基于和聲差分進化混合算法的橫向磁場電機優(yōu)化設(shè)計

袁小慶, 周彤, 姬俊杰, 劉宇軒, 杜曉東

(西北工業(yè)大學(xué) 機電學(xué)院, 陜西 西安 710072)

橫向磁場電機(transverse flux motor,TFM)最早是由德國的Weh教授和他的合作者提出[1],TFM運動方向與磁場方向不在同一個平面內(nèi),實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)上的電磁解耦[2],進一步提高了最大轉(zhuǎn)矩密度。國內(nèi)外的學(xué)者關(guān)于TFM提出了很多新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[3-6],但對于TFM具體參數(shù)的優(yōu)化研究較少,大多憑借經(jīng)驗公式和有限元分析對其進行優(yōu)化設(shè)計, 難以得到全局最優(yōu)解。也有部分學(xué)者將智能優(yōu)化算法[7]應(yīng)用到TFM優(yōu)化設(shè)計中,如中國科學(xué)院大學(xué)邱書桓等利用遺傳算法對一款圓筒形錯相式TFM進行優(yōu)化[8],增大了齒磁密,減少了漏磁。蘭州理工大學(xué)包廣清等利用改進的粒子群算法對一款TFM進行優(yōu)化[9],提高了工作效率,縮減了制造成本。

本文將和聲搜索(harmony search,HS)算法[10]與差分進化(differential evolution,DE)算法[11]相結(jié)合,并引入精英保留策略[12],得到一種改進的和聲差分進化混合(improved harmony search and differential evolution,IHSDE) 算法。基于該算法，以最大轉(zhuǎn)矩密度和生產(chǎn)成本為優(yōu)化目標(biāo)對一種新型盤式雙向交鏈橫向磁通永磁電機[13](disk-type bipolar crosslinking transverse flux permanent-magnet motor,DBC-TFPM)進行優(yōu)化設(shè)計,通過Matlab仿真得到了優(yōu)化變量的全局最優(yōu)解,驗證了算法的有效性。

1 IHSDE算法原理

IHSDE算法同時具有HS算法與DE算法的優(yōu)點,以HS算法為主體,在新和聲的生成方式上加入了DE算法的思想,在更新和聲記憶庫時引入精英保留策略有效改善了算法的性能。

1.1 初始記憶庫

在進行優(yōu)化前,采用HS算法生產(chǎn)初始記憶庫的方式來隨機化初始記憶庫HM={x1,x2,…,xN},通過如下方式生成

xi,j=lj+r·(uj-lj),j=1,2,…,d,i=1,2,…,N

(1)

式中:xi,j為第i個和聲的第j維分量;uj和lj為xi,j取值的上下界;N為和聲的總數(shù);d為和聲的維度;r為0～1之間的隨機數(shù)。

1.2 生成新和聲

標(biāo)準(zhǔn)HS算法主要通過記憶選擇、局部調(diào)諧和隨機生成3種方式來尋找合適的新解,在這個過程中融合DE算法,即基于2個個體的差分項產(chǎn)生新個體,可以減少隨機生成的新個體數(shù)量,從而提高運算的收斂速度,該步驟為

(2)

式中:xnew,j為新的和聲分量;ra為1～N的隨機數(shù);r′為0～1的隨機數(shù);HMCR為記憶選擇概率;r2,r3∈{1,2,3,…,N}為互不相等的整數(shù)且都不等于i;F為DE算法的比例因子,取值是0～1之間的數(shù);cr為個體中變量交叉概率。

對于r′

(3)

式中:r″和r?分別為0～1的隨機數(shù);bw為音調(diào)微調(diào)帶寬。

1.3 精英保留策略

圖1為IHSDE算法流程圖。對每一代和聲依據(jù)其適應(yīng)度值進行升序排列,選擇第一組和聲與上一代的第一組和聲進行比較,若該和聲適應(yīng)度更好,則將其加入精英和聲數(shù)據(jù)庫,其余和聲依據(jù)算法規(guī)則進行調(diào)整,之后將該精英和聲加入調(diào)整后的記憶庫并重新進行升序排列。精英保留策略保證了在迭代過程中產(chǎn)生的最優(yōu)和聲不會被破壞,提高了IHSDE算法在搜索過程中的收斂性。

2 算法性能測試

為了驗證該混合算法有效性,基于Matlab編寫HS算法、HSDE算法以及IHSDE算法,利用含有30個變量的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)Schwefel 2.26[14]進行測試,3種優(yōu)化算法的函數(shù)測試情況如圖2所示。

圖2 3種優(yōu)化算法的函數(shù)測試情況

Schwefel 2.26函數(shù)表達(dá)式

|xi|≤500

(4)

其最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)值為

min(f(x*))=f(420.968 7,…,420.968 7)=

-12 569

(5)

當(dāng)計算出的最優(yōu)解大于-12 000時,認(rèn)為本次求解屬于早熟。每種算法均重復(fù)計算該函數(shù)50次,其搜索能力如表1所示。從表1中可知,HSDE算法的收斂速度雖然比HS算法有了很大提高,但也造成了早熟概率的提高。在加入精英保留策略后,IHSDE算法收斂速度有所提升,同時早熟概率大大降低,接近0,結(jié)果更為可靠。測試結(jié)果說明了IHSDE算法可有效求解并優(yōu)化多維復(fù)雜函數(shù)的極值問題,也可以用于電機優(yōu)化設(shè)計中多維函數(shù)求解問題。

表1 3種優(yōu)化算法搜索能力比較

3 DBC-TFPM尺寸和性能分析

本文在如圖3所示的DBC-TFPM的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化設(shè)計。計算最大轉(zhuǎn)矩密度之前,給出了鐵心和永磁體的主要尺寸的幾何定義,如圖4所示。

圖3 DBC-TFPM結(jié)構(gòu)圖

圖4 鐵心和永磁體尺寸平面圖

(6)式給出了最大轉(zhuǎn)矩密度公式,具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)[13]。

(6)

式中：m為電機的相數(shù);Ia為單相繞組電流有效值;φδ為每極氣隙磁通量;n為單相繞組內(nèi)的鐵心數(shù);N為單相繞組的有效匝數(shù);V為電機體積,D為電機直徑;L為電機軸向長度。

每極氣隙磁通量φδ估算為

φδ=BδAs=Bδlsbs

(7)

式中：As是定子鐵心齒部面積，As=lsbs;Bδ為氣隙剩磁密度。

氣隙剩磁密度Bδ可表示為

(8)

電機單相繞組電流I和匝數(shù)N與電流密度J關(guān)系可以表示為

NI=Jsd=Jlchcsf

(9)

式中：sf為槽滿率,其值與繞線的工藝和所選線徑及材質(zhì)相關(guān);sd為導(dǎo)線橫截面積。

為方便計算,令

(10)

由圖4可知

(11)

式中：ε為線圈與定子鐵心內(nèi)圈的間隙,ε=1 mm;z為定子鐵心壓線盤到定子鐵心齒部的距離。考慮到螺釘?shù)陌惭b和磁導(dǎo)的大小,取z=5 mm。

電機軸向長度D和定子盤直徑L滿足

(12)

式中,pz為電機轉(zhuǎn)子極對數(shù)。

將(7)～ (12)式帶入(6)式中,得

(13)

4 DBC-TFPM參數(shù)優(yōu)化

4.1 選擇優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

電機的優(yōu)化設(shè)計本質(zhì)上是多目標(biāo)優(yōu)化問題,此類問題一般可以描述為

(14)

式中：X=[x1,x2,…,xn]為電機的優(yōu)化變量,如結(jié)構(gòu)參數(shù)等;f(X)為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù);gi(X)為優(yōu)化約束條件。

DBC-TFPM應(yīng)用于新能源汽車時,作為動力核心部件需要提供足夠的輸出轉(zhuǎn)矩,由于車內(nèi)空間緊湊,還需盡可能減小電機體積。此外,橫向磁場電機特殊的結(jié)構(gòu)設(shè)計導(dǎo)致其生產(chǎn)成本較高,在保證性能的前提下,應(yīng)盡可能地降低成本。因此,本文選擇最大轉(zhuǎn)矩密度和生產(chǎn)成本為優(yōu)化子目標(biāo)。為了消除數(shù)量級不同帶來的優(yōu)化誤差,設(shè)計優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(15)

式中：STm和STm0分別為優(yōu)化后電機和原型機的最大轉(zhuǎn)矩密度;C和C0分別為優(yōu)化后電機和原型機的有效物料成本;q1和q2為子目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重系數(shù); 10是為了使函數(shù)計算結(jié)果為正而引入的常數(shù)。

電機的有效物料成本C為

C=CCu·GCu+CFe·GFe+CPM·GPM+CAl·GAl

(16)

式中：CCu,CFe,CPM,CAl分別為銅、硅鋼片、釹鐵硼永磁體、鋁的價格;GCu,GFe,GPM,GAl分別為銅、硅鋼片、釹鐵硼永磁體、鋁的質(zhì)量。

本文中,假設(shè)銅的價格為60元/kg,硅鋼片的價格為10元/kg,釹鐵硼永磁體的價格為120元/kg,鋁的價格為30元/kg。

4.2 選擇優(yōu)化設(shè)計變量

結(jié)合公式(13),選取對DBC-TFPM性能影響較大的氣隙長度δ、繞組匝數(shù)N、鐵心齒部徑向?qū)挾萳s和鐵心齒部切向?qū)挾萣s為優(yōu)化設(shè)計變量X,如下所示

(17)

4.3 設(shè)定約束條件

電機的約束條件是為了讓電機優(yōu)化后滿足一些實際生產(chǎn)中的工藝要求、客戶需求和技術(shù)規(guī)范等。約束條件均為不等式約束,按照約束的性質(zhì),可以分為性能約束和幾何約束。選擇約束條件時需要考慮以下幾個方面:①符合電機生產(chǎn)制造的工藝標(biāo)準(zhǔn),比如繞組的槽滿率應(yīng)當(dāng)符合嵌線工藝的要求;②電機的性能指標(biāo)符合產(chǎn)品的技術(shù)規(guī)范及客戶的需求;③電機的各零部件幾何尺寸符合電機的設(shè)計規(guī)范。

綜上,約束條件表達(dá)式為

(18)

式中：T0為原型機的輸出轉(zhuǎn)矩;V0為原型機體積;sf0為原型機繞組線圈槽滿率;C0為原型機成本。

由于各約束條件數(shù)量級相差巨大,不能直接用于電機的優(yōu)化設(shè)計,對其進行規(guī)范化處理,表示為如下的相對值形式

(19)

4.4 構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)

由于IHSDE算法是一種無約束優(yōu)化算法,只能用來計算無約束問題,需要把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為無約束極值問題,為此引入罰函數(shù)構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)。本文選用的罰函數(shù)[14]為

(20)

式中：U為一個常數(shù),表示當(dāng)函數(shù)違反約束時施加的最小約束值;ωi為懲罰系數(shù),對于不同的約束,根據(jù)其影響大小使用不同的懲罰系數(shù)。

最終構(gòu)造出來的增廣目標(biāo)函數(shù)F(X)為

(21)

4.5 主要參數(shù)和變量搜索范圍確定

電機散熱要求較高,選擇水冷散熱,電流密度選擇10 A/mm2。槽滿率大小的選擇與繞線的工藝和所選線徑及材質(zhì)相關(guān),本文初選0.65。DBC-TFPM單相定子鐵心數(shù)n為6,轉(zhuǎn)子極對數(shù)pz為11。

在編寫優(yōu)化程序時,選定各優(yōu)化變量的變化范圍以及搜索步長如表2所示。

表2 變量取值范圍及搜索步長

4.6 優(yōu)化分析

為體現(xiàn)不同權(quán)重系數(shù)對優(yōu)化效果的影響,選取2組權(quán)重系數(shù)做對比:①q1=0.4,q2=0.6,側(cè)重于減小生產(chǎn)成本;②q1=0.6,q2=0.4,側(cè)重于增大最大轉(zhuǎn)矩密度。用Matlab編寫優(yōu)化程序,仿真計算得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)相關(guān)變化曲線如圖5所示,優(yōu)化設(shè)計變量相關(guān)變化曲線如圖6所示。由圖5可知,在迭代運算過程中,雖然子目標(biāo)函數(shù)中的成本、轉(zhuǎn)矩和最大轉(zhuǎn)矩密度曲線有所波折,但總體目標(biāo)的適應(yīng)度函數(shù)值一直在穩(wěn)步增長,說明整個記憶庫中的和聲群體趨向于最優(yōu)化。在算法計算后期,總適應(yīng)度函數(shù)值基本保持不變,此時已經(jīng)滿足收斂條件。由圖6可知在迭代過程中不斷有新的隨機變量生成,在達(dá)到一定迭代次數(shù)后整體慢慢收斂。

圖5 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)相關(guān)變化曲線

圖6 優(yōu)化設(shè)計變量變化曲線

經(jīng)過優(yōu)化算法程序計算,得到優(yōu)化后的相關(guān)電機參數(shù),將其與原型機的參數(shù)進行對比,如表3所示。

表3 電機優(yōu)化前后參數(shù)對比

分析上表數(shù)據(jù)可知,第一組權(quán)重系數(shù)下電機的最大轉(zhuǎn)矩提高26.3%,最大轉(zhuǎn)矩密度提高24.1%,生產(chǎn)成本降低了3.3%;第二組權(quán)重系數(shù)下電機的最大轉(zhuǎn)矩提高34.6%,最大轉(zhuǎn)矩密度提高32.5%,生產(chǎn)成本降低了1.8%,均取得了預(yù)期的優(yōu)化效果。

5 結(jié) 論

本文提出了IHSDE算法,利用標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)Schwefel 2.26對HS算法、HSDE算法和IHSDE算法進行性能測試,得出IHSDE算法收斂速度更快、早熟概率更低并且全局搜索能力更好,滿足電機優(yōu)化設(shè)計的要求。在Matlab平臺編寫IHSDE算法程序?qū)BC-TFPM進行參數(shù)優(yōu)化,仿真結(jié)果驗證了該算法的正確性。該算法不僅適用于橫向磁場電機的優(yōu)化設(shè)計,也為解決其他多目標(biāo)優(yōu)化問題提供了參考,具有廣闊的應(yīng)用前景。