基于拓?fù)鋬?yōu)化的點(diǎn)陣-加筋板式結(jié)構(gòu)設(shè)計方法

董偉, 李揚(yáng), 辛克浩, 殷德政, 宋龍龍, 高彤

1.北京航天長征飛行器研究所, 北京100076;2.西北工業(yè)大學(xué) 航宇材料結(jié)構(gòu)一體化設(shè)計與增材制造裝備技術(shù)國際聯(lián)合研究中心, 陜西 西安710072

飛行器儀器艙中，設(shè)備安裝板是安裝和支承工作儀器的結(jié)構(gòu)，往往也作為艙體的輔助承載結(jié)構(gòu)。除結(jié)構(gòu)減重需求外，為避免大過載機(jī)動飛行中產(chǎn)生過大變形，設(shè)備安裝板必須具備足夠的結(jié)構(gòu)剛度。為此，必須通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法實現(xiàn)設(shè)備安裝板的高承載性能和輕量化設(shè)計。

近年來，點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)因其輕質(zhì)、高比剛度、減振吸能等優(yōu)勢在飛行器結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注，發(fā)展了一系列宏微觀多尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法是一種在給定的載荷條件、約束條件和性能指標(biāo)下優(yōu)化給定區(qū)域內(nèi)材料分布的數(shù)學(xué)方法[1]，目前已廣泛應(yīng)用于航空、航天等[2-3]領(lǐng)域。多尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法是指在宏觀層級和微(細(xì))觀層級對多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行并行優(yōu)化的方法。在宏觀層級優(yōu)化上，優(yōu)化整體結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)形式；在微(細(xì))觀層級優(yōu)化上，優(yōu)化微結(jié)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型。多孔結(jié)構(gòu)的微觀拓?fù)錁?gòu)型和宏觀結(jié)構(gòu)形式在優(yōu)化過程中相互影響，從而達(dá)到提高材料利用率、滿足周期性多孔結(jié)構(gòu)在特定載荷工況下的力學(xué)性能的優(yōu)化目標(biāo)。在近年的多尺度拓?fù)鋬?yōu)化研究成果中，Liu等[4]提出了一種宏觀結(jié)構(gòu)與微結(jié)構(gòu)多尺度設(shè)計的并發(fā)拓?fù)鋬?yōu)化方法，Xia等[5]提出了基于非線性多尺度模型的雙尺度協(xié)同優(yōu)化設(shè)計方法。此外，Yan和Guo等[6]提出了一種熱彈性耦合場下的多尺度優(yōu)化方法；Zhang等[7]提出了基于梯度式分層模型的梯度點(diǎn)陣材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法；為避免多尺度拓?fù)鋬?yōu)化中的尺度分離問題，F(xiàn)u和Wu等[8-9]基于子結(jié)構(gòu)法對多層級結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法展開了研究。 研究表明，純點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的減振性能、面/體載荷承載效率優(yōu)于傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)，但傳遞集中載荷的性能不足。點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)則是能夠兼具二者優(yōu)勢的新型結(jié)構(gòu)方案。然而，目前點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計方法仍停留在先實體優(yōu)化、再點(diǎn)陣填充的階段[10]，關(guān)于二者匹配設(shè)計的研究開展的較少，需尋求更合理的點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計方法。

為解決點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)的多尺度匹配設(shè)計問題，本文提出一種將點(diǎn)陣微結(jié)構(gòu)等效為虛擬均質(zhì)材料，通過多材料拓?fù)鋬?yōu)化來求解點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)布局的優(yōu)化設(shè)計方法。20世紀(jì)以來，國內(nèi)外學(xué)者提出了各種多材料拓?fù)鋬?yōu)化求解策略。Thomsen[11]在1992年首先提出多材料拓?fù)鋬?yōu)化概念，并運(yùn)用均勻化方法解決了雙材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。此后，在密度法框架下，Sigmund和Torquato[12]基于SIMP(solid isotropic material with penalization)插值模型利用遞歸思路構(gòu)造了一種三材料插值模型，Stegmann和Lund[13]提出了一種更便于擴(kuò)展的多材料插值模型(discrete material optimization,DMO)；高彤和張衛(wèi)紅等[14]對上述2種方法進(jìn)行了對比并提出了多材料結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的質(zhì)量約束模型，實現(xiàn)了多種材料用量自動匹配。此外， Wang和Luo[15]發(fā)展出一種基于水平集方法的多材料結(jié)構(gòu)形狀/拓?fù)鋬?yōu)化方法。

本文以某高超聲速飛行器儀器艙設(shè)備安裝板為例，提出一種基于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)宏觀力學(xué)性能等效和多材料拓?fù)鋬?yōu)化的點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)多尺度匹配優(yōu)化設(shè)計方法。通過與傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)的比較，驗證點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)的性能優(yōu)勢，同時為同類結(jié)構(gòu)設(shè)計提供新思路與新方法。

1 設(shè)備安裝板模型及設(shè)計要求

本文研究的設(shè)備安裝板模型如圖1所示，通過螺栓安裝在飛行器儀器艙艙體中，具體結(jié)構(gòu)包括三部分：與飛行器進(jìn)行連接固定的上安裝板、用來搭載工作設(shè)備的下安裝板和連接上下板的連接部分。設(shè)備安裝板整體采用鋁合金材料(性能見表1)，原實心板方案總質(zhì)量為9.962 kg。

表1 設(shè)備安裝板材料特性

圖1 設(shè)備安裝板模型

圖2 設(shè)備安裝板有限元模型

設(shè)備安裝板有限元模型如圖2所示。采用六面體單元對設(shè)備安裝板進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，在安裝孔處創(chuàng)建螺栓連接。設(shè)備在各自重心處等效為質(zhì)量點(diǎn)(各20 kg)，分別為A,B,C；質(zhì)量點(diǎn)通過剛性連接單元連接于設(shè)備安裝孔。設(shè)備安裝板主要載荷為高速機(jī)動導(dǎo)致的大慣性過載及艙體結(jié)構(gòu)通過儀器艙安裝孔傳遞而來的載荷。本文主要考慮的設(shè)計載荷為沿安裝板y軸負(fù)方向25倍的重力加速度、沿x軸正方向35倍的重力加速度。同時，在艙體結(jié)構(gòu)外表面施加0.1 MPa的均布壓力，模擬實際工作時的氣動載荷，艙體變形會在設(shè)備安裝板安裝孔處產(chǎn)生彎扭載荷。艙體后端施加固定約束。

為滿足輕量化要求，限定設(shè)備安裝板質(zhì)量上限為4 kg。設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計考核包括：最大結(jié)構(gòu)應(yīng)力不超過400 MPa，最大位移不超過20 mm。同時，需要對簡諧掃頻激勵下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行校核。

2 設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

本節(jié)分別針對傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)方案和新型點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案，采用密度法對設(shè)備安裝板進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。

2.1 加筋結(jié)構(gòu)方案

2.1.1 優(yōu)化模型

(1)

式中，p為懲罰因子,通過調(diào)整懲罰因子,可以使單元偽密度值聚集在0或1附近。當(dāng)偽密度為1時,表示為單元材料存在;偽密度為0時,表示沒有單元材料。DS為實體材料自身的彈性矩陣,Dmin表示材料為空時的彈性矩陣,為防止計算時結(jié)構(gòu)剛度矩陣出現(xiàn)奇異,通常取一個比較小的數(shù)值。

以質(zhì)量約束下設(shè)備安裝板整體剛度最大(即整體柔順度最小)建立拓?fù)鋬?yōu)化模型

(2)

ρ(xi)=xiρS

(3)

結(jié)構(gòu)的整體柔順度C(x)定義為

C(x)=UTKU

(4)

式中,U為有限元平衡方程中的節(jié)點(diǎn)位移向量,整體剛度矩陣K可表示為

(5)

式中，Bi為單元i的應(yīng)變矩陣。

Fa和Ft分別為與材料布局無關(guān)的外力載荷(如氣動壓力)和設(shè)計相關(guān)載荷(即慣性力)的載荷向量。設(shè)at為慣性過載向量,則相應(yīng)的設(shè)計相關(guān)載荷向量為

(6)

式中，Mi表示單元i的質(zhì)量矩陣;通常材料的質(zhì)量矩陣與設(shè)計變量呈線性關(guān)系,如下所示

Mi=xiMS

(7)

式中，MS為填充實體材料時的單元質(zhì)量矩陣。

結(jié)構(gòu)柔順度對單元偽密度的靈敏度可表示為

(8)

2.1.2 優(yōu)化結(jié)果與重構(gòu)結(jié)果

本文采用GCMMA(globally convergent method of moving asymptotes)算法對優(yōu)化問題進(jìn)行求解,整體柔順度和安裝板質(zhì)量的迭代曲線如圖3所示。最終得到設(shè)備安裝板加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計結(jié)果如圖4所示。根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中實體材料(紅色)的布局形式,重構(gòu)得到的設(shè)備安裝板加筋結(jié)構(gòu)方案如圖5所示,結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.996 kg。

圖3 加筋結(jié)構(gòu)方案:整體柔順度和安裝板質(zhì)量的優(yōu)化迭代曲線

圖4 加筋結(jié)構(gòu)方案:優(yōu)化結(jié)果(偽密度)

圖5 加筋結(jié)構(gòu)方案:重構(gòu)設(shè)計

2.2 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案

本文提出一種點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)匹配優(yōu)化設(shè)計方法,主要思想是將點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效為一種虛擬的均質(zhì)材料,通過多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法,尋找給定質(zhì)量約束下虛擬材料與實體材料合理布局,從而確定點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案。

2.2.1 優(yōu)化模型

本文選取如圖6所示的BCC型點(diǎn)陣結(jié)構(gòu),微結(jié)構(gòu)等效密度ρL=140.5 kg/m3。采用與實體加筋結(jié)構(gòu)相同的金屬材料,利用均勻化方法[16]計算得到的點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)等效彈性矩陣為

DL=

(9)

圖6 BCC單胞結(jié)構(gòu)形式及尺寸

(10)

xi=1表示單元由實體材料構(gòu)成,即加筋結(jié)構(gòu);xi=0表示單元完全由虛擬材料構(gòu)成,即點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。

以質(zhì)量約束下點(diǎn)陣-加筋設(shè)備安裝板整體柔順度最小為目標(biāo)建立拓?fù)鋬?yōu)化列式

(11)

式中，ρ(xi)是虛擬材料單元密度ρL和加筋結(jié)構(gòu)實體材料單元密度ρS的函數(shù)

ρ(xi)=xi(ρS-ρL)+ρL,xi∈[0,1]

(12)

此時,單元i的質(zhì)量矩陣表示為

Mi=xi(MS-ML)+ML,xi∈[0,1]

(13)

式中：ML代表純點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)單元質(zhì)量矩陣；MS代表加筋結(jié)構(gòu)單元質(zhì)量矩陣。

結(jié)構(gòu)柔順度對單元偽密度的靈敏度可表示為

(14)

2.2.2 優(yōu)化結(jié)果與重構(gòu)結(jié)果

本文采用GCMMA算法對優(yōu)化問題進(jìn)行求解分析，安裝板整體柔順度和質(zhì)量的迭代曲線如圖7所示。最終得到點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化結(jié)果如圖8所示，其中紅色部分代表加筋結(jié)構(gòu)，青色部分代表點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果，結(jié)合工程設(shè)計經(jīng)驗(如板式結(jié)構(gòu)在優(yōu)化設(shè)計時多采用橫跨的連續(xù)筋條結(jié)構(gòu)、需要考慮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)和加筋結(jié)構(gòu)的連接過度方式等)，對模型進(jìn)行重構(gòu)，所得設(shè)備安裝板點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)如圖9所示。重構(gòu)完成的設(shè)備安裝板點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.978 kg，滿足設(shè)計要求。

圖7 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案：整體柔順度和安裝板質(zhì)量的優(yōu)化迭代曲線

圖8 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案：優(yōu)化結(jié)果(偽密度)

圖9 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案：重構(gòu)設(shè)計

3 設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)設(shè)計方案仿真分析與對比

由于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的微結(jié)構(gòu)較多，直接使用實體模型進(jìn)行仿真計算效率極低；因此，本文采用常用的梁單元建立點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)模型。加筋結(jié)構(gòu)全部采用六面體實體單元建模。

3.1 大過載下的力學(xué)性能對比

2種結(jié)構(gòu)位移與應(yīng)力仿真結(jié)果如表2所示。加筋結(jié)構(gòu)最大位移為13.07 mm，最大應(yīng)力為355 MPa；點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)最大位移為11.61 mm，最大應(yīng)力為311 MPa。對比發(fā)現(xiàn)：由于點(diǎn)陣將各條加強(qiáng)筋連為一體，其最大變形降低11.17%、剛度更大，同時應(yīng)力水平更低、應(yīng)力分布更均勻。

表2 大過載下設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)方案的力學(xué)性能對比

3.2 模態(tài)振型對比

加筋結(jié)構(gòu)與點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)前6階固有頻率對比見圖10，相應(yīng)振型見表3。對比發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案前6階固有頻率均明顯高于加筋結(jié)構(gòu)，二者振型具有較高的相似性。

表3 設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)方案的前6階振型對比

3.3 加速度激勵下結(jié)構(gòu)響應(yīng)對比

分析2種結(jié)構(gòu)的一階振型云圖可知，加筋結(jié)構(gòu)與點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案的最大位移均出現(xiàn)在末端中心點(diǎn)處。因此，將此位置作為測量點(diǎn)提取位移響應(yīng)。施加大小為20 m/s2、頻率為10～150 Hz的簡諧加速度掃頻激勵，2種結(jié)構(gòu)測量點(diǎn)處沿y軸方向的位移響應(yīng)幅值如圖11所示。加筋結(jié)構(gòu)測量點(diǎn)處位移響應(yīng)幅值的峰值為83.35 mm，而點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案相應(yīng)數(shù)據(jù)僅為21.83 mm、降低73.81%，顯然后者抗振性能顯著提高。

圖11 簡諧加速度掃頻激勵下設(shè)備安裝板結(jié)構(gòu)方案的位移響應(yīng)對比

4 結(jié) 論

本文提出了一種點(diǎn)陣-加筋板式結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化方法。針對給定點(diǎn)陣單胞構(gòu)型，通過均勻化等效方法將其等效為一種虛擬材料并計算其宏觀等效彈性性能；然后，利用多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法，實現(xiàn)整體質(zhì)量約束條件下的結(jié)構(gòu)剛度最大化設(shè)計。以某高超聲速飛行器設(shè)備安裝板為例分別完成了傳統(tǒng)加筋結(jié)構(gòu)和點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案設(shè)計，靜動力學(xué)數(shù)值分析表明：

1) 基于拓?fù)鋬?yōu)化方法，2種設(shè)計方案均能滿足設(shè)計要求。

2) 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案的剛度和強(qiáng)度性能均顯著優(yōu)于加筋結(jié)構(gòu)方案，其原因在于點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的引入將整個安裝板連為一體，能夠?qū)⑤d荷更均勻地分散至整個結(jié)構(gòu)。

3) 點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)方案固有頻率顯著高于加筋結(jié)構(gòu)方案、動響應(yīng)顯著降低，表明在本文的設(shè)備安裝板設(shè)計中，結(jié)構(gòu)動力學(xué)性能得到了提升。

本文提出的基于拓?fù)鋬?yōu)化的點(diǎn)陣-加筋板結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法具有普適性，為飛行器儀器艙設(shè)備安裝板及同類結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了一種新思路和新技術(shù)，在未來的研究中考慮引入結(jié)構(gòu)動力學(xué)的影響，完善點(diǎn)陣-加筋結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。