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    費(fèi)馬原理于球面界面成像的應(yīng)用
    ——點(diǎn)光源在主軸上

    2022-01-14 09:14:40趙思浩
    光源與照明 2021年5期
    關(guān)鍵詞:點(diǎn)光源將式球面

    趙思浩

    蘇州科技大學(xué),江蘇 蘇州 215009

    0 引言

    費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)的一個(gè)基本原理。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表達(dá)為

    式中:δ為變分符號(hào);A、B為空間中兩個(gè)固定點(diǎn);n為介質(zhì)折射率;s為光實(shí)際傳播的路程。

    文章所研究的均為理想情況,即光在同種均勻、各向同性的介質(zhì)中傳播,因此折射率n為定值。本著從特殊到一般的思想,并著重于研究點(diǎn)光源在主軸上的特殊情況,通過(guò)費(fèi)馬原理直接推導(dǎo)出球面與薄透鏡模型下的光線方程與物象公式[1]。

    1 球面界面的理想狀態(tài)下成像

    1.1 凸球面反射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

    在凸球面情況下,射入的光線是發(fā)散的,如圖1所示。其中D代表點(diǎn)光源,O為頂點(diǎn),B代表凸透鏡球心并設(shè)即為透鏡的曲率半徑。a、b、b′、θ、r均大于零,且所有符號(hào)遵循新笛卡爾坐標(biāo)系的要求。AH⊥BD,H為垂足,從圖1的幾何關(guān)系可得:

    圖1 凸球面反射模型

    則光線DAD′的光程如下:

    根據(jù)費(fèi)馬原理[2-3],將式(3)對(duì)θ求導(dǎo),并令其等于零,有

    將式(4)化簡(jiǎn)、整理,可得:

    式(5)為主軸上凸球面反射模型中的光線方程。近軸條件下的物象公式只需要取一個(gè)極限,即令角θ趨于零,則:

    將式(6)代入式(5),可得物象公式:

    1.2 凸球面折射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

    凸球面折射模型如圖2所示。

    圖2 凸球面折射模型

    在該模型中,D為點(diǎn)光源,令,則:

    則其光程如下:

    根據(jù)費(fèi)馬原理,基于式(9)對(duì)θ求導(dǎo),求導(dǎo)后令其等于零,可得:

    式(12)即凸球面折射模型中的光線方程。要得到物象公式只需再令式(9)中的θ趨于零,即,代入式(11),則有

    式(13)即為凸球面折射模型中的物象公式。

    1.3 凹球面反射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

    在凹球面模型中,采取的研究方法與凸球面一樣,如圖3所示。

    圖3 凹球面反射模型

    D為點(diǎn)光源,物方折射率為n,DA為入射光線,AD為出射光線,O為球心,作AA與OD垂直,∠AD′O為θ,O′A為球面半徑,記為-r。并令A(yù)D=b,AD′=b′,DO=-a,D′O=-a′,則

    可得:

    式(15)即凹球面模型下的光線方程。要得到物象公式,只需要在式(14)中令θ→0,即b→-a,b′→-a′,則有

    式(16)即為物象公式。

    1.4 凹球面折射模型中光線方程及近軸條件下物象公式

    凹球面折射模型如圖4所示。

    圖4 凹球面折射模型

    則光程為

    代入式(17)后,對(duì)θ求導(dǎo),令其為零,可得:

    2 結(jié)束語(yǔ)

    費(fèi)馬原理之于幾何光學(xué)的地位,類似牛頓三定律之于牛頓力學(xué)一樣。文章研究表明,用費(fèi)馬原理推導(dǎo)一些簡(jiǎn)單模型的光線方程與物象公式具有數(shù)學(xué)一致性。

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