二方連續(xù)云水紋的數(shù)學(xué)演繹方式

李至惟 張 森

一、云水紋起源

云水紋是一種波狀的雙線紋，其造型具有一定的流動(dòng)感?？傮w來看，云水紋是經(jīng)過數(shù)千年發(fā)展而來的一種具有形式美感并被古代工匠藝人普遍采用而成為一種文化符號(hào)的中華文明代表性紋樣，具有深厚的文化內(nèi)涵和精神屬性。[1]從形態(tài)結(jié)構(gòu)上劃分，云水紋分為不連續(xù)云水紋、二方連續(xù)云水紋和四方連續(xù)云水紋。不連續(xù)云水紋就是重復(fù)的云水紋圖案之間無法貫通連接；二方連續(xù)云水紋的頭尾兩個(gè)方向可以互相連接；四方連續(xù)云水紋則是圖案的四個(gè)方向都可以連接。其中，二方連續(xù)云水紋因其對自然形態(tài)的表現(xiàn)更加真實(shí)，形態(tài)更加細(xì)長優(yōu)雅，能表現(xiàn)畫面的悠遠(yuǎn)朦朧感，而被更加廣泛地接受和應(yīng)用。本文重點(diǎn)研究二方連續(xù)云水紋的數(shù)字化生成方式。

二、云水紋在現(xiàn)代設(shè)計(jì)中的運(yùn)用

在現(xiàn)代設(shè)計(jì)中，云水紋這一古老紋樣因其優(yōu)美的形態(tài)、深遠(yuǎn)的意境感以及極厚重的文化內(nèi)涵而仍被廣泛采用。當(dāng)今，在壁畫、服裝、平面、游戲等不同設(shè)計(jì)領(lǐng)域皆廣泛運(yùn)用云水紋作為視覺元素。

2010年廣州亞運(yùn)會(huì)頒獎(jiǎng)禮服取名“行云流水”（圖1），其以云水紋為主要裝飾圖案，并結(jié)合廣州當(dāng)?shù)靥厣?，運(yùn)用現(xiàn)代圖示語言對傳統(tǒng)云水紋紋樣進(jìn)行加工?！靶性屏魉钡脑O(shè)計(jì)師——北京服裝學(xué)院賀陽教授闡述作品設(shè)計(jì)理念提到：“最終我決定用中國傳統(tǒng)云水紋圖案，色彩上用嶺南畫派風(fēng)格的藍(lán)綠、黃藍(lán)，以體現(xiàn)珠江之水的藍(lán)與廣州特有的亞熱帶地貌以及植物的黃綠色。而色彩間暈染過渡也經(jīng)過特別處理。我的感受是，云水紋在衣服上特別好運(yùn)用，云是變幻不定的，可以隨意修改，線條也比較好運(yùn)用?！痹扑y在當(dāng)今社會(huì)的另外一個(gè)重要的應(yīng)用領(lǐng)域是包裝設(shè)計(jì)。包裝設(shè)計(jì)師大量采用云水紋對產(chǎn)品包裝進(jìn)行裝飾，一方面因?yàn)樵扑y造型優(yōu)美，符合產(chǎn)品包裝的美學(xué)追求；另一方面因?yàn)閭鹘y(tǒng)的云水紋裝飾可以為產(chǎn)品增添文化內(nèi)涵，有利于加深產(chǎn)品的消費(fèi)者認(rèn)同感，以此通過溢出效應(yīng)而抬高產(chǎn)品售價(jià)。

圖1 廣州亞運(yùn)會(huì)頒獎(jiǎng)禮服“行云流水”（圖片來源于網(wǎng)絡(luò)）

三、二方連續(xù)云水紋參數(shù)化數(shù)學(xué)模型用途

二方連續(xù)云水紋參數(shù)化數(shù)學(xué)模型的建立是為了對二方連續(xù)云水紋這一傳統(tǒng)紋樣進(jìn)行數(shù)字化和虛擬化，以供設(shè)計(jì)師在計(jì)算機(jī)中生成二方連續(xù)云水紋。從實(shí)體轉(zhuǎn)向數(shù)字虛擬化的二方連續(xù)云水紋具有兩個(gè)主要優(yōu)勢：一方面可以利用參數(shù)化技術(shù)根據(jù)設(shè)計(jì)要求對二方連續(xù)云水紋形態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié)；另一方面可以利用計(jì)算機(jī)輔助、3D打印等方式進(jìn)行結(jié)果的快速呈現(xiàn)。它提供給包括平面設(shè)計(jì)、數(shù)字媒體設(shè)計(jì)、工業(yè)設(shè)計(jì)、手工藝和參數(shù)化設(shè)計(jì)等不同專業(yè)一種數(shù)字化的二方連續(xù)云水紋生成手段，是一種便捷、高效的二方連續(xù)云水紋紋樣生成系統(tǒng)。并且，此參數(shù)化數(shù)學(xué)模型與當(dāng)今流行的參數(shù)化設(shè)計(jì)可以緊密結(jié)合，運(yùn)用參數(shù)化設(shè)計(jì)手段結(jié)合數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出具有鮮明參數(shù)化設(shè)計(jì)特征的設(shè)計(jì)作品。

四、二方連續(xù)云水紋參數(shù)化數(shù)學(xué)模型建立

二方連續(xù)云水紋參數(shù)化數(shù)學(xué)模型的建立過程，通過系統(tǒng)架構(gòu)圖（圖2）進(jìn)行總體展示。首先，把云水紋拆解成多條獨(dú)立的曲線，只要建立單根曲線的數(shù)學(xué)模型，即可通過復(fù)制曲線、參數(shù)調(diào)整和多根曲線拼合的方式來生成參數(shù)化云水紋數(shù)學(xué)模型。而建立單根曲線數(shù)學(xué)模型的總體思路是把曲線用三角函數(shù)進(jìn)行表達(dá)。

圖2 （圖片來源于作者)

（一）二方連續(xù)云水紋數(shù)學(xué)模型

研究要求把二方連續(xù)云水紋拆解成多條形狀相似的曲線，并把單個(gè)曲線用三角函數(shù)表示。作者試圖建立一個(gè)三角函數(shù)模型，涵蓋拆解后的所有曲線的表達(dá)，即通過改變函數(shù)模型的變量來生成不同形狀的曲線，再把這些曲線組合成一個(gè)豎向的二方連續(xù)云水紋。該三角函數(shù)在笛卡爾坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：y=b sin(ax)+cx。其中，a調(diào)節(jié)曲線圖案總體寬度（Width），b調(diào)節(jié)曲線圖案總體長度（Length），c為曲線兩個(gè)端點(diǎn)的錯(cuò)位程度，在數(shù)學(xué)模型中表達(dá)為曲線的梯度（Gradient）。通過這種方式得到的曲線圖像法表達(dá)如圖3所示（x∈[0,∞)）。[2](P9)得到的函數(shù)圖像順時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)90°即是云水紋單線的形態(tài)。

圖3 （圖片來源于作者)

（二）建立雙曲線二方連續(xù)云水紋數(shù)學(xué)模型

在a（Width）和c（Gradient）的值固定的情況下，通過對變量b（Length）值進(jìn)行調(diào)整。在同一個(gè)笛卡爾坐標(biāo)系內(nèi)，在a和c分別為2.5和2.8的固定情形下，b的值輸入4.888和9，可以得到兩條形狀不同的曲線，組合后的圖形即為僅有兩根曲線的最簡單形態(tài)的二方連續(xù)水云紋（圖4）。

（三）多曲線云水紋數(shù)學(xué)模型

仍然固定a和c的值，當(dāng)b值分別為4.888、9和13，可以得到三條不同傾角的曲線。組合后的圖案相比圖4，結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，形態(tài)也更加優(yōu)美（圖5）。

圖4 （圖片來源于作者)

在圖5三角函數(shù)模型的基礎(chǔ)上，增大c值來增加函數(shù)圖像梯度，生成的圖像如圖6所示。曲線造型與之前相比更加舒展和飄逸，擴(kuò)展了數(shù)字化云水紋的形態(tài)范圍，給予了設(shè)計(jì)師更多的選擇余地。

圖5 （圖片來源于作者)

圖6 （圖片來源于作者)

五、隨機(jī)形態(tài)的二方連續(xù)云水紋參數(shù)化數(shù)學(xué)模型建立

至此，研究已經(jīng)建立了能夠模擬多種結(jié)構(gòu)的二方連續(xù)云水紋的參數(shù)化數(shù)學(xué)模型，但在實(shí)際的設(shè)計(jì)應(yīng)用層面，設(shè)計(jì)師廣泛采用的云水紋單體的“長度”（Length，前文有解釋）并非固定，而是富有較大變化。為了滿足這一要求，研究嘗試在上述已有的數(shù)學(xué)模型中引入數(shù)學(xué)中的隨機(jī)變量的概念，以求云水紋單體造型各異，各單體銜接而成的二方連續(xù)云水紋形態(tài)更具變化。

（一）隨機(jī)形態(tài)的云水紋模型

對比上一節(jié)中的數(shù)學(xué)模型y=b sin(ax)+cx，在此將固定的長度參數(shù)b替換為一組獨(dú)立的隨機(jī)變量序列{bn:n≥1}。其每一個(gè)取值bn代表著對于特定的a和c，在第n個(gè)固定的周期范圍內(nèi)的長度參數(shù)的取值。隨機(jī)變量序列{bn}的取值范圍可以根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行規(guī)定。

如此，可以通過一系列數(shù)學(xué)計(jì)算推導(dǎo)，得到如下隨機(jī)化的二方連續(xù)云水紋數(shù)學(xué)模型：

和前述數(shù)學(xué)模型相比，a依然調(diào)節(jié)曲線圖案總體寬度（Width），c也依舊表達(dá)為曲線的梯度（Gradient）。如果賦予隨機(jī)變數(shù)序列{bn:1≤n≤10}一組值{13，11.4，5.8，5，9.8，9，6.6，12.2，8.2，7.4}，則基于上述模型可以得到如圖7云水紋模擬形態(tài)。

圖7 （圖片來源于作者)

可見云水紋的波動(dòng)長度——即云水紋單體長度表現(xiàn)出了隨機(jī)性，相比前文單體形態(tài)固定的云水紋造型，新的形態(tài)整體更富變化，且顯得自然靈動(dòng)。

（二）隨機(jī)化的復(fù)雜結(jié)構(gòu)云水紋模型

類比于文章4.3節(jié)，仍然固定a和c的值，取多組不同的隨機(jī)變量{bn:n≥1}，得到三條不同的隨機(jī)形態(tài)的曲線。組合后的圖案即新的二方連續(xù)云水紋形態(tài)自然（圖8），滿足了部分設(shè)計(jì)應(yīng)用層面對云水紋的造型要求。

圖8 （圖片來源于作者)

六、總結(jié)

二方連續(xù)云水紋這一古老裝飾紋樣，歷經(jīng)千年演變，形態(tài)優(yōu)美，內(nèi)涵豐富，被廣泛運(yùn)用在包括繪畫、器皿裝飾、產(chǎn)品設(shè)計(jì)等不同領(lǐng)域。在當(dāng)今這個(gè)數(shù)字化設(shè)計(jì)大行其道的時(shí)代，需要一種方法對二方連續(xù)云水紋進(jìn)行數(shù)字化生成，以此來為包括平面設(shè)計(jì)、服裝設(shè)計(jì)、壁畫藝術(shù)等在內(nèi)的各個(gè)藝術(shù)設(shè)計(jì)方向提供一種可用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字編輯的二方連續(xù)云水紋生成方式。

本文首先把二方連續(xù)云水紋拆解成為曲線的集合，借助數(shù)學(xué)手段，通過一個(gè)三角函數(shù)表達(dá)式，采用圖像法對單根曲線進(jìn)行表達(dá)。并通過函數(shù)表達(dá)式中變量的調(diào)節(jié)，以此來達(dá)到改變曲線形態(tài)的目的。不同形態(tài)的曲線可以組合成為造型各異的云水紋。至此，一種可控形狀和大小的數(shù)字化二方連續(xù)云水紋終于誕生。更進(jìn)一步，為了模擬單體形態(tài)變化的云水紋圖案，滿足更廣泛的社會(huì)需求，研究在已有的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)變量這一數(shù)學(xué)概念，使得云水紋單體長度各異，因而生成的云水紋造型更富變化，形態(tài)也更顯自然。由于我國對中國傳統(tǒng)文化的不斷重視以及對于數(shù)字化紋樣的強(qiáng)烈需求，在未來的平面設(shè)計(jì)、壁畫設(shè)計(jì)、服裝設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)、裝置設(shè)計(jì)等不同領(lǐng)域，數(shù)字化的二方連續(xù)云水紋定會(huì)有一定的需求空間。