機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)及其公差設(shè)計(jì)方法*

樊 嘉，鄭華林，何 勇，米 良，胡 騰

（1.西南石油大學(xué)，成都 610500；2.石油天然氣裝備技術(shù)四川省科技資源共享服務(wù)平臺(tái)，成都 610500；3.中國(guó)石油集團(tuán)川慶鉆探培訓(xùn)中心，成都 610213；4.中國(guó)工程物理研究院機(jī)械制造工藝研究所，綿陽(yáng) 621900）

數(shù)控機(jī)床作為“工業(yè)母機(jī)”，其加工精度已成為最重要的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)之一[1]。已有研究表明[2-3]，在幾何誤差、伺服誤差、熱誤差和刀具磨損等眾多因素中，幾何所致空間誤差是影響加工精度最直接的因素之一。目前，研究揭示加工精度與機(jī)床幾何誤差元素之間的復(fù)雜映射關(guān)系，探索機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)及其公差設(shè)計(jì)方法已成為數(shù)控機(jī)床精度分析領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，其解決對(duì)于實(shí)現(xiàn)加工精度“硬補(bǔ)償”具有較顯著的理論及工程技術(shù)支撐作用。

現(xiàn)階段，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者針對(duì)關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)進(jìn)行了較深入的研究。Cheng等[4]提出了一種基于螺旋理論和Morris法的全局靈敏度分析方法，最終識(shí)別出對(duì)空間誤差影響較大的關(guān)鍵幾何誤差元素。張根保等[5]利用多體系統(tǒng)理論建立了機(jī)床的空間誤差模型，通過計(jì)算并比較各幾何誤差元素的影響因子，識(shí)別出影響機(jī)床空間誤差的關(guān)鍵幾何誤差元素。唐宇航等[6]提出了一種基于蒙特卡洛模擬的靈敏度分析方法，在建立加工中心誤差生成模型和S試件數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行全局靈敏度分析，最終獲得對(duì)S試件z向加工誤差影響最大的5項(xiàng)誤差元素。黃克[7]在幾何誤差模型的基礎(chǔ)上定性分析了幾何誤差元素對(duì)NAS979圓錐臺(tái)試件和S試件加工精度的影響程度。在機(jī)床幾何誤差元素公差設(shè)計(jì)方面，Rao等[8]提出了一個(gè)成本-公差關(guān)系的非線性優(yōu)化模型，是基于總制造成本最小的同時(shí)選擇設(shè)計(jì)和制造公差的綜合方法。Cai等[9]提出一種同時(shí)考慮可靠性和魯棒性的零件幾何精度分配方法，用來提高在一定設(shè)計(jì)要求下的加工精度保持性。胡西彪等[10]在考慮了加工時(shí)間、夾具和刀具磨損等因素的情況下提出了一種新的多目標(biāo)公差優(yōu)化模型。

不難看出，現(xiàn)有研究還存在一定的局限性，一方面是對(duì)關(guān)鍵幾何誤差元素的辨識(shí)大多還停留在空間誤差上，未能在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步上升到對(duì)工件加工精度的關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)上；另一方面是現(xiàn)有研究在關(guān)鍵幾何誤差元素與公差設(shè)計(jì)兩者相結(jié)合方面鮮有報(bào)道。故針對(duì)上述問題，本研究將對(duì)影響工件加工精度較大的幾何誤差元素，即關(guān)鍵幾何誤差元素進(jìn)行辨識(shí)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行公差設(shè)計(jì)。

為此，以某三軸立式加工中心為研究對(duì)象，提出機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)及其公差設(shè)計(jì)方法。以基于螺旋理論的機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)分析為基礎(chǔ)，以NAS試件幾何特征的平面度和圓度為典型加工精度指標(biāo)，采用最小區(qū)域法推導(dǎo)構(gòu)建考慮機(jī)床空間誤差的加工精度評(píng)估模型；在此基礎(chǔ)上，聯(lián)合正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，計(jì)算不同幾何誤差元素組合下加工精度評(píng)估值，并應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素進(jìn)行辨識(shí)，最終將機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素公差設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為以機(jī)床生產(chǎn)成本最小為目標(biāo)的優(yōu)化問題并求解，從而獲取關(guān)鍵幾何誤差元素最優(yōu)公差。

基于螺旋理論的機(jī)床空間誤差建模

典型三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)示意如圖1所示。由文獻(xiàn)[11]可知，該機(jī)床作三軸聯(lián)動(dòng)時(shí)將產(chǎn)生如表1所示的21項(xiàng)幾何誤差元素，各元素定義與文獻(xiàn)[11]一致。

表1 三軸機(jī)床幾何誤差元素Table 1 Geometric error elements of three-axis machine tools

從多體系統(tǒng)理論的視角出發(fā)，圖1所示機(jī)床的運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)淇蓜澐譃楣ぜ\(yùn)動(dòng)鏈和刀具運(yùn)動(dòng)鏈。其中，工件運(yùn)動(dòng)鏈由床身、Y軸、X軸和工件組成；刀具運(yùn)動(dòng)鏈則由床身、Z軸和刀具構(gòu)成。如圖2所示，grw、grt分別為工件和刀具運(yùn)動(dòng)鏈末端運(yùn)動(dòng)特征，gwt表示以工件坐標(biāo)系為基準(zhǔn)的耦合運(yùn)動(dòng)鏈末端運(yùn)動(dòng)特征。依據(jù)空間誤差定義[12]則有：

圖1 三軸立式加工中心結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Structure diagram of a vertical machining center

圖2 機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)銯ig.2 Topological diagram of machine tool kinematic chains

式中，E表示機(jī)床的空間誤差，分別表示刀尖點(diǎn)相對(duì)于工件坐標(biāo)系在實(shí)際和理想情況下的運(yùn)動(dòng)特征。

基于螺旋理論[13]推導(dǎo)構(gòu)建機(jī)床空間誤差矩陣，并通過提取其第3～4列求得刀尖點(diǎn)相對(duì)于工件坐標(biāo)系的空間姿態(tài)誤差Eo與空間位置誤差Ep，即

根據(jù)三軸機(jī)床姿態(tài)空間誤差的不可補(bǔ)償性[14]，Eo對(duì)加工精度的影響可暫不考慮。式（2）和（3）中下角標(biāo)x、y、z分別表示空間誤差X、Y、Z向分量，且：

式中，等號(hào)右邊變量x、y、z分別表示刀尖點(diǎn)在工件坐標(biāo)系OwXwYwZw下的名義坐標(biāo)；變量xt、yt、zt分別為刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)Ot在機(jī)床基準(zhǔn)坐標(biāo)系OrXrYrZr下的坐標(biāo)。

利用構(gòu)建所得機(jī)床空間誤差即可開展加工精度預(yù)估及其關(guān)鍵影響元素的辨識(shí)研究，并在此基礎(chǔ)上對(duì)辨識(shí)結(jié)果進(jìn)行公差設(shè)計(jì)，進(jìn)而繪制圖3所示的機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)及公差設(shè)計(jì)技術(shù)路線。

圖3 總體技術(shù)路線Fig.3 Flow chart of overall techniques

考慮空間誤差的機(jī)床加工精度評(píng)估與驗(yàn)證

1 加工精度評(píng)估建模

如圖4所示，NAS979標(biāo)準(zhǔn)試件常被用于三軸機(jī)床的精度檢驗(yàn)[15]，現(xiàn)選取表2[15]中平面度和圓度兩個(gè)加工精度指標(biāo)為對(duì)象，系統(tǒng)評(píng)估機(jī)床在空間誤差作用下的加工精度。

表2 NAS979 試件檢驗(yàn)項(xiàng)目及允差Table 2 Inspection items and tolerance of NAS979 specimen

圖4 NAS979 試件Fig.4 NAS979 specimen

以平面度為例，首先在商業(yè)CAM環(huán)境下對(duì)切削平面A進(jìn)行加工仿真，可得其評(píng)價(jià)點(diǎn)位，如圖5所示，進(jìn)而采用最小區(qū)域法進(jìn)行定量評(píng)估。

由于機(jī)床空間誤差的存在，切削成形點(diǎn)理想位置Pi（xi，yi，zi）與其實(shí)際位置Pa（xa，ya，za）并不重合，且有[13]：

一般地，三維空間直角坐標(biāo)系中任一平面方程可表征為：

式中，A、B、C、D為空間平面的方程系數(shù)，故實(shí)際加工空間中任意一點(diǎn)Pj（xj，yj，zj）到該平面的距離為：

由平面度誤差定義可知，其最小區(qū)域是指包容實(shí)際表面且法向距離最短的兩平行平面之間的區(qū)域。據(jù)此，可將平面度的評(píng)估求解問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題[16]：

式中，F(xiàn)為設(shè)計(jì)變量；dj為點(diǎn)到平面的距離，經(jīng)優(yōu)化求解得到一組最優(yōu)設(shè)計(jì)變量，其對(duì)應(yīng)Ferr即為平面度誤差。圓度的評(píng)估也可遵循上述方法。

2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為實(shí)現(xiàn)獨(dú)立、有效驗(yàn)證幾何因素所致機(jī)床空間誤差對(duì)加工精度的影響，提出基于激光干涉儀的加工精度間接驗(yàn)證策略及實(shí)施技術(shù)，以消減切削熱、切削力等因素對(duì)測(cè)試結(jié)果的干擾。以平面度為例，詳細(xì)步驟如下。

Step1：在恒溫環(huán)境下（20± 0.5℃），利用與圖2所示運(yùn)動(dòng)鏈拓?fù)湎嗤腏1VMC400B型立式加工中心，構(gòu)建如圖6所示的試驗(yàn)平臺(tái)。

圖6 試驗(yàn)平臺(tái)Fig.6 Experimental platform

Step2：借助Renishaw XL-80激光干涉儀在空載條件下測(cè)量機(jī)床各進(jìn)給軸運(yùn)動(dòng)偏差Epk_exp（k=x、y、z），且各進(jìn)給軸運(yùn)動(dòng)偏差數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)與圖5所示平面A上選取的評(píng)價(jià)點(diǎn)空間坐標(biāo)重合。

圖5 平面A評(píng)價(jià)點(diǎn)位Fig.5 Evaluation points of plane A

Step3：利用測(cè)量所得運(yùn)動(dòng)偏差可推導(dǎo)評(píng)價(jià)點(diǎn)實(shí)際空間坐標(biāo)，并通過式（10）計(jì)算得平面度Ferr_exp。

Step4：基于“九線法”[17]辨識(shí)機(jī)床幾何誤差元素，并代入式（4）～（6）計(jì)算機(jī)床空間誤差各向分量Epk_cal，進(jìn)而再通過式（7）～（10）預(yù)估平面度Ferr_cal。

Step5：對(duì)比Ferr_exp與Ferr_cal，即可驗(yàn)證所提基于空間誤差的機(jī)床加工精度預(yù)估方法。

圖7為Epk_exp與Epk_cal對(duì)比，不難看出，各評(píng)價(jià)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)偏差測(cè)量值與預(yù)估值之間的平均誤差不超過2.5μm，表明第1節(jié)空間誤差建模的正確性。

圖7 評(píng)價(jià)點(diǎn)各向運(yùn)動(dòng)偏差Fig.7 Deviation of evaluation points in each direction

進(jìn)一步可得平面度誤差測(cè)量值Ferr_exp與預(yù)估值Ferr_cal分別為0.0040mm，0.0037mm，二者相對(duì)誤差為7.5%，說明所建加工精度預(yù)估模型精度較高，為下一步開展關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)奠定了較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)

1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

將機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差均視作影響加工精度指標(biāo)的因素，以平面度誤差為例，選擇正交表L54（325），并根據(jù)上述試驗(yàn)機(jī)床的幾何誤差元素值確定各水平取值，如表3所示。對(duì)于18項(xiàng)位置相關(guān)和3項(xiàng)位置無關(guān)的幾何誤差元素而言，給定水平值分別代表誤差元素的變動(dòng)范圍（即公差）和取值大小。進(jìn)而通過正交表科學(xué)安排各因素各水平，根據(jù)式（7）～（10）計(jì)算不同幾何誤差元素組合下的平面度誤差，結(jié)果如表4所示。

表4 正交試驗(yàn)結(jié)果Table 4 Results of orthogonal experiments

2 機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)

機(jī)床加工精度指標(biāo)與其幾何誤差元素之間存在復(fù)雜且差異顯著的映射關(guān)系，對(duì)任一加工精度指標(biāo)而言，各幾何誤差元素對(duì)其影響權(quán)重相異。為此，利用方差分析[18]等統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，分析各試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響程度，從而辨識(shí)影響加工精度的關(guān)鍵幾何誤差元素。值得說明的是，為判斷各因素的影響程度，常選取F0.05來判斷[19]，即若該因素F≥F0.05，則認(rèn)為該因素顯著，反之則不顯著。

以平面度為例，21項(xiàng)幾何誤差因素方差分析如表5所示。由文獻(xiàn)[19]可知，F(xiàn)0.05=3.98，故δzx、εxx、δzy、εxy、δzz、Sxz是影響平面度的關(guān)鍵幾何誤差元素。

表5 方差分析表Table 5 Analyses of variance table

3 關(guān)鍵幾何誤差元素?cái)?shù)值驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述辨識(shí)結(jié)果，基于前文所建加工精度評(píng)估模型制定如下數(shù)值驗(yàn)證策略。

Step1：將機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差元素取表3中的水平2的值，計(jì)算出該誤差下的平面度值。

Step2：將上面識(shí)別出的6項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素取值為0，其余幾何誤差元素取值為表3中的水平2的值，計(jì)算出該誤差下的平面度值。

表3 幾何誤差元素水平表Table 3 Geometric error elements level table

根據(jù)上述驗(yàn)證策略可計(jì)算出21項(xiàng)幾何誤差元素共同作用所致平面度誤差值為0.00397mm；除辨識(shí)所得6項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素外，其余幾何誤差元素所致平面度誤差為0.00037mm，后者比前者減少了90.68%，故δzx、εxx、δzy、εxy、δzz、Sxz是影響該平面度的關(guān)鍵幾何誤差元素。

同樣地，應(yīng)用上述辨識(shí)方法，可得到影響圓度指標(biāo)的關(guān)鍵幾何誤差元素，如表6所示。若綜合考慮以上兩個(gè)加工精度指標(biāo)，則該機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素總個(gè)數(shù)為12。

表6 加工精度辨識(shí)結(jié)果Table 6 Machining accuracy identification results

值得注意的是，當(dāng)帶入上述機(jī)床的幾何誤差元素值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可得到其平面度和圓度分別為0.00397mm和0.009731mm。而幾何誤差占影響機(jī)床加工精度的各類誤差約25%～35%[18]，取其中間值30%，可以發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)加工精度指標(biāo)均未小于表2中所要求允差的30%，不滿足要求，故有必要對(duì)幾何誤差元素進(jìn)行公差設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵幾何誤差元素公差設(shè)計(jì)

對(duì)所得關(guān)鍵幾何誤差元素進(jìn)行公差設(shè)計(jì)，其目的在于使零件加工不僅能滿足精度指標(biāo)，同時(shí)具備較好的經(jīng)濟(jì)性[20]。因此，從加工精度指標(biāo)達(dá)成、機(jī)床產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)性高兩個(gè)維度出發(fā)，可將機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素公差設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為一類以機(jī)床生產(chǎn)成本最小為目標(biāo)、關(guān)鍵幾何誤差元素為設(shè)計(jì)變量、加工精度允差及關(guān)鍵幾何誤差元素取值范圍為約束條件的優(yōu)化問題，通過搜索最優(yōu)設(shè)計(jì)變量值，達(dá)到生產(chǎn)出的機(jī)床在滿足加工精度的條件下其生產(chǎn)成本盡可能少的目標(biāo)。根據(jù)我國(guó)中型機(jī)械類企業(yè)中等批量加工的成本公差模型[21]，建立如下目標(biāo)函數(shù)：

式中，W為生產(chǎn)成本；T為設(shè)計(jì)變量；Ti為第i項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素公差值，為了方便說明，δxx、δyy、δzz、δyx、δzx、εxx、δxy、δzy、εxy、εzy、Sxy、Sxz分別表示為T1～T12。

由于還需要確保機(jī)床滿足加工精度，故可借助響應(yīng)面方法構(gòu)建關(guān)鍵幾何誤差元素與加工精度之間關(guān)系，最終可將平面度誤差顯式表達(dá)為機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素的函數(shù)，即

類似的，圓度Rerr的顯式表達(dá)式為，

結(jié)合式（11）～（13）可以建立本次公差設(shè)計(jì)的優(yōu)化模型為，

式中，Ec1與Ec2分別為平面度與圓度在表2中的允差值；P為幾何誤差占機(jī)床總誤差的比例，取P=30%；由于實(shí)際工藝水平的限制，各幾何誤差元素公差值存在約束范圍，所以為第i項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素上下邊界。

利用遺傳算法[20]對(duì)上述優(yōu)化模型進(jìn)行求解，最終可得滿足平面度和圓度指標(biāo)的各關(guān)鍵幾何誤差元素最優(yōu)公差值。將最優(yōu)公差與初始公差進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示，可以看出，關(guān)鍵幾何誤差元素最優(yōu)公差在原始公差的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一定的調(diào)整，其中δzz、δzx、εzy、Sxy、Sxz5項(xiàng)公差還得到了放寬。

圖8 原始公差與最優(yōu)公差對(duì)比Fig.8 Comparison of original tolerances and optimal tolerances

根據(jù)幾何誤差元素與機(jī)床零部件精度參數(shù)之間的關(guān)系[22]，并結(jié)合由GB/T 17587.3—2017以 及JB/T 7175.4—2006得到的絲杠和導(dǎo)軌的精度等級(jí)參數(shù)，可得機(jī)床零部件優(yōu)化前后的精度等級(jí)變化，其對(duì)比結(jié)果如表7所示?？梢钥闯觯?項(xiàng)零部件的精度等級(jí)被提高，還有2項(xiàng)零部件的精度等級(jí)被降低，從而使機(jī)床在滿足加工精度的條件下盡可能減少其生產(chǎn)成本。

表7 部件關(guān)鍵精度等級(jí)對(duì)比Table 7 Grades comparisons of key precisions of components

結(jié)論

（1）提出了一種機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素辨識(shí)方法，對(duì)影響加工精度指標(biāo)顯著的幾何誤差元素進(jìn)行了甄別。結(jié)果表明，影響平面度誤差的關(guān)鍵幾何誤差元素為：δzx、εxx、δzy、εxy、δzz、Sxz；影響圓度的關(guān)鍵幾何誤差元素為δxx、δyx、εxx、δxy、δyy、εxy、εzy、Sxy。

（2）建立了一種關(guān)鍵幾何誤差元素公差設(shè)計(jì)方法，針對(duì)影響平面度和圓度兩個(gè)加工精度指標(biāo)的12項(xiàng)關(guān)鍵幾何誤差元素進(jìn)行了公差設(shè)計(jì)。對(duì)比各誤差元素初始給定公差與最優(yōu)公差可以發(fā)現(xiàn)，后者相比前者進(jìn)行了一定的調(diào)整，其中，δzz、δzx、εzy、Sxy、Sxz5項(xiàng)公差還得到了放寬，所得關(guān)鍵幾何誤差元素公差設(shè)計(jì)結(jié)果不但可以保證加工精度指標(biāo)滿足要求，而且還能盡量縮減機(jī)床生產(chǎn)成本。