框架—自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)彈性地震反應(yīng)分析的簡化方法

劉漢賦，陸 晨，胡曉斌

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，武漢 430072)

地震具有極強(qiáng)的破壞性和毀滅性，可能給社會和經(jīng)濟(jì)各方面造成無法估量的損失。傳統(tǒng)的抗震結(jié)構(gòu)在強(qiáng)烈的地震作用下，可能會產(chǎn)生較大的殘余位移[1]，因而難以恢復(fù)正常使用，甚至不得不拆除。而自復(fù)位結(jié)構(gòu)在震后幾乎不產(chǎn)生殘余位移，無需修復(fù)或經(jīng)過少量修復(fù)便可以正常使用，因此在地震工程領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注[2]。具有自復(fù)位性能的構(gòu)件包括自復(fù)位墻(或搖擺墻)、自復(fù)位梁柱節(jié)點(diǎn)、自復(fù)位支撐等，由此可形成不同的自復(fù)位結(jié)構(gòu)，如自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)、自復(fù)位框架結(jié)構(gòu)、自復(fù)位框架-支撐結(jié)構(gòu)[3?7]?？蚣?自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)是由自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)和框架結(jié)構(gòu)組合而成的一種新型結(jié)構(gòu)形式，主要由自復(fù)位墻、框架以及連系梁組成。

近年來，少數(shù)學(xué)者對框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行了深入研究。在數(shù)值分析方面，Ajrab等[8]使用DRAIN-2DX 對框剪結(jié)構(gòu)以及搖擺墻-框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了非線性時程分析，結(jié)果表明：與框剪結(jié)構(gòu)相比，框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)在地震作用下層間位移分布更加均勻。Wada 等[9]采用ABAQUS 分析了增加搖擺墻前后框架結(jié)構(gòu)在地震作用下的動力響應(yīng)，結(jié)果表明增加搖擺墻后框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)顯著降低。胡曉斌等[10]通過時程分析的方法比較了附加自復(fù)位墻前后框架結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)，結(jié)果表明：附加自復(fù)位墻后框架結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)減小且基本不產(chǎn)生殘余位移。Sun 等[11]研究了布置阻尼器的基礎(chǔ)鉸接式搖擺墻-框架結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)響應(yīng)可以達(dá)到設(shè)計(jì)時的目標(biāo)性能水平，其中結(jié)構(gòu)位移角小于目標(biāo)值，且不存在薄弱層的失效。吳守君等[12]提出了框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)的分布參數(shù)模型，并利用該模型分析了搖擺墻剛度對結(jié)構(gòu)側(cè)移分布、搖擺墻和框架承載力的影響，研究結(jié)果表明：搖擺墻能使塑性鉸的分布更加均勻，增設(shè)預(yù)應(yīng)力鋼筋和金屬屈服型阻尼器提高了結(jié)構(gòu)耗能能力，減小了結(jié)構(gòu)的殘余變形。楊樹標(biāo)等[13]提出了一種新型的搖擺填充墻-框架結(jié)構(gòu)，并進(jìn)行了靜力非線性分析，結(jié)果表明：在墻體搖擺之后搖擺填充墻能夠改變結(jié)構(gòu)層間變形分布，使結(jié)構(gòu)層間變形趨于均勻，結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制變?yōu)檎w型破壞，有效提高了框架結(jié)構(gòu)的延性。

在試驗(yàn)研究方面，Toranzo 等[14]較早開展了框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)縮尺模型的振動臺試驗(yàn)，試驗(yàn)表明結(jié)構(gòu)沒有出現(xiàn)殘余變形，并且墻體底部角點(diǎn)處的撞擊區(qū)域保持完整。張富文等[15]提出了框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)連接節(jié)點(diǎn)的新型構(gòu)造方法，并通過擬靜力試驗(yàn)，對比研究了框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)與框架結(jié)構(gòu)的抗震性能，結(jié)果表明框架-搖擺墻結(jié)構(gòu)具有震后可恢復(fù)的特性。董金芝等[16]提出了一種框架-預(yù)應(yīng)力搖擺墻新型結(jié)構(gòu)形式，并開展一榀框架試件和一榀框架-預(yù)應(yīng)力搖擺墻試件的擬靜力試驗(yàn)，結(jié)果表明：框架-預(yù)應(yīng)力搖擺墻結(jié)構(gòu)的破壞有效地集中在耗能連接件上，梁端、柱端以及梁柱節(jié)點(diǎn)區(qū)的破壞相對較輕；極限承載能力提升顯著，耗能能力較對比框架大幅提升，且各層層間變形趨于均勻。蔣璐等[17]研發(fā)了一種受控?fù)u擺墻，結(jié)果表明設(shè)置碟形彈簧的框架-搖擺墻較對比框架承載力有較大提高，且具有更好的剛度退化性能與耗能性能，框架結(jié)構(gòu)的變形模式得到改善，各層的層間位移趨于均勻。

由上述可知，目前對框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的研究還較少，且主要表現(xiàn)在數(shù)值模擬與試驗(yàn)研究層面，而在理論層面很少，尤其在地震響應(yīng)分析方面。此外，我國規(guī)范采用了“三水準(zhǔn)、二階段”的抗震設(shè)計(jì)思路，為了滿足第一階段抗震設(shè)計(jì)的需要，有必要針對框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)開展彈性地震反應(yīng)分析方法研究。因此，本文針對框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)，首先提出簡化分析模型，建立其在地震激勵下的運(yùn)動方程，給出相應(yīng)的Simulink 動態(tài)仿真模型，然后針對一個典型的算例，分別采用本文的方法及有限元方法進(jìn)行彈性地震響應(yīng)對比分析，以驗(yàn)證本文方法的計(jì)算精度。本文的研究成果可為框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)提供重要的理論支撐。

1 框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)簡化分析模型

借鑒框架-剪力墻結(jié)構(gòu)的受力分析思路[18]，可以將框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)沿受力方向簡化成平面結(jié)構(gòu)(如圖1 所示)，主要包括：自復(fù)位墻、連系梁及框架。對于自復(fù)位墻，在其底部設(shè)置水平縫，墻體可繞兩端產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，此外假設(shè)預(yù)應(yīng)力筋沿豎向布置在中部，阻尼器布置在墻體底部兩側(cè)。

圖1 框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖Fig. 1 Schematic diagram of framed self-centering wall (FSCW) structure

已有試驗(yàn)研究表明[19?20]，對于高寬比不大的自復(fù)位墻，在往復(fù)荷載作用下僅底部兩端有輕微損傷，而整體上仍為剛體。因此，為簡化分析，可將自復(fù)位墻簡化為剛體，框架部分簡化為多自由度體系，從而將框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)簡化為剛體-多自由度體系。按照是否考慮連系梁與自復(fù)位墻之間的約束[18]，上述剛體-多自由度體系還可分為鉸接體系與剛度體系。二種體系的分析思路較為類似，為節(jié)省篇幅，本文僅針對框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)鉸接體系(如圖2 所示)進(jìn)行研究。

圖2 框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)鉸接體系Fig. 2 Pin-jointed system of FSCW structure

2 地震激勵下框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

根據(jù)圖2 所示的分析模型，可建立地震激勵下框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的運(yùn)動方程。由于進(jìn)行彈性地震反應(yīng)分析，因此除墻體及阻尼器外，其余各部分均假設(shè)為彈性。分析時假設(shè)墻體順時針轉(zhuǎn)動為正，水平位移向右為正。

2.1 墻體逆時針轉(zhuǎn)動

2.1.1 運(yùn)動方程的建立

在圖2 中，在連系梁處沿豎向?qū)⒆詮?fù)位墻-框架結(jié)構(gòu)剖開，分別得到墻體及框架部分的受力簡圖，如圖3 所示，其中：l為自復(fù)位墻對角線長度的一半；m、b及h分別為墻體的質(zhì)量、寬度及高度；α 為墻體對角線與垂直線之間的夾角；θ 為墻體轉(zhuǎn)動的角度；x為墻體頂點(diǎn)的水平位移；u¨g為地面運(yùn)動加速度。

圖3 墻體逆時針轉(zhuǎn)動時受力簡圖Fig. 3 Mechanical analysis diagram of FSCW structure when wall rotates counterclockwise

假設(shè)墻體繞O′轉(zhuǎn)動，墻體轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生的切向慣性力、徑向慣性力以及轉(zhuǎn)動慣性力矩分別為fIt、fIr及MI；預(yù)應(yīng)力筋、左側(cè)阻尼器以及右側(cè)阻尼器的恢復(fù)力分別為fp、f1及f2；預(yù)應(yīng)力筋的初始荷載和彈性剛度分別為fp0、kp；框架部分第i個質(zhì)點(diǎn)的慣性力、阻尼力及恢復(fù)力分別為fIi、fci及fri，水平相對位移為xi，質(zhì)量、層剛度及高度分別為mi、ki、hi；自復(fù)位墻與框架第i個質(zhì)點(diǎn)之間的水平相互作用力為pi。

對于墻體，假設(shè)不考慮阻尼，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，對O′點(diǎn)取矩，列出力矩平衡方程如下：

其中，a、b為阻尼矩陣系數(shù)，可用如下公式確定：

式(7)即為墻體逆時針轉(zhuǎn)動時框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)在地震激勵下的運(yùn)動方程。可以看出，利用本文提出的簡化分析模型，可將原多自由度體系轉(zhuǎn)化成單自由度體系，因此求解得到大大簡化。

2.1.2 運(yùn)動方程的簡化

由式(7)可以看出，該方程為高度非線性微分方程，求解起來較為困難，需要進(jìn)一步將其簡化。

阻尼器是典型的滯回元件，需要采用滯回模型描述其滯回行為。但由于本研究開展的彈性地震反應(yīng)分析，為簡化起見，假設(shè)其始終處于屈服狀態(tài)，則有：式中，fd表示阻尼器的屈服力。該假設(shè)對于屈服力較小的金屬阻尼器或摩擦型阻尼器是近似成立的。

此外，由墻體小轉(zhuǎn)動假設(shè)可得：

將式(8)、式(9)代入式(7)，并利用式(6)，可化簡得到：

其中：

式(14)即為墻體逆時針轉(zhuǎn)動時框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)在地震激勵下運(yùn)動方程的簡化形式，該方程為二階常微分方程，求解較容易。

2.2 墻體順時針轉(zhuǎn)動

假設(shè)墻體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動，如圖4 所示。對于墻體，假設(shè)不考慮阻尼，根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，對O點(diǎn)取矩，列出力矩平衡方程如下：

圖4 墻體順時針轉(zhuǎn)動時受力簡圖Fig. 4 Mechanical analysis diagram of FSCW structure when wall rotates clockwise

由式(15)、式(17)及式(6)，可得：

式(18)即為墻體順時針轉(zhuǎn)動時框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)在地震激勵下的運(yùn)動方程。與上節(jié)類似，利用式(8)、式(9)及式(6)，對式(18)進(jìn)行化簡可得：

式(14)與式(19)分別為地震激勵下框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)在墻體逆時針和順時針轉(zhuǎn)動時的運(yùn)動方程。不考慮墻體底部與地面碰撞時的能量損失，將上面二式進(jìn)行合并，可得：

式(20)即為地震激勵下框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)鉸接體系的綜合運(yùn)動方程。

3 框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)彈性地震反應(yīng)求解

由第2 節(jié)可以看出，獲取框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)彈性地震反應(yīng)的關(guān)鍵在于求解式(20)，以得出墻體或框架頂點(diǎn)的響應(yīng)，進(jìn)而根據(jù)相關(guān)的條件求得其他響應(yīng)，如各層的位移、框架部分各質(zhì)點(diǎn)的慣性力等。因此，本節(jié)重點(diǎn)給出式(20)的求解方法。值得注意的是，盡管式(14)與式(19)分別為二階常系數(shù)線性微分方程，但其合并式(20)為一非線性方程，難以給出解析解，需要采用數(shù)值方法求解。

本節(jié)采用MATLAB/Simulink，建立與式(20)相應(yīng)的動態(tài)仿真模型，如圖5 所示?？梢钥闯觯搫討B(tài)仿真模型比較簡單，需要輸入的參數(shù)主要包括二類：一是地面運(yùn)動加速度u¨g；二是各增益模塊中的增益值，包括2ωξ、ω2、 γ 及 α。求解時采用ode23tb 求解器。

圖5 Simulink 動態(tài)仿真模型Fig. 5 Simulink dynamic simulation model

4 應(yīng)用及驗(yàn)證

前述二節(jié)給出了框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)彈性地震反應(yīng)的分析方法，其實(shí)質(zhì)上是將原體系等效成一個單自由度體系，因此計(jì)算量小，計(jì)算效率高。但是，該方法在推導(dǎo)過程中采用了一些假設(shè)，因此有必要對其計(jì)算精度進(jìn)行檢驗(yàn)。本節(jié)針對一個典型的框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)算例，分別采用本文提出的方法及ABAQUS 軟件進(jìn)行對比分析，以驗(yàn)證本文方法的分析精度。

4.1 分析對象概況

圖6 所示為一個典型的6 層框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)，自復(fù)位墻厚度為0.24 m、寬度為3 m、層高為3 m，總高度為18 m，墻體底部兩端布置有阻尼器，阻尼器的屈服力fd為7.1 kN，墻體中部沿豎向設(shè)置一根豎向預(yù)應(yīng)力筋，初始力fp0為50 kN，彈性剛度kp為4.272 ×106N/m。自復(fù)位墻、連系梁以及框架均采用C30 混凝土，彈性模量為3×104MPa，密度為2400 kg/m3。

圖6 算例尺寸及配筋詳圖 /mmFig. 6 Dimensions and details of typical FSCW structure

4.2 地震波選取

考慮到地震動的離散性，選取7 條地震波進(jìn)行彈性時程分析，如表1 所示，包括：從PGMD數(shù)據(jù)庫[21]中選取的6 條天然波(LA1～LA6)；采用本課題組開發(fā)的選波系統(tǒng)SWS[22]生成的1 條人工波(LA7)。

表1 選取的地震波Table 1 Selected seismic waves

4.3 彈性地震響應(yīng)分析

采用集中質(zhì)量法計(jì)算自復(fù)位墻的質(zhì)量及框架各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，使用D 值法[18]計(jì)算框架部分各層的剛度。采用國際單位，可求出式(20)中各參數(shù)值如下：ξ=0.035，ω=17.273 rad/s，γ=1.4105，α=1.0081 m/s2。代入上述參數(shù)，利用Simulink 動態(tài)仿真模型求解式(20)，可求得上述7 條地震波作用下所給算例的頂點(diǎn)水平位移及加速度響應(yīng)。

4.4 ABAQUS 對比分析

4.4.1 ABAQUS 建模

采用ABAQUS 軟件建立所給算例的有限元模型，如圖7 所示。整個模型由混凝土基礎(chǔ)、自復(fù)位墻、預(yù)應(yīng)力筋、阻尼器、連系梁以及框架6 部分組成，其中基礎(chǔ)用來模擬自復(fù)位墻的轉(zhuǎn)動，其底部固定，自復(fù)位墻與基礎(chǔ)之間定義面面接觸?；炷梁皖A(yù)應(yīng)力筋均設(shè)置為彈性材料。自復(fù)位墻和連系梁分別采用殼單元(S4R)和梁單元(B31)模擬；為模擬二者之間的鉸接，首先采用Merge 功能直接連接，然后通過關(guān)鍵字“release”來釋放約束。采用Tie 連接，將預(yù)應(yīng)力筋分別連至墻頂及基礎(chǔ)頂面。阻尼器采用Axial 連接器模擬，假設(shè)其為摩擦阻尼器，本構(gòu)模型采用理想塑性模型，屈服力為7.1 kN?？蚣懿糠指髻|(zhì)點(diǎn)通過Translator 連接器模擬。

圖7 ABAQUS 模型Fig. 7 ABAQUS model

4.4.2 計(jì)算結(jié)果

采用上述ABAQUS 模型，計(jì)算得到算例在7 條地震波作用下的彈性地震響應(yīng)，部分地震波作用下框架頂點(diǎn)相對水平位移時程及絕對加速度時程分別如圖8、圖9 所示?？梢钥闯觯涸谡w上，采用本文方法與ABAQUS 模擬所得結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)位移時程曲線和加速度時程曲線具有較好的一致性；兩種方法也存在一定的差異，其主要原因在于本文所建立的簡化分析模型采用了一些必要的假定。

圖8 位移時程曲線對比Fig. 8 Comparison of displacement time - history curves

圖9 加速度時程曲線對比Fig. 9 Comparison of acceleration time - history curves

兩種方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)最大相對水平位移和最大絕對加速度分別如表2 和表3 所示，相應(yīng)的條狀圖如圖10 所示?？梢钥闯觯撼贁?shù)地震波(如LA6)外，大部分地震波所得結(jié)果誤差很??；在總體上，本文方法與 ABAQUS 模擬所得的相對位移和絕對加速度最大值誤差較小，平均值在10%左右，在工程上是可以接受的。

圖10 計(jì)算結(jié)果對比Fig. 10 Comparison of calculation results

表2 結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)最大相對位移 /mmTable 2 Maximum relative displacement on top of structure

表3 結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)最大絕對加速度 /(m·s?2)Table 3 Maximum absolute acceleration on top of structure

由上述可知，在7 條地震波作用下，兩種方法計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移及加速度響應(yīng)吻合得較好，誤差處于可接受的范圍。因此，本文提出的方法，可用來近似計(jì)算地震激勵下框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的彈性地震響應(yīng)，且其分析效率很高。

5 結(jié)論

本文針對框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)，將自復(fù)位墻假定為剛體，框架簡化為多自由度體系，得到了“剛體-多自由度體系”分析模型，建立了地震激勵下的運(yùn)動方程，給出了相應(yīng)的Simulink 動態(tài)仿真模型。針對典型算例，在多條地震波激勵下，采用本文方法進(jìn)行了彈性地震響應(yīng)分析，并與ABAQUS 模擬結(jié)果進(jìn)行了對比?；诒疚牡难芯?，可以得到以下主要結(jié)論：

(1)利用“剛體-多自由度體系”分析模型，將原體系等效成一個單自由度體系，可以大大簡化框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)分析。

(2)本文方法及ABAQUS 模擬得到的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)位移及加速度在總體上吻合較好，表明本文提出的簡化方法具有較高的分析精度，能進(jìn)一步應(yīng)用于框架-自復(fù)位墻結(jié)構(gòu)的抗震設(shè)計(jì)。