區(qū)間值序列與區(qū)間值函數(shù)列的收斂性

李改利，高 麗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

區(qū)間數(shù)理論的基本思想是應(yīng)用區(qū)間數(shù)變量代替點(diǎn)變量進(jìn)行計(jì)算。早在1931年，Young給出了區(qū)間數(shù)的概念，區(qū)間數(shù)理論作為處理不確定性問(wèn)題的理論基礎(chǔ)之一，被廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)和管理決策等諸多領(lǐng)域中。為了更好的處理一些實(shí)際問(wèn)題，人們?cè)趨^(qū)間值空間中引入了多種度量(距離)公式。我們擬定在區(qū)間值空間上的Hausdorff度量下討論區(qū)間值序列與區(qū)間值函數(shù)列的收斂性問(wèn)題[1-9]。

本文在介紹區(qū)間數(shù)及區(qū)間值空間的基本概念及其相關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上：1)引入了區(qū)間值序列的收斂性概念并給出其相關(guān)性質(zhì)；2)引入了區(qū)間值函數(shù)列的收斂性概念并給出其相關(guān)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 區(qū)間數(shù)的定義及區(qū)間值空間上的度量

定義1.1[1]設(shè)a,b∈R且a≤b，則稱有界閉區(qū)間[a,b]為R上的一個(gè)區(qū)間數(shù)，R上全體區(qū)間數(shù)構(gòu)成的集合稱為區(qū)間值空間，記為[R]。當(dāng)b≥a≥0時(shí)，稱[a,b]為正區(qū)間數(shù)，其全體構(gòu)成的集合稱為正區(qū)間值空間，記[R+]為；當(dāng)a≤b≤0時(shí)，稱[a,b]為負(fù)區(qū)間數(shù)，其全體構(gòu)成的集合稱為負(fù)區(qū)間值空間，記為[R-]。

定義1.2[4]設(shè)z1=[a1,b1]，z2=[a2,b2]∈[R]，則稱

dH(z1,z2)=max{|a1-a2|,|b1-b2|}

為區(qū)間數(shù)z1,z2的Hausdorff距離。

區(qū)間值空間[R]在Hausdorff距離之下成為完備的度量空間[9]，并且具有下列性質(zhì)：

dH(ka,kb)=|k|dH(a,b),k∈R,

dH(a,b)≤dH(a,c)+dH(c,b)，

1.2 區(qū)間數(shù)的運(yùn)算及大小關(guān)系

2 區(qū)間值序列的收斂性

定義2.1 設(shè)[a1,b1]，[a2,b2]，…，[an,bn]…是一列定義在同一個(gè)區(qū)間值空間[R]上的區(qū)間數(shù)，則稱[a1,b1]，[a2,b2]，…，[an,bn]…為定義在區(qū)間值空間[R]上的區(qū)間值序列。記為{[an,bn]}?[R](n=1,2,…)，且[a,b]∈[R]。

定義2.2[4]設(shè)區(qū)間值序列為{[an,bn]}?[R](n=1，2，…)，且[a,b]∈[R]，如果對(duì)任給的ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，有

dH([an,bn],[a,b])<ε，

從而有

從而有

定理2.2[1]設(shè)[an,bn]，[cn,dn]∈[R](n=1，2，…)，

[a,b]，[c,b]∈[R]，k∈R，如果

則有

證明由于

因此只需要證明和、積與倒數(shù)的運(yùn)算即可。

dH([[an,bn]，[a,b])<ε，當(dāng)n>N1；

dH([cn,dn]，[c,d])<ε，當(dāng)n>N2。

取N=max{N1,N2}，則當(dāng)n>N時(shí)，上述兩個(gè)不等式同時(shí)成立，從而

dH([an,bn]+[cn,dn]，[a,b]+[c,d])≤

dH([an,bn]+[cn,dn]，[an,bn]+[c,d])+

dH([an,bn]+[c,d],[a,b]+[c,d])=

dH([cn,dn]，[c,d])+dH([an,bn]，[a,b])<

ε+ε=2ε，

設(shè)[an,bn]·[cn,dn]=[rn,sn][a,b]·

[c,d]=[r,s]，其中

rn=min{ancn,andn,bncn,bndn}，

sn=max{ancn,andn,bncn,bndn}，

r=min{ac,ad,bc,bd}，

s=max{ac,ad,bc,bd}。

從而

dH([an,bn]·[cn,dn]，[a,b]·[c,d])=

max{|rn-r|,|sn-s|}。

若rn=ancn,r=bd，則rn≤bndn，r≤ac，從而

rn-r=ancn-bd≤bndn-bd,

rn-r=ancn-bd≥ancn-ac。

則由數(shù)列極限的四則運(yùn)算及夾逼定理得

當(dāng)rn與r為其他情況時(shí)，證明過(guò)程類似，從略。

則對(duì)ε>0，當(dāng)n>N時(shí)，有

dH([an,bn]·[cn,dn]，[a,b]·[c,d])=

max{|rn-r|,|sn-s|}<ε，

由實(shí)數(shù)列極限的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)得

定理2.3 設(shè)[an,bn]∈[R](n=1，2，…)，且[a,b]，[c,d]∈[R]，k∈R。若

則[a,b]=[c,d]。

證明因?yàn)?/p>

所以對(duì)任給的ε>0，分別存在N1,N2∈N，有

dH([an,bn]，[a,b])=max{|an-a|,|bn-b|}<ε，

當(dāng)n>N1；

dH([an,bn]，[c,d])=max{|an-c|,|bn-d|}<ε，

當(dāng)n>N2。

則|an-a|<ε,|bn-b|<ε,|an-c|<ε,|bn-d|<ε。

從而

|a-c|=|(an-a)-(an-c)|≤

|an-a|+|an-c|<

ε+ε=2ε，

|b-d|=|(bn-b)-(bn-d)|≤

|bn-b|+|bn-d|<

ε+ε=2ε。

取N=max{N1,N2}，則當(dāng)n>N時(shí)，上述兩個(gè)不等式同時(shí)成立，從而有

dH([a,b],[c,d])=max{|a-c|,b-d}<

ε+ε=2ε，

即[a,b]=[c,d]。

定理2.4 設(shè)兩個(gè)區(qū)間值序列{[an,bn]},{[cn,dn]}∈[R](n=1,2,…)都收斂，若存在N∈N+，使得當(dāng)n>N時(shí)，有[an,bn]≤[cn,dn]，則

證明設(shè)

則有

dH([an,bn]，[a,b])<ε，

dH([cn,dn],[c,d])<ε，

[a,b]-ε<[an,bn]，當(dāng)n>N1；

[cn,dn]<[c,d]+ε，當(dāng)n>N2。

取N={N0,N1,N2}，上述兩個(gè)不等式成立，則當(dāng)n>N時(shí)，有

[a,b]-ε<[an,bn]≤[cn,dn]<[c,d]+ε，

則有[a,b]<[c,d]+2ε。

由ε的任意性有[a,b]≤[c,d]，

3 區(qū)間值函數(shù)列的收斂性

定義3.2 設(shè)f1(x),f2(x),…,fn(x),…是一列定義在同一個(gè)區(qū)間I上的區(qū)間值函數(shù)，則稱f1(x),f2(x),…,fn(x),…為定義在區(qū)間I上的區(qū)間值函數(shù)列，記為{fn(x)}。

定義3.3 設(shè){fn(x)}為區(qū)間I上的區(qū)間值函數(shù)列，且f(x)在I上有定義。若對(duì)x0∈I，有區(qū)間值序列f1(x0),f2(x0),…,fn(x0)，…收斂，則稱區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在點(diǎn)x0處收斂，并稱x0為區(qū)間值函數(shù)列的收斂點(diǎn)。如果區(qū)間值序列f1(x0),f2(x0)，…，fn(x0)，…發(fā)散，則稱區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在點(diǎn)x0處發(fā)散。如果區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都收斂，則稱區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上收斂。區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}所有收斂點(diǎn)組成的集合，稱為區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}的收斂域。

定義3.4 設(shè){fn(x)}和f(x)分別為定義在區(qū)間I上的區(qū)間值函數(shù)列和區(qū)間值函數(shù)，如果對(duì)任給的ε>0，存在N>0，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任意x∈I，有

dH(fn(x),f(x))<ε。

則稱區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上一致收斂于f(x)。

定理3.1 設(shè){fn(x)}和{gn(x)}為定義在區(qū)間I上的兩個(gè)區(qū)間值函數(shù)列，且k∈R，如果有

dH(fn(x),f(x))<ε，當(dāng)n>N1；

dH(gn(x),g(x))<ε，當(dāng)n>N2。

取N=max{N1,N2}，當(dāng)n>N時(shí)，上述兩個(gè)不等式同時(shí)成立，從而有

dH(fn(x)+gn(x),f(x)+g(x))≤

dH(fn(x)+gn(x),fn(x)+g(x))+

dH(fn(x)+g(x),f(x)+g(x))=

dH(gn(x),g(x))+dH(fn(x),f(x))<

ε+ε=2ε。

對(duì)ε>0，當(dāng)n>N時(shí)，有

dH(fn(x)·gn(x),f(x)·g(x))≤

dH(fn(x)·gn(x),f(x)·gn(x))+

dH(f(x)·gn(x),f(x)·g(x))=

gn(x)·dH(fn(x),f(x))+f(x)·dH(gn(x),g(x))。

則可知dH(fn(x)·gn(x),f(x)·g(x))<ε，即

由實(shí)數(shù)列極限的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)得

定理3.2 設(shè){fn(x)}為定義在區(qū)間I上的區(qū)間值函數(shù)列，f(x),g(x)為定義在區(qū)間I上的兩個(gè)區(qū)間值函數(shù)，如果有

則有f(x)=g(x)。

dH(fn(x),f(x))=

當(dāng)n>N1；

dH(fn(x),g(x))=

當(dāng)n>N2。

從而有

所以

|f(x)-g(x)|=

|(fn(x)-f(x))-(fn(x)-g(x))|≤

|fn(x)-f(x)|+|fn(x)-g(x)|<2ε，

取N=max{N1,N2}，當(dāng)n>N時(shí)，上述兩個(gè)式子同時(shí)成立，從而有

dH(f(x),g(x))=

即f(x)=g(x)。

定理3.3 區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在區(qū)間I上一致收斂的充分必要條件是：對(duì)任給的ε>0，存在N>0，當(dāng)n,m>N時(shí)，對(duì)任意x∈I，有

dH(fn(x),fm(x))<ε。

證明必要性 設(shè){fn(x)}在區(qū)間I上一致收斂于f(x)，則由定義3.3，對(duì)任給的ε>0，存在N>0，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任給x∈I，有

所以當(dāng)n,m>N時(shí)，有

dH(fn(x),fm(x))≤

dH(fn(x),f(x))+dH(fm(x),f(x))<

充分性 設(shè)對(duì)任給的ε>0，存在N>0，當(dāng)n,m>N時(shí)，對(duì)任意x∈I，有

dH(fn(x),fm(x))=

即對(duì)任給的ε>0，存在N>0，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任意x∈I，有

dH(fn(x),f(x))=

于是由定義3.3，區(qū)間值函數(shù)列{fn(x)}在I上一致收斂于區(qū)間值函數(shù)f(x)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)介紹區(qū)間數(shù)及區(qū)間值空間的基本概念及其相關(guān)性質(zhì)，給出了區(qū)間值序列的收斂性及其有關(guān)性質(zhì)，同時(shí)給出了區(qū)間值函數(shù)列的收斂、一致收斂性概念及其相關(guān)性質(zhì)。這些研究結(jié)論對(duì)進(jìn)一步研究區(qū)間值空間的分析性質(zhì)具有一定的參考意義。