Boussinesq方程的經(jīng)典李群分析及群不變解和行波解

林府標(biāo)，楊欣霞

(貴州財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

流體力學(xué)Boussinesq孤立子方程為[1-3]

(1)

可用于研究弦的非線性振動(dòng)、淺水波、電磁學(xué)、非線性介質(zhì)材料中的電磁波、非線性晶格、等離子體等許多物理現(xiàn)象.方程(1)可視為描述順流方向可變剪切流動(dòng)變系數(shù)Boussinesq方程的退化形式.孤子理論自孤子被命名之后，取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展[3].各個(gè)領(lǐng)域中的孤子方程相繼被建立、發(fā)展和完善，求解非線性孤波方程的各種解析法及非線性方程[2，4-5]的各種性質(zhì)相繼被發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和成熟.如純代數(shù)方法[2]，李群分析法[6-8]，Tanh函數(shù)法和廣義Tanh函數(shù)法[2，9-11]，齊次平衡法[2，12]，正余弦函數(shù)法[9]，Riccati方程法[13].一般普適性的求解技巧需要數(shù)學(xué)方法上的創(chuàng)新，挖掘和構(gòu)造更多解析求解方法是有價(jià)值和實(shí)際意義的[1-13].

1 李群方法

1.1 向量場及群分類

用經(jīng)典李群方法[6-8]研究方程(1)，設(shè)接受的算子為

X的4階延拓向量場為

其中，ηt，ηx，ηtt，ηxx，ηxxx，ηxxxx定義為

ηt=Dt(η)-uxDt(ξ)-utDt(τ)，ηx=Dx(η)-uxDx(ξ)-utDx(τ)，

ηtt=Dt(ηt)-utxDt(ξ)-uttDt(τ)，ηxx=Dx(ηx)-uxxDx(ξ)-uxtDx(τ)，

ηxxx=Dx(ηxx)-uxxxDx(ξ)-uxxtDx(τ)，ηxxxx=Dx(ηxxx)-uxxxxDx(ξ)-uxxxtDx(τ)，

其中，Dx和Dt分別是關(guān)于x和t的全微分算子，從而有

因此，方程(1)的決定方程為

X(4)P(t，x，u)|(1)=(ηtt-(1+2u)ηxx-4uxηx-2uxxη+ηxxxx)|(1)=0，

(2)

令uxxxt，uxxxx，uxxx，uxxt，uxx，uxt，ux，ut的各項(xiàng)系數(shù)為零，得超決定方程組

τuux+τx=0，τt+τuut-2ξuux-2ξx=0，ξt+ξuut=0，

ηuu=0，2ηxu-3ξxx=0，2ηtu-τtt=0，ηx=0，

2ξx-ηu-2τt=0，τtt=0，ξxx=0，η+2ξxu+ξx=0，ηtt=0，ηu=-2ξx.

因此，解之得方程(2)的通解為

ξ=c1x+c2，τ=2c1t+c3，η=-2c1u-c1，

其中c1，c2，c3為任意常數(shù).

李代數(shù)L3的換位運(yùn)算見表1.

表1 李代數(shù)L3的換位運(yùn)算Tab.1 The table of commutators for the Lie algebra L3

依據(jù)表1，內(nèi)自同構(gòu)可寫成：

求解李方程，對(duì)應(yīng)的李群為：

其中，σi(i=1，2，3)分別是李群Ai(i=1，2，3)的群參數(shù).

定理2設(shè)c為常數(shù)，李代數(shù)L3的最優(yōu)化子李代數(shù)系統(tǒng)為：

span{X1}，span{X2}，span{cX2+X3}，span{X1，X2}，

span{X1，X3}，span{X2，X3}，span{X1，X2，X3}.

1.2 群不變解

其中U(z)滿足約化方程

8U+7zU′+z2U″-4U′2-4UU″+4U(4)=0.

向量場X2的群不變量是J1=t，J2=u，于是，方程(1)的群不變解可假設(shè)為u(t，x)=φ(t)，而φ(t)滿足約化方程φ″(t)=0.因此，方程(1)的精確解為u(t，x)=λ1t+λ2，其中λ1，λ2是任意常數(shù).

向量場cX2+X3的群不變量是J1=x-ct，J2=u，因此，方程(1)的群不變解可假設(shè)為

u(t，x)=U(ξ)，ξ=x-ct，

(c2-1)U″-2U′2-2UU″+U(4)=0.

(3)

2 廣義Tanh函數(shù)法

受前人工作的啟發(fā)和在文獻(xiàn)[9-10]的基礎(chǔ)上，用廣義Tanh函數(shù)法求方程(1)的行波解.平衡式(3)中UU″與U(4)項(xiàng)，可假設(shè)方程(3)的解的表達(dá)式為

U(ξ)=q0+q1φ(ξ)+q2(φ(ξ))2，

(4)

其中，φ=φ(ξ)滿足方程φ′(ξ)=b+φ2(ξ)，b為常數(shù)，其精確解可從文獻(xiàn)[9-10]中的表3選取.將式(4)代入方程(3)，得

令φk(k=0，…，6)的系數(shù)為零，得

采用吳消元法解之，得到

于是方程(1)的行波解為

(5)

其中，φ=φ(ξ)可依據(jù)b的值及符號(hào)，從文獻(xiàn)[9-10]中的表3選取，行波解(5)的結(jié)果列于表2.

表2 Boussinesq方程(1)的顯式行波解Tab.2 Explicit new exact solutions of Boussinesq equation (1)

3 φ(ξ)展式法及行波解

3.1 φ(ξ)展式法

非線性力學(xué)和非線性數(shù)學(xué)物理中著名的Burgers方程為

ut+uux-uxx=0，

(6)

可用于交通車輛的流動(dòng)問題、流體力學(xué)、非線性聲學(xué)、氣體動(dòng)力學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域.方程(6)的行波解、孤立波解及解析解法受到諸多領(lǐng)域?qū)W者們的關(guān)注[2-3，13].下面考慮方程(6)的約化方程及其精確解的應(yīng)用.首先設(shè)u(t，x)=φ(ξ)，ξ=x-ct是方程(6)的解，其中c是常數(shù)，標(biāo)志行波速度.則得到

二是在勞動(dòng)關(guān)系存續(xù)期間，雇主即研究機(jī)構(gòu)作為知識(shí)產(chǎn)權(quán)所有人對(duì)其雇員產(chǎn)生的職務(wù)發(fā)明有保護(hù)和開發(fā)的義務(wù)。在職務(wù)發(fā)明人將關(guān)于發(fā)明的書面報(bào)告送達(dá)雇主的4個(gè)月內(nèi)，只要雇主書面向發(fā)明人宣布占用此發(fā)明，則所有關(guān)于這項(xiàng)發(fā)明的權(quán)利均屬于雇主，雇主即研究機(jī)構(gòu)在享有專利的同時(shí)承擔(dān)申請(qǐng)、維護(hù)、轉(zhuǎn)化等方面的全部費(fèi)用。

φ″=φφ′-cφ′，

(7)

對(duì)方程(7)兩邊關(guān)于變量ξ積分一次，記κ是積分常數(shù)，得

(8)

設(shè)方程(8)的解可寫成φ(ξ)=b0+b1tanh(σξ+a1)+b2(tanh(σξ+a1))2，其中，b0，b1，b2，σ，a1是待定常數(shù).將φ(ξ)的表達(dá)式代入(8)式，得

令(tanh(σξ+a1))i，i=4，3，2，1，0的系數(shù)為零，得

解得b0，b1，b2，σ為：

因此，方程(8)的解為：

類似地，采用初等積分法及試探函數(shù)法，可得方程(8)的其他類型的精確解，結(jié)果列于表3.

表3 方程(8)的顯式精確解Tab.3 Explicit exact solutions of equation (8)

鑒于受Tanh函數(shù)法和前人工作[2，9-13]的啟發(fā)，利用Burgers方程的變換方程(8)及表3中的精確解，構(gòu)造解析求解非線性偏微分方程

P(u，ut，ux，utt，uxx，uxt，…)=0

(9)

的φ(ξ)展式法，算法的主要步驟和思想闡述如下：

第一步 作行波變換ξ=x-ct，其中c為常數(shù)，表示波速.若假設(shè)方程(9)的行波解形如u(t，x)=U(ξ)，則方程(9)變形約化成關(guān)于U的常微分方程

P(U，-cU′，U′，c2U″，U″，-cU″，…)=0.

(10)

第二步 若可能，可先對(duì)方程(10)兩邊關(guān)于變量ξ同時(shí)積分一次或多次，針對(duì)高階微分方程則可降階和減少計(jì)算量，然后假設(shè)方程(10)的精確解的表達(dá)式可寫成

U(ξ)=d0+d1φ(ξ)+…+dn(φ(ξ))n，

(11)

其中φ=φ(ξ)滿足方程(8)，具體表達(dá)式可依據(jù)κ的符號(hào)從表3中選取.一般地，借助于齊次平衡原理[2，12]及通過平衡方程(10)中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)，可確定正整數(shù)n，而di(i=0，1，…，n)為待定實(shí)參數(shù).

第三步 將表達(dá)式(11)的U=U(ξ)代入方程(10)，采用數(shù)學(xué)軟件REDUCE或MATLAB結(jié)合式(8)反復(fù)計(jì)算整理之后，令φj(j=0，1，…)的各項(xiàng)系數(shù)分別為零，則可找到關(guān)于di(i=0，1，…，n)，κ和c的非線性代數(shù)方程組.

第四步 采用吳消元法結(jié)合數(shù)學(xué)軟件REDUCE或MATLAB計(jì)算，把獲得的參數(shù)di(i=0，1，…，n)和c代入方程(11)，根據(jù)κ的符號(hào)從表3中選取對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式φ=φ(ξ)，可進(jìn)一步找到方程(9)的行波解.

3.2 Boussinesq方程的行波解

采用Burgers方程的變換方程(8)及φ(ξ)展式法探尋方程(1)的行波解.依據(jù)(8)式，平衡(3)式中U(4)與UU″或U′2項(xiàng)，得n=2，可設(shè)方程(3)的解為

U(ξ)=p0+p1φ(ξ)+p2(φ(ξ))2，

(12)

其中pi(i=0，1，2)為待定實(shí)常數(shù)，φ=φ(ξ)滿足方程(8).將式(12)代入式(3)，得關(guān)于pi(i=0，1，2)，κ，c的方程

令φi(i=0，…，6)的系數(shù)為零，得

用吳消元法，解之得

因此，方程(1)的行波解為

(13)

其中φ=φ(ξ)可從表3中選取，解(13)的具體結(jié)果列于表4.

表4 方程(1)的顯式精確解Tab.4 Explicit exact solutions of equation (1)

行波解(13)的部分投影和空間圖像見圖1，類似地可研究行波解(5)和其他的行波解(13).借助于圖像可方便地探究自由參數(shù)對(duì)行波解的動(dòng)力學(xué)性態(tài)、波的類型和傳播波的周期性的影響.選取最優(yōu)的自由參數(shù)，對(duì)準(zhǔn)確刻畫孤波現(xiàn)象的特征和新興交叉領(lǐng)域行波解的應(yīng)用是有研究價(jià)值和實(shí)際意義的.

(A)c=1；(B)c=1.5；(C)c=2；(D)c=1；(E)c=1.5；(F)c=2圖1 行波解(13)的空間圖像Fig.1 Spatial graph of travelling solution (13)

圖1中(A)、(B)、(C)選取參數(shù)ε=1，a1=0.3，κ=0.1，φ=φ(ξ)取表4中的序號(hào)4，當(dāng)波速c=1，1.5，2時(shí)，行波解(13)在空間體現(xiàn)出不同的沖擊波特征和結(jié)構(gòu).當(dāng)波速c=1時(shí)，孤立波是倒立的反鐘狀型，隨著波速的逐漸遞增，孤立波開始呈現(xiàn)倒立的周期性反沖擊波特征.圖1中(D)、(E)、(F)選取參數(shù)ε=1，a1=0.3，κ=0.1，φ=φ(ξ)取表4中的序號(hào)5，當(dāng)波速c=1，1.5，2時(shí)，行波解(13)在空間展現(xiàn)出不同的沖擊波特征和性態(tài)，當(dāng)波速c=1時(shí)，孤立波是鐘狀型，且隨著波速的遞增，孤立波具有明顯的周期性.圖1中行波解的空間特征和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)各異，本質(zhì)是φ=φ(ξ)的表達(dá)式選取不同，這表明式(13)給出了多種類型的行波解.這些直觀投影和空間圖像，對(duì)理解淺水波、孤波現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)性態(tài)，深入研究Boussinesq方程(1)的多種類型新孤立子波解及解析求解方法和技巧是有理論參考價(jià)值和實(shí)際借鑒意義的.

4 結(jié)語

本文給出了Boussinesq方程的李群分析、群不變解及行波解.應(yīng)用Burgers方程的約化變換方程及其精確解構(gòu)造了φ(ξ)展式法.構(gòu)造的φ(ξ)展式法可用于求解其他非線性偏微分方程，如Kuramoto-Sivashinsky方程ut+uux+puxx+ruxxxx=0，Cadrey-Dodd-Gibbon方程ut+(uxxxx+30uuxx+60u3)x=0，形變Boussinesq方程ut+vx+uux+puxxt=0，vt+(uv)x+quxxx=0，Boussinesq方程utt+puxx+q(u2)xx+ruxxxx=0，其中p，q，r為常數(shù).如何求出方程(8)的更多精確解，值得在今后的科研工作中探究及數(shù)學(xué)方法上的創(chuàng)新.