ARAIM算法的風(fēng)險(xiǎn)概率優(yōu)化分配

韓清清，王 利，羅思龍，舒 寶，岳 聰

1. 長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院，陜西 西安 710054； 2. 黃河水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院測(cè)繪工程學(xué)院，河南 開封 475004； 3. 地理信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054； 4. 西部礦產(chǎn)資源與地質(zhì)工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710054； 5. 中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083; 6. 自然資源部第一大地測(cè)量隊(duì)，陜西 西安 710054

隨著全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)在各個(gè)領(lǐng)域的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，GNSS已經(jīng)可以滿足絕大部分用戶的精度需求。但對(duì)于一些涉及生命安全的公共運(yùn)輸行業(yè)，特別是民用航空領(lǐng)域，相較于精度，完好性具有更加重要的意義[1]。接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)(receiver autonomous integrity monitoring，RAIM)是內(nèi)置在衛(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)內(nèi)部的一種完好性監(jiān)測(cè)技術(shù)，具有反應(yīng)迅速，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，無須外接輔助與干預(yù)的優(yōu)點(diǎn)。高級(jí)接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)算法(advanced RAIM)作為RAIM的擴(kuò)展，沿襲了其無須外部設(shè)備的輔助，以及低成本和高可操作性等優(yōu)勢(shì)，以實(shí)現(xiàn)200英尺高度的垂直引導(dǎo)性能(localizer performance with vertical guidance down to 200 feet service,LPV-200)服務(wù)為目標(biāo)[2-3]?；A(chǔ)的ARAIM算法將連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)和完好性風(fēng)險(xiǎn)概率平均分配給所有可見衛(wèi)星，導(dǎo)致垂直保護(hù)等級(jí)(vertical protection level,VPL)較為保守，使單星座在LPV-200下的ARAIM可用性較低。為了彌補(bǔ)單星座可用衛(wèi)星數(shù)量不足導(dǎo)致ARAIM可用性較低的問題，文獻(xiàn)[4—6]利用多星座融合來提高ARAIM的可用性。與此同時(shí)，基于連續(xù)性和完好性風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化分配也是提高可用性的重要方法之一[7-10]。文獻(xiàn)[11]通過分配完好性風(fēng)險(xiǎn)對(duì)VPL進(jìn)行優(yōu)化，提高了ARAIM的可用性。文獻(xiàn)[12]提出了一種多項(xiàng)式系數(shù)優(yōu)化算法，利用高斯-牛頓法對(duì)簡(jiǎn)化的VPL模型進(jìn)行解算，提高了ARAIM的可用性。文獻(xiàn)[13]通過優(yōu)化分配連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)和完好性風(fēng)險(xiǎn)，利用遺傳算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)VPL值的優(yōu)化。文獻(xiàn)[14]通過VPL系數(shù)優(yōu)化法來降低VPL的值，提高ARAIM的可用性，但其在風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化分配時(shí)沒有考慮到VPL公式中確定量的影響。文獻(xiàn)[15]中采用半?yún)^(qū)間搜索法進(jìn)行完好性風(fēng)險(xiǎn)分配來減小VPL的值，但其未考慮到連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)化分配。

本文建立了關(guān)于完好性風(fēng)險(xiǎn)和連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)的函數(shù)模型，采用最大值最小化方法，利用fminimax函數(shù)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)概率的合理分配。fminimax函數(shù)在求解非線性約束最優(yōu)化問題時(shí)，使用的序列二次規(guī)劃法(sequential quadratic programming，SQP)是目前公認(rèn)的求解不等式約束非線性優(yōu)化問題的最有效方法之一，與其他優(yōu)化算法相比，其最突出的優(yōu)點(diǎn)是收斂性好、計(jì)算效率高、邊界搜索能力強(qiáng)，受到廣泛重視及應(yīng)用[16-17]。顧及ARAIM主要是服務(wù)于民用航空部門，需要的是動(dòng)態(tài)的、實(shí)時(shí)的、高頻的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，因此，試驗(yàn)數(shù)據(jù)不僅包括5個(gè)MGEX測(cè)站的靜態(tài)數(shù)據(jù)，還包括了兩種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)(車載動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)、航空動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù))。分析了本文采用的最大值最小化方法對(duì)GPS和BDS單系統(tǒng)的VPL改善情況，并對(duì)比該優(yōu)化方法與其他優(yōu)化方法對(duì)ARAIM可用性的提升率，最后仿真全球范圍內(nèi)采用最大值最小化方法的VPL改善情況及ARAIM可用性的提升情況。

1 MHSS(multiple hypothesis solution separation)ARAIM算法

對(duì)于N顆可見衛(wèi)星，GNSS無故障觀測(cè)模型進(jìn)行線性化處理[18-23]

y=Gx+ε

(1)

式中，y表示偽距殘差，指衛(wèi)星的觀測(cè)偽距值與計(jì)算得到的衛(wèi)地距離的差值；G為觀測(cè)矩陣；x為待估參數(shù)矢量，包括接收機(jī)位置和鐘差；ε為N×1維偽距誤差向量。

全集的加權(quán)最小二乘定位解為

(2)

式中，W為用戶測(cè)距精度(user range accuracy,URA)的加權(quán)對(duì)角矩陣系統(tǒng)第k個(gè)故障模式即第k個(gè)子集的最小二乘解為

(3)

式中，W(k)表示第k個(gè)故障模式下URA的加權(quán)對(duì)角矩陣。定義第k個(gè)故障模式下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

(4)

(5)

(6)

WURE與W類似，是關(guān)于用戶測(cè)距誤差(user range error,URE)的評(píng)估精度/連續(xù)性的對(duì)角加權(quán)協(xié)方差矩陣。對(duì)于故障模式k，定義監(jiān)測(cè)門限Tk滿足[6]

(7)

式中，Kfa.k是為滿足連續(xù)性需求而定義的，且Kfa.k滿足如下條件

(8)

Q-1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累計(jì)分布函數(shù)(CDF)的逆函數(shù)，連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)概率Pfa=3.9×10-6/15s?；A(chǔ)的ARAIM算法采用平均分配的方法來分配系數(shù)，對(duì)于連續(xù)性約束系數(shù)，連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)概率平均分配給所有可見衛(wèi)星數(shù)N，則

(9)

VPL0為系統(tǒng)無故障情況下系統(tǒng)的垂直保護(hù)水平，表示為

(10)

bnom為連續(xù)性偏差，VPLk為當(dāng)?shù)趉顆衛(wèi)星發(fā)生故障時(shí)，排除第k顆衛(wèi)星后對(duì)應(yīng)的垂直保護(hù)水平，可以表示為[15]

Tk+Kmd,k×σ(k)+

(11)

式中，Kmd,k為第k個(gè)故障模式下完好性風(fēng)險(xiǎn)約束系數(shù)，Kmd,0為無故障情況下完好性風(fēng)險(xiǎn)約束系數(shù)，并且有

(12)

對(duì)于ARAIM算法中涉及的完好性約束系數(shù)Kmd,0、Kmd,k，其滿足如下條件

(13)

(14)

(15)

(16)

根據(jù)上述算法，通過給定的連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)概率Pfa和危險(xiǎn)誤導(dǎo)信息概率對(duì)N顆可見衛(wèi)星進(jìn)行平均分配，可以得出有關(guān)k的3組系數(shù)，導(dǎo)入式(10)和式(11)計(jì)算VPL0和VPLk，VPL=max{VPL0,max(VPLk)}。

為了評(píng)估ARAIM應(yīng)用于民用航空的可行性，需要確定不同飛行進(jìn)近階段的性能要求。國(guó)際民用航空組織(International Civil Aviation Organization,ICAO)建議的LPV-200性能標(biāo)準(zhǔn)包括：

(1) 95%置信度的精度(95% accuracy,accu(95%))≤4 m；

(2) 99.999 99%置信度的無故障垂直定位誤差(vertical positioning error,VPE)≤10 m；

(3) 99.999%置信度的有效監(jiān)視門限(effective monitor threshold,EMT)≤15 m；

(4) 99.999 99%置信度的垂直定位誤差界限(vertical alarm limit,VAL)，即VPL

2 基于最大值最小化方法的風(fēng)險(xiǎn)概率優(yōu)化分配

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化工具箱中最大值最小化(fminimax)方法原理

設(shè)多目標(biāo)優(yōu)化問題中的目標(biāo)函數(shù)為Fi(x),{i=1,2,…,m}，設(shè)計(jì)變量為X={x1,x2,…,xn}T，則多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可表示為

(17)

式中，gi(X)和hi(X)為約束函數(shù)。多目標(biāo)優(yōu)化問題中，各個(gè)子目標(biāo)間存在矛盾性，難以保證多個(gè)子目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解，因此，需利用折中的算法以確保多個(gè)子目標(biāo)盡可能達(dá)到最優(yōu)化。

目標(biāo)規(guī)劃法可統(tǒng)一各個(gè)分目標(biāo)函數(shù)組建為新的總目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解[24]。該方法引入目標(biāo)F*概念，通過最小化非劣解集到目標(biāo)的距離來計(jì)算非劣解，當(dāng)松弛度wiγ最小時(shí)的非劣解則為目標(biāo)F*的最可行性解。

(18)

(19)

式中，ψ(x)=maxiΛi，為劣解的集合[25]?？赏ㄟ^SQP算法迭代求解一個(gè)或多個(gè)二次規(guī)劃的子問題，從而解決復(fù)雜的非線性約束最優(yōu)化問題。然而，由于序列二次規(guī)劃法會(huì)使得線性的權(quán)值松弛在局部搜索范圍內(nèi)，導(dǎo)致拒絕可大幅改進(jìn)總體目標(biāo)的小步搜索，陷入局部最優(yōu)[26]。因此，可將其轉(zhuǎn)化為式(20)ψ(x)=

(20)

設(shè)定目標(biāo)規(guī)劃法中的目標(biāo)函數(shù)值為0，權(quán)重為1，則可將目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為最大值最小化問題，如式(21)所示

(21)

式中，c(x)≤0為非線性不等式約束；ceq(x)=0為非線性等式約束；A·x≤b為線性不等式約束；aeq·x=beq為線性等式約束；ub和lb分別為x搜索空間的上界與下界。利用fminimax函數(shù)，只需設(shè)定好目標(biāo)函數(shù)Fi(x)，及其所需約束條件，設(shè)定最優(yōu)解的上下界，即可求解最小化的最大值。

總體上講，最大值最小化算法的核心思想為利用序列二次規(guī)劃法迭代求取多變量非線性函數(shù)最壞值的最小值，其本質(zhì)可視為一個(gè)平滑的目標(biāo)規(guī)劃問題，最終求取的優(yōu)化解即可作為原多優(yōu)化問題的解。

2.2 VPL風(fēng)險(xiǎn)概率優(yōu)化分配

VPL由衛(wèi)星幾何分布、誤差模型和風(fēng)險(xiǎn)概率3個(gè)方面決定。VPL由最大值函數(shù)求得，平均分配完好性風(fēng)險(xiǎn)概率不是最優(yōu)方案，合理的風(fēng)險(xiǎn)分配，能夠減小VPL0與VPLk的最大值，使VPL0與VPLk更加集中，達(dá)到優(yōu)化VPL的目的，用連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)和完好性風(fēng)險(xiǎn)代替參數(shù)Kfa,k，Kmd,0，Kmd,k，VPL方程被改寫為[27-28]

(22)

將VPL值作為優(yōu)化目標(biāo)，分配的連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)和完好性參數(shù)作為優(yōu)化參數(shù)，建立優(yōu)化函數(shù)如式(23)所示

min max (VPL0(P(HMI/H0))
VPLk(Pfa,k,P(HMI/Hk)))

(23)

VPL優(yōu)化問題屬于最大值函數(shù)最小化問題[29]，采用Matlab中fminmax最大值最小化算法，將最大值最小化的函數(shù)模型的內(nèi)部重新構(gòu)造為等效非線性規(guī)劃問題，通過模型中的約束條件，使用SQP來求解非線性約束最優(yōu)化問題。SQP將帶有不等式約束的非線性化問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題求解，通過擬牛頓法計(jì)算求解過程中涉及的Hessian矩陣。將平均分配的連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)和完好性風(fēng)險(xiǎn)值作為初值，迭代計(jì)算VPL，以得到次優(yōu)解。

3 試驗(yàn)分析

3.1 試驗(yàn)方案

靜態(tài)數(shù)據(jù)采用的是5座MGEX(multi-GNSS experiment)測(cè)站(ABPO、HKSL、CUT0、STJ3、AMC4)2019年DOY 53 GPS和BDS觀測(cè)數(shù)據(jù)，其采樣間隔為30 s，截止高度角為10°。動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)分為兩種：一是北京地區(qū)的車載動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)(BJCS)：2020年DOY 196、時(shí)間段大致為3:00—8:00，二是沈陽地區(qū)的航空測(cè)試數(shù)據(jù)(SYCS)：2020年DOY 269、時(shí)間段大致為0:00—4:00，三維飛行軌跡圖和飛行高度圖如圖1所示。本次航空測(cè)試數(shù)據(jù)共包括兩次進(jìn)近，分別在7733歷元和15303歷元進(jìn)入LPV-200階段。動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)的采樣間隔均為1 s，截止高度角為10°。BDS的觀測(cè)數(shù)據(jù)為當(dāng)天觀測(cè)到的所有北斗衛(wèi)星，不區(qū)分北斗二號(hào)和北斗三號(hào)。只考慮衛(wèi)星的單故障模式，測(cè)站位置和完好性支持信息參數(shù)(integrity support message,ISM)設(shè)置分別見表1和表2[30-31]。試驗(yàn)分析的內(nèi)容包括：

表1 測(cè)站位置

表2 ISM參數(shù)設(shè)置表

圖1 SYCS航線圖Fig.1 SYCS route map

(1) 分析GPS和BDS單系統(tǒng)采用最大值最小化方法前后的VPL值的變化走勢(shì)及各個(gè)歷元VPL0和VPLk的標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation,STD)。

(2) 分析本文采用的最大值最小化方法與其他優(yōu)化算法LPV-200下的ARAIM可用性。

(3) 利用2019年DOY 53的廣播星歷數(shù)據(jù)仿真采用最大值最小化方法前后的GPS和BDS單系統(tǒng)的ARAIM可用性，仿真時(shí)間間隔為5 min，格網(wǎng)為10°×10°，截止高度角為10°。

3.2 最大值最小化方法實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)效果分析

3.2.1 靜態(tài)數(shù)據(jù)效果分析

由于靜態(tài)數(shù)據(jù)試驗(yàn)結(jié)果類似和篇幅限制，圖2只給出了測(cè)站ABPO和HKSL的結(jié)果。其中，平均分配VPL表示風(fēng)險(xiǎn)概率平均分配下的VPL值，fminimax_VPL表示本文采用的最大值最小化方法的VPL值，垂直告警門限VAL=35 m，平均分配STD表示風(fēng)險(xiǎn)概率平均分配下的各個(gè)歷元VPL0和VPLk的標(biāo)準(zhǔn)差，fminimax_STD為采用最大值最小化方法之后的標(biāo)準(zhǔn)差。

由圖2可知，對(duì)于GPS和BDS，兩個(gè)靜態(tài)測(cè)站的fminimax_VPL曲線均完全被VPL曲線包絡(luò)，表明本文采用的最大值最小化方法能夠有效降低VPL的值；與此同時(shí)，fminimax_STD比平均分配STD值要小得多，說明本文采用的最大值最小化方法能夠合理地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分配，使得VPL0和VPLk值之間更加接近。

圖2 兩個(gè)靜態(tài)測(cè)站的VPL和STD序列Fig.2 VPL and STD sequence diagram of two static stations

3.2.2 動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)效果分析

ARAIM主要服務(wù)于民用航空部門，但是目前的絕大部分研究均來自地面監(jiān)測(cè)站，而民航需要的是動(dòng)態(tài)的、實(shí)時(shí)的、高頻的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，因此，進(jìn)一步分析了在動(dòng)態(tài)場(chǎng)景下，采用最大值最小化方法下的ARAIM性能，圖3給出了動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)BJCS和SYCS的結(jié)果。

由圖3(a)、圖3(b)可以看出，雖然BJCS為車載動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，信號(hào)傳輸易受地面物體的干擾，數(shù)據(jù)質(zhì)量較差，出現(xiàn)多個(gè)歷元VPL值激增的現(xiàn)象，但是整體而言，無論是GPS還是BDS，fminimax_VPL曲線依舊被VPL曲線包絡(luò)，并且fminimax_STD比平均分配STD值都要小。而SYCS作為航空測(cè)試數(shù)據(jù)，其質(zhì)量較優(yōu)，由圖3(c)、圖3(d)可以看出，相較于BJCS，SYCS的GPS和BDS的VPL值整體起伏不大，無論是在平穩(wěn)飛行階段還是在進(jìn)近階段，采用最大值最小化方法依然可以有效降低VPL的值，表明該方法在實(shí)際航空數(shù)據(jù)中依舊能夠合理地進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分配，提高ARAIM的可用性。

圖3 兩個(gè)動(dòng)態(tài)測(cè)站的VPL和STD序列Fig.3 VPL and STD sequence diagram of two dynamic stations

3.2.3 數(shù)據(jù)結(jié)果統(tǒng)計(jì)分析

7個(gè)測(cè)站的VPL和STD改善率統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別見表3和表4。

表3 7個(gè)測(cè)站的VPL統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表4 7個(gè)測(cè)站的STD統(tǒng)計(jì)結(jié)果

表3和表4表明，采用最大值最小化方法后，GPS和BDS的VPL和STD都有不同程度的改善。其中，GPS的VPL和STD平均改善率分別為12.14%、78.69%；BDS的VPL和STD平均改善率分別為10.63%、72.23%。

3.3 風(fēng)險(xiǎn)概率優(yōu)化分配方法效果對(duì)比分析

為了驗(yàn)證本文采用的最大值最小化方法的優(yōu)越性，將其與文獻(xiàn)[15]的半?yún)^(qū)間搜索法和文獻(xiàn)[14]的VPL系數(shù)優(yōu)化法計(jì)算的LPV-200下的ARAIM可用性結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，3種方法的ARAIM可用性提升率見表5。

表5表明，對(duì)于GPS，半?yún)^(qū)間搜索法、VPL系數(shù)優(yōu)化法和最大值最小化方法的ARAIM可用性平均提升率為2.64%、5.68%和6.72%；對(duì)于BDS，半?yún)^(qū)間搜索法、VPL系數(shù)優(yōu)化法和最大值最小化方法的ARAIM可用性平均提升率為1.14%、2.93%和4.30%，因此，相較于半?yún)^(qū)間搜索法和VPL系數(shù)優(yōu)化法，本文采用的最大值最小化方法在LPV-200下的ARAIM可用性略高，7個(gè)測(cè)站的ARAIM可用性提升率均值達(dá)到4%以上。

表5 3種方法的ARAIM可用性提升率

3.4 最大值最小化方法仿真數(shù)據(jù)效果分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文采用的最大值最小化方法的有效性，將仿真計(jì)算最大值最小化方法前后GPS和BDS單系統(tǒng)的VPL值，對(duì)比結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，采用最大值最小化方法后，無論是BDS還是GPS的全球的VPL值都有所下降，GPS的中緯度和高緯度區(qū)域及BDS的非亞太區(qū)域的VPL值下降得更為明顯，在LPV-200下的ARAIM可用性結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知，風(fēng)險(xiǎn)概率平均分配時(shí)，GPS的ARAIM可用性大于90%、99.5%的覆蓋范圍分別為26.60%、0%；BDS的ARAIM可用性大于90%、99.5%的覆蓋范圍分別為30.73%、19.91%；采用最大值最小化方法后，GPS的ARAIM可用性大于90%、99.5%的覆蓋范圍分別增加到38.69%、17.35%；BDS的ARAIM可用性大于90%、99.5%的覆蓋范圍分別增加到34.28%、22.33%。由此可見，采用最大值最小化方法能夠有效提高GPS和BDS單系統(tǒng)LPV-200下的ARAIM可用性。

圖5 最大值最小化方法前后的GPS和BDS的ARAIM可用性Fig.5 The availability of ARAIM for GPS and BDS before and after the maximum minimization method

4 結(jié)論與展望

基礎(chǔ)ARAIM的風(fēng)險(xiǎn)概率平均分配導(dǎo)致VPL值較為保守，難以使單星座的ARAIM可用性滿足LPV-200的導(dǎo)航需求。本文采用的最大值最小化方法通過合理分配連續(xù)性風(fēng)險(xiǎn)和完好性風(fēng)險(xiǎn)，能夠提高LPV-200下的ARAIM可用性；相較于其他優(yōu)化算法，本文采用的最大值最小化方法提高LPV-200下的ARAIM可用性的效果更佳。實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果和仿真結(jié)果一致表明，采用最大值最小化方法能夠降低VPL的值，提高GPS和BDS單系統(tǒng)LPV-200下的ARAIM可用性。

需要指出的是，SQP迭代的每一步都需要求解一個(gè)或多個(gè)二次規(guī)劃子問題，隨著問題規(guī)模的擴(kuò)大，其計(jì)算工作量和所需存儲(chǔ)量也會(huì)增大。當(dāng)GNSS系統(tǒng)之間進(jìn)行組合時(shí)，VPL值相較于單系統(tǒng)有一定的改善，此時(shí)如果風(fēng)險(xiǎn)分配采用最大值最小化方法，VPL的改善情況不如單系統(tǒng)的VPL改善得明顯，并且會(huì)增加計(jì)算量。因此,本文只對(duì)GPS和BDS單系統(tǒng)進(jìn)行了分析，下一步將深入研究多系統(tǒng)的ARAIM可用性問題。