^于“笛卡爾坐標(biāo)系”的平面直角坐標(biāo)系以及在此基礎(chǔ)上建立的平面解析幾何。笛卡爾將幾何坐標(biāo)體系公式化，因而被稱作是解析幾何之父。

傳說，笛卡爾被瑞典王室聘請(qǐng)到皇宮做公主的家庭教師，講授數(shù)學(xué)和哲學(xué)。笛卡爾向公主介紹了他研究的新領(lǐng)域——直角坐標(biāo)系，通過它，代數(shù)與幾何可以結(jié)合起來，也就是日后笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何的雛形。

在笛卡爾的帶領(lǐng)下，公主進(jìn)入了奇妙的坐標(biāo)世界，對(duì)曲線著了迷，他們每天朝夕相處，深度交流，一段美好的愛情在瑞典這個(gè)浪漫的國(guó)度悄然萌發(fā)。國(guó)王知道后，勃然大怒，笛卡爾被流放到了法國(guó)。笛卡爾在給公主寄出第13封信后，黯然離世。最后一封信上只有一個(gè)方程P=a（1-sinθ），聰慧的公主看了一眼就明白了笛卡爾的紙短情長(zhǎng)，著手把方程的圖形畫出來，一個(gè)心形圖案出現(xiàn)在眼前，這條曲線就是著名的“心形線”。

以上這種探究的方法激發(fā)了后人更多的思考和研究，在笛卡爾之前，幾何學(xué)在數(shù)學(xué)中一直占據(jù)最優(yōu)地位。解析幾何使代數(shù)和幾何在更高層次上進(jìn)行一次新的融合，獲得了比代數(shù)更廣的意義和更高的地位。

正如恩格斯對(duì)笛卡爾的評(píng)價(jià)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)?！?/p>

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是在學(xué)習(xí)了直線方程的基礎(chǔ)上，對(duì)曲線和方程的進(jìn)一步探究，用笛卡爾數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在了解圓的幾何意義即到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡基礎(chǔ)上，用平面直角坐標(biāo)系把圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)起來。利用代數(shù)給幾何帶來最自然的分類原則和最自然的方法層次，從幾何研究轉(zhuǎn)移到代數(shù)研究。

二、提出問題與解答問題

我們的生活中有很多物體需要應(yīng)用到圓，圓有其特性，需要我們?nèi)ビ^察和發(fā)現(xiàn)，加強(qiáng)對(duì)圓形的感性認(rèn)知。例如，汽車的輪轂就不能是方形的，也不能是輪軸不對(duì)稱的圓形，只有輪軸是中心對(duì)稱的圓形輪轂才能讓汽車平穩(wěn)地跑起來。

邏輯推理作為核心素養(yǎng)中很重要的一個(gè)要素，可以有效訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)推理、解題能力。為了循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，教師要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力通過有條理的引導(dǎo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的邏輯推理。教師在教學(xué)“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”知識(shí)時(shí)，創(chuàng)設(shè)具有專業(yè)特色的問題情境，引發(fā)學(xué)生積極思考，對(duì)圓的認(rèn)知從感性過渡到理性，教師通過演示推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，提高學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合的思維能力。設(shè)計(jì)教學(xué)過程，抽絲剝繭，層層遞進(jìn)，使學(xué)生在教師的有效引導(dǎo)下，在自己動(dòng)腦思考、動(dòng)手演練的過程中逐漸形成一定的邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)技能，讓邏輯推理這一重要的核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落到實(shí)處，并得以達(dá)成。

（一）結(jié)合專業(yè)特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)預(yù)習(xí)情境

結(jié)合不同專業(yè)的學(xué)科特點(diǎn)，合理創(chuàng)設(shè)問題情境，可以在課前準(zhǔn)備階段激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，在做中學(xué)，在做中回顧舊知，比如數(shù)字媒體高職專業(yè)可以讓學(xué)生在課前制作以圓為元素的手抄報(bào)，鼓勵(lì)學(xué)生博覽群書，自主查閱數(shù)學(xué)史的相關(guān)資料，運(yùn)用教育機(jī)智，融入思政元素。讓學(xué)生利用自己擅長(zhǎng)制作視頻的專業(yè)技能，拍攝生活中圓的照片，結(jié)合課本上掃描預(yù)習(xí)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形成過程，加入大家喜聞樂見的元素，制作生動(dòng)有趣的教學(xué)預(yù)習(xí)視頻。通過結(jié)合專業(yè)特色的預(yù)習(xí)方式，發(fā)現(xiàn)自己在知識(shí)上的盲點(diǎn)，積極思考，拓展思路，提升思維品質(zhì)的同時(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的生活美。

（二）推演方程，解決系列問題

1.問題引入 初識(shí)概念

圓的幾何意義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作圓，定點(diǎn)叫作圓心，定長(zhǎng)叫作半徑。

在講解這個(gè)概念時(shí)，教師可以提問學(xué)生手抄報(bào)中的圓大家是怎么畫的？大家可以自己動(dòng)手畫圓嗎？引發(fā)學(xué)生思考的同時(shí)，教師可以用教具圓規(guī)，在黑板上畫圓，教師不能自己畫圓，應(yīng)該以一邊發(fā)問一邊描述如何用尺規(guī)做圓的形式，在黑板上畫出圓。教師將圓規(guī)的其中一個(gè)腳放在固定點(diǎn)C，另一個(gè)腳張開一定的角度，緊貼黑板轉(zhuǎn)動(dòng)圓規(guī)一周，這時(shí)候形成的圖形會(huì)是什么？由學(xué)生回答形成的圖形是圓。然后再由教師給出圓的幾何意義即平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作圓，定點(diǎn)叫作圓心，定長(zhǎng)叫作半徑。

這樣的提問引發(fā)思考的導(dǎo)入方式有利于引發(fā)學(xué)生自主思考，不僅復(fù)習(xí)鞏固了初中學(xué)過的圓的幾何意義，還為下一步建立直角坐標(biāo)系推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程做準(zhǔn)備。符合學(xué)生從感性認(rèn)知到理性認(rèn)知的思維過程，學(xué)生在教師尺規(guī)作圖的引導(dǎo)下，感受圓的形成過程，認(rèn)識(shí)圓，一步步培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng)。

在推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中可以運(yùn)用知識(shí)遷移，利用學(xué)過的兩點(diǎn)間的距離公式教師板書，師生共同推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)圓心坐標(biāo)為C（a，b），半徑為r，點(diǎn)M（x，y）為圓上的任意一點(diǎn)，|MC|=r，學(xué)過的兩點(diǎn)間的距離公式是什么？由學(xué)生回答，運(yùn)用學(xué)過的兩點(diǎn)間距離公式，得=r，將上式兩邊平方，得（x-a）2+（y-b）2=r2。方程叫作以點(diǎn)C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。強(qiáng)調(diào)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是用來確定圓的位置和大小的，其中圓心確定位置，半徑確定大小，培養(yǎng)學(xué)生從直觀想象到抽象出方程的核心素養(yǎng)。

當(dāng)圓心坐標(biāo)為原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？引發(fā)學(xué)生思考，教師板書，應(yīng)用學(xué)過的代入法，把原點(diǎn)O（0，0）的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2，此時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2。

通過引導(dǎo)學(xué)生觀察直角坐標(biāo)系中的圓，鍛煉學(xué)生數(shù)形結(jié)合的技能，利用學(xué)過的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，層層推入，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用和聯(lián)想，一步步培養(yǎng)學(xué)生有條理地觀察問題，進(jìn)行推理的邏輯思維能力。

在記法上，教師幫助學(xué)生分析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，可以運(yùn)用口訣識(shí)別和記憶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，“兩個(gè)減號(hào)，兩個(gè)平方的和等于平方”。強(qiáng)調(diào)兩個(gè)小括號(hào)里面是減號(hào)，圓心坐標(biāo)a，b的值可以是正數(shù)、零或者負(fù)數(shù)。

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程的講解與記憶方程不僅能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，層層推入，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生細(xì)致觀察問題的能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)的思想解決幾何問題的思維習(xí)慣。

2.基礎(chǔ)問題 層層探索

問題1：已知圓的圓心和半徑，如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

首先，教師給出一道例題：求以點(diǎn)C（-2，0）為圓心，r=3為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。教師通過提問的方式，學(xué)生口答，教師板書寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+2）2+y2=9。接著教師趁熱打鐵，提出讓學(xué)生到黑板上寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)下列條件，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)1.圓心C（-1，2），半徑r=2;練習(xí)2.圓心C（0，3），半徑r=1。根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在解題的過程中，練習(xí)1，有一小部分學(xué)生可能會(huì)把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫成（x-1）2+（y-2）2=4，教師可以針對(duì)這個(gè)問題，給出兩個(gè)方程（x-1）2+（y-2）2=4與（x+1）2+（y-2）2=4讓學(xué)生選出正確的方程，這種對(duì)比答案的方式有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的易錯(cuò)點(diǎn)，幫助學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心、認(rèn)真的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

問題2：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能否寫出圓心坐標(biāo)和半徑？

首先，教師先給出一道例題：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-2）2+（y+1）2=5寫出圓心和半徑。學(xué)生基本都具備通過觀察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓心和半徑的能力，學(xué)生寫出的圓心坐標(biāo)和半徑有以下幾種：圓心（2，1），圓心（2，-1），半徑，半徑5。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)在于沒有認(rèn)真觀察識(shí)記圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)，（x-a）2+（y-b）2=r2。小括號(hào)里面是兩個(gè)減號(hào)，等號(hào)右邊是半徑的平方不是半徑。

顯然學(xué)生對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)觀察還不夠細(xì)致，這時(shí)候教師如果換一種講解方式，直接給出以上幾種結(jié)論，提問引發(fā)學(xué)生通過對(duì)比進(jìn)行思考，學(xué)生的印象會(huì)更深刻，也更容易記住正確結(jié)構(gòu)。這時(shí)候可以要求學(xué)生認(rèn)真觀察，勤于思考，在做題時(shí)訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、認(rèn)真的習(xí)慣。

通過以上兩個(gè)問題，學(xué)生初步理解了圓心坐標(biāo)和圓的半徑與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問題3：通過兩道例題的講解，同學(xué)們是否可以小試牛刀，檢驗(yàn)一下自己對(duì)這堂課重點(diǎn)內(nèi)容的掌握程度？

根據(jù)上課學(xué)生反映的情況，基本上所有學(xué)生都能比較好地掌握教師之前講授的兩種類型的例題，即已知圓心和半徑可求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也可以準(zhǔn)確寫出圓心和半徑?；谝陨蠈W(xué)情分析，教師可以將學(xué)生分成四組，進(jìn)行搶答，對(duì)題目的設(shè)置可以充分考慮到圓心落在平面直角坐標(biāo)系四個(gè)象限內(nèi)以及落在坐標(biāo)軸上的情況，適當(dāng)增強(qiáng)題目的復(fù)雜性。教師提出根據(jù)下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心和半徑，（x+1）2+（x+3）2=4，（x-3）2+（y+4）2=16，（x-1）2+y2=3。

學(xué)生通過小組合作、組間競(jìng)賽，培養(yǎng)了合作精神，收獲了學(xué)習(xí)成就感。

問題4：能否通過觀察幾何畫板中平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圓，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

數(shù)形結(jié)合的能力是解析幾何中很基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)能力，學(xué)生畫圖少，從直觀想象中抽象出方程的能力相對(duì)薄弱，在學(xué)生已經(jīng)對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)爛熟于心的基礎(chǔ)上，教師利用多媒體手段，讓學(xué)生觀察幾何畫板中平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圓，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，初步培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力以及數(shù)形結(jié)合能力，教師可以通過發(fā)問的方式引發(fā)學(xué)生思考，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程用來確定圓的哪兩個(gè)條件？部分學(xué)生會(huì)回顧起問題1中提過的位置和大小，這時(shí)候教師繼續(xù)發(fā)問，圓心在第幾象限？通過觀察半徑是幾個(gè)單位長(zhǎng)度？大部分學(xué)生都能說出圓心在第三象限，教師繼續(xù)問那圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中小括號(hào)內(nèi)這時(shí)候是加號(hào)還是減號(hào)？大部分學(xué)生回答負(fù)負(fù)得正，是加號(hào)，最后大家一起寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x+4）2+（y+2）2=9，教師通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生共同探索，避開易錯(cuò)點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合的思維方式寫出正確的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步理解了圓和圓心坐標(biāo)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問題5：給出四個(gè)點(diǎn)，同學(xué)們能否通過正確的計(jì)算方法判斷出哪個(gè)點(diǎn)在圓上？

教師提出問題：下列哪個(gè)點(diǎn)是圓上（x-1）2+（y+2）2=5的點(diǎn)？A（0，4），B（-1，2），C（1，-2），D（0，0），在學(xué)生解題時(shí)，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生容易把這些點(diǎn)看成是圓心坐標(biāo)，因此，針對(duì)這個(gè)問題教師可以引導(dǎo)學(xué)生回顧滿足直線方程的點(diǎn)的判斷，大部分學(xué)生可以想到用代入法，教師將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊發(fā)現(xiàn)不等于5，于是學(xué)生判斷該點(diǎn)不在圓上，接著，教師引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手練習(xí)在作業(yè)紙上，將另外三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的左邊，判斷哪個(gè)值等于5，大部分學(xué)生已經(jīng)比較熟練掌握代入法，這個(gè)過程中教師可以通過巡視，個(gè)別輔導(dǎo)幫助學(xué)困生學(xué)會(huì)使用代入法，判斷點(diǎn)是否在圓上，不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。最后，教師要點(diǎn)出題目背后更深層次的知識(shí)含義，即圓上的點(diǎn)滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，反之，滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的點(diǎn)在圓上，通過強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系，引發(fā)思維能力較強(qiáng)的學(xué)生進(jìn)行更深層次的抽象思考，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，分層教學(xué)。