具有第二類脈沖寬度調(diào)制隨機(jī)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

蘭德新，葉麗霞

(武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,中國 武夷山 354300)

近年來，脈沖寬度調(diào)制被廣泛地應(yīng)用于電流控制、信號(hào)處理及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等系統(tǒng)的許多領(lǐng)域中[1-7]。尤其是加入隨機(jī)干擾的脈沖寬度調(diào)制反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究，已受到許多學(xué)者的關(guān)注，文獻(xiàn)[8-15]詳細(xì)介紹脈沖寬度調(diào)制反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的相關(guān)研究結(jié)果。文獻(xiàn)[9]利用李雅普諾夫函數(shù)、隨機(jī)分析法和廣義積分算子不等式，研究了具有馬爾科夫切換和時(shí)滯的隨機(jī)微分方程的p方指數(shù)穩(wěn)定性問題，文獻(xiàn)[12]利用李雅普諾夫函數(shù)和伊藤積分，研究了一類具有第一類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定性問題并取得相關(guān)結(jié)果。目前，對(duì)于脈沖寬度調(diào)制反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究大多涉及第一類脈沖寬度調(diào)制，對(duì)第二類脈沖寬度調(diào)制反饋系統(tǒng)研究的比較少。在文獻(xiàn)[14]中，作者研究第二類脈沖寬度調(diào)制反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并建立相應(yīng)的理論結(jié)果，其結(jié)果顯示第二類脈沖寬度調(diào)制反饋系統(tǒng)趨于平衡點(diǎn)的速度快于具有第一類脈沖寬度調(diào)制的反饋系統(tǒng)。

本文在文獻(xiàn)[14]的基礎(chǔ)上，加入隨機(jī)干擾，利用李雅普諾夫函數(shù)，線性矩陣不等式和伊藤積分法，研究了具有第二類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)的p方指數(shù)穩(wěn)定性問題，給出這類系統(tǒng)p方指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件，并通過合理選擇脈沖寬度調(diào)制參數(shù)的最大上界，使該系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。同時(shí)用兩個(gè)具體實(shí)例說明這類系統(tǒng)具有更強(qiáng)的抗干擾能力且趨于平衡點(diǎn)的速度快于具有第一類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)。

1 預(yù)備知識(shí)

令(Ω,F,P)表示一概率空間，Rn表示n維歐氏空間，對(duì)?x∈Rn，定義x∈Rn:Ω→X?Rn上的可測(cè)函數(shù)。令I(lǐng)表示一指標(biāo)集，對(duì)?t∈I，定義X(t)為(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量，則{x(t),t∈I}表示一隨機(jī)過程。

考慮如下的隨機(jī)系統(tǒng)，其流程如圖1所示。

圖1 隨機(jī)系統(tǒng)的流程圖Fig. 1 Block diagram of stochastic systems

定義隨機(jī)系統(tǒng)的第二類脈沖寬度調(diào)制的輸出函數(shù)為

(1)

其中e(t)=r(t)-y(t)，r(t)表示激勵(lì)輸入，y(t) 表示系統(tǒng)輸出,k=1,2,…，Tk表示脈沖寬度，sgn表示符號(hào)函數(shù)。定義脈沖寬度Tk和符號(hào)函數(shù)sgn為

(2)

其中T為樣本周期,M為脈沖的振幅，β為常數(shù)，若Tk不存在，則令Tk=T。

本文總假設(shè)r(t)≡0，記第二類脈沖寬度調(diào)制的脈沖寬度Tk在采樣時(shí)刻kT取決于錯(cuò)誤信號(hào)：

則具有第二類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)被描述為

(3)

其中x∈Rn，y∈R，u∈R表示脈沖寬度調(diào)制的輸出，A,B,C和G表示相同維數(shù)的矩陣，W(t)表示維納過程。注意到x(t)=0是隨機(jī)系統(tǒng)(3)的一個(gè)平衡點(diǎn)。

下面給出相關(guān)的定義和引理。

定義1[12]設(shè){T,X,A,S}為一隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，記d是域X上的測(cè)度，M?A，t0∈T，a是初始狀態(tài)，

(1)如果對(duì)?ε>0，?δ=δ(t0,ε)和常數(shù)β>0，k>1，使得當(dāng)d(a,M)<δ時(shí)，對(duì)?x(·,·,a,t0)∈S都有E[d(x(t,ω,a,t0),M)p]

(2)如果上述δ不依賴于t0，則稱(S,M)是p方一致指數(shù)穩(wěn)定的；

(3)如果對(duì)?ε>0，?δ=δ(ε)>0，τ=τ(ε)，使得對(duì)?x(·,·,a,t0)∈S，?t>t0+τ,當(dāng)d(a,M)<δ時(shí),有E[d(x(t,ω,a,t0),M)p]

引理1[13]假設(shè)W(t)是一維納過程。如果φ(t,ω)是有界的初等函數(shù),則

(4)

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)隨機(jī)系統(tǒng)(3)中的矩陣A是赫茲穩(wěn)定的，且滿足下列條件：

(1)-MβCB<1；

則隨機(jī)系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)xe=0處達(dá)到p(p∈Z+)方指數(shù)穩(wěn)定。

先證明當(dāng)p=2時(shí)，定理1結(jié)論成立。

首先由隨機(jī)系統(tǒng)(3)的兩邊積分得

(5)

所以當(dāng)t=kT+Tk時(shí)有

其中：Tk=β|Cx(kT+Tk)|，

因此

(6)

再由隨機(jī)系統(tǒng) (3)兩邊從sk-1到kT積分得

(7)

即

(8)

[I+MβW(Tk)]Z(sk)=eATZ(sk-1)+h(sk)。

(9)

由條件Mβ滿足-MβCB<1，可推得I+MβW(Tk)是正定矩陣，由此說明式(7)有意義。

其次，令二次李雅普諾夫函數(shù)V:Rn→R+，V(Z)=ZT(P-I)Z，其中正定矩陣P滿足(P-I)是正定的和P=(e-AT)T(P-I)(e-AT)。

因此，當(dāng)t∈[sk-1,sk]有

?E[V(x(t))]=E[V(Z(sk))]-E[V(Z(sk-1))]=

E[ZT(sk)(P-I)Z(sk)]-E[ZT(sk-1)(P-I)Z(sk-1)]=

E[ZT(sk)(-I-Mβ(PW(Tk)+WT(Tk)P)-M2β2WT(Tk)PW(Tk))Z(sk)]+

MβE[hT(sk)PW(Tk)Z(sk)+ZT(sk)WT(Tk)Ph(sk)]-E[hT(sk)Ph(sk)]。

(10)

記Φ(Tk,Mβ)=I+MβG1(Tk)+M2β2G2(Tk)，G1(Tk)=WT(Tk)P+PW(Tk)，G2(Tk)=WT(Tk)PW(Tk)。

則式(10)簡(jiǎn)化為

?E[V(x(t))]=-E[ZT(sk)Φ(Tk,Mβ)Z(sk)]+MβE[ZT(sk)WT(Tk)Ph(sk)+

hT(sk)PW(Tk)Z(sk)]+E[hT(sk)Ph(sk)]，

(11)

結(jié)合條件(1)中θMβ>0，可以得到Φ(Tk,Mβ)是正定矩陣。

接下來估計(jì)h(sk)。即證明對(duì)?μ>0，存在δ>0，當(dāng)‖G‖<δ時(shí),有

E[‖h(sk)‖2]<μE[‖Z(sk)‖2]。

因?yàn)楫?dāng)t∈[sk-1,sk]時(shí)，得

(12)

(13)

注意到

(14)

由引理1即得

而式(14)簡(jiǎn)化為

其中K0=I+M2β2‖B‖2‖C‖2。

再由Gronwall不等式得

E[‖x(t)‖2]≤4K0e-(‖A‖2+‖G‖2)TE[‖x(sk)‖2]。

(15)

因此

4K0K1e-(‖A‖2+‖G‖2)T‖G‖2E[‖x(sk)‖2]≤K‖G‖2e-‖G‖2TE[‖x(sk)‖2]，

(16)

結(jié)合條件(2)可以得到

E[‖h(sk)‖2]≤μE[‖Z(sk)‖2]。

(17)

又因?yàn)楫?dāng)t∈[sk-1,sk]可得

其中λm(·)和λM(·)分別為矩陣的最小特征值和最大特征值。即：

(18)

注意到

V(x(0))=xT(0)(P-I)x(0)≤‖P-I‖‖x(0)‖2=‖P-I‖‖a‖2，

其中a=x(0)為初始值。

所以當(dāng)t∈[0,s0]時(shí),則E[V(s0)]≤E[V(x(0)]=‖P-I‖‖a‖2,當(dāng)t∈[sk-1,sk]時(shí)，得到

(19)

注意到E[V(x(t))]≥λM(P-I)E[‖x(t)‖2],由此得到

(20)

因此，由定義1知當(dāng)p=2時(shí)，隨機(jī)系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)xe=0處是均方一致穩(wěn)定的。

接下來證明該隨機(jī)系統(tǒng)(3)是p方指數(shù)穩(wěn)定的。

令p=2q,q≥1,則

E[V(Z(sk))q]-E[V(Z(sk-1))q]=

E[(V(Z(sk))-V(Z(sk-1)))V(Z(sk))q-1+…+V(Z(sk-1))q-1]≤

所以

因此當(dāng)t∈(sk-1,sk)時(shí),可以得到

類似地，可以得到

因此由定義1知p為偶數(shù)時(shí)，隨機(jī)系統(tǒng)(3)是p方指數(shù)穩(wěn)定的。類似地，可以證明,當(dāng)p為奇數(shù)時(shí),該結(jié)論也是成立的。

所以，對(duì)于?p∈Z+定理1成立。

注1 本文考慮隨機(jī)系統(tǒng)的p方指數(shù)穩(wěn)定，且該隨機(jī)系統(tǒng)的解趨于平衡點(diǎn)的速度快于具有第一類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)。隨機(jī)系統(tǒng)的解的變化情況在圖3中顯示。

推論1 假設(shè)A是赫茲穩(wěn)定的，如果CB>0，且隨機(jī)系統(tǒng)的輸出y(t)與狀態(tài)變量x(t)線性相關(guān)。則當(dāng)干擾足夠小，脈沖寬度調(diào)制參數(shù)Mβ的最大上界達(dá)到足夠大時(shí)，隨機(jī)系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)xe=0處是p(p∈Z+)方指數(shù)穩(wěn)定。

注2 當(dāng)B是正向量,C是負(fù)向量,且Mβ上界足夠小,則隨機(jī)系統(tǒng)(3)將具有很強(qiáng)的抗干擾能力。

3 數(shù)值仿真

本文給出了一些數(shù)值例子，說明了本文的理論結(jié)果，并給出了推導(dǎo)結(jié)果的創(chuàng)新點(diǎn)。

因此，可以計(jì)算定理3.1中所涉及的量W(Tk)，P，G1(Tk)和G2(Tk)，經(jīng)計(jì)算得

不妨設(shè)c=1，則Mβ∈(0,+∞)。

又因?yàn)棣?δmax，

所以

經(jīng)計(jì)算得δmax=0.316。

下面應(yīng)用Matlab軟件作出圖2，并用圖2來描述‖G‖的最大上界的估計(jì)值δmax與Mβ之間的關(guān)系。從圖2中可以看到δmax隨Mβ的增大而減小，并且當(dāng)狀態(tài)變量遠(yuǎn)離原點(diǎn)直至Tk=T時(shí)，脈沖寬度調(diào)制的輸出為+M或-M。因此，對(duì)給定的β，隨著M的增加，允許確保系統(tǒng)p方指數(shù)穩(wěn)定的最大干擾量δmax將減小，即如果隨機(jī)系統(tǒng)(3)的干擾量增加(小于δmax)，則可以通過減小M的值來保證該系統(tǒng)是p方指數(shù)穩(wěn)定的，具體變化情況如圖2所示。

圖2 估計(jì)值δmax與Mβ之間的關(guān)系Fig. 2 Upper bounds for‖G‖whenMβ∈(0,+∞)

如果c=1，而Mβ∈(0,1)，則計(jì)算得‖G‖∈(0,+∞)，這說明具有第二類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)具有很強(qiáng)的抗干擾性。

圖3 例2中的具有第二類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)的樣本點(diǎn)Fig. 3 Sample response of PWM feedback system with type 2 in Example 2

圖4 例2中的具有第二類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)的樣本點(diǎn)Fig. 4 Sample response of PWM feedback system with type 1 in Example 2

從圖3顯示當(dāng)時(shí)間t≥3時(shí)，該系統(tǒng)的通解將趨于平衡點(diǎn)。從圖4顯示當(dāng)時(shí)間t≥5時(shí)，該系統(tǒng)的通解將趨于平衡點(diǎn)。雖然這兩類隨機(jī)系統(tǒng)的脈沖寬度調(diào)制參數(shù)的最大上界相近，但從圖3和圖4中可觀察到具有第二類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)的通解趨于平衡點(diǎn)的速度快于具有第一類脈沖寬度調(diào)制的隨機(jī)系統(tǒng)。

本文第一個(gè)實(shí)例考慮隨機(jī)系統(tǒng)(3)狀態(tài)空間為A=-1,B=1,C=c,周期為T=1，即一階微分方程模型：

根據(jù)定理1的結(jié)論，計(jì)算出當(dāng)該系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)參數(shù)Mβ的取值范圍，并用Matlab軟件作出隨機(jī)干擾系數(shù)‖G‖的最大上界的估計(jì)值δmax與Mβ之間的關(guān)系圖，并分析它們之間的變化情況。本文第二個(gè)實(shí)例考慮隨機(jī)系統(tǒng)(3)為二階微分方程模型：

應(yīng)用Matlab軟件分別作出具有相同參數(shù)和相同初始值下的第一類脈沖寬度調(diào)制隨機(jī)系統(tǒng)和第二類脈沖寬度調(diào)制隨機(jī)系統(tǒng)的解的變化情況，有力說明第二類脈沖寬度調(diào)制隨機(jī)系統(tǒng)具有強(qiáng)抗干擾和較快趨于平衡點(diǎn)的優(yōu)勢(shì)。