用常微分方程組逼近中一類立型微分差分方程組

何 洋

(滁州城市職業(yè)學院 基礎(chǔ)部，安徽 滁州 239000)

相關(guān)學者曾就微分方程組與微分差分方程組的穩(wěn)定性逼近問題進行研究[1-2]，在此基礎(chǔ)上，有關(guān)學者研究常微分方程組與一類中立型微分差分方程組的穩(wěn)定性逼近問題[3-5]，研究結(jié)果顯示方程組漸近穩(wěn)定性逼近過程中，對帶有兩個滯量(c)以上的一類中立型微分方程解的研究更不多見，滯量存在充分必要條件.以上研究基礎(chǔ)均為方程組內(nèi)常數(shù)相加所得結(jié)果小于0，對于方程組內(nèi)常數(shù)相加所得結(jié)果等于0，即第一臨界條件下方程組漸近穩(wěn)定性逼近過程中滯量的充分必要條件研究較為鮮見[6].因此，用常微分方程組逼近一類中立型微分差分方程組的方法，由兩種不同角度出發(fā)研究滯量的充分必要條件.

1 常微分方程組逼近中立型微分差分方程組方法

1.1 常微分方程組與中立型微分差分方程組間的穩(wěn)定性逼近

二階中立型時滯微分方程

{r(t)[x(t)+p(t)x(t-τ)r2m+1}′+q(t)x(g(t))=0,t≥t0

(1)

的有界解和所有解振動的充分條件,其中P(t)為非負整數(shù)0

定理A若g(t)≤t,g″(t)≥0,且以下條件成立：

(2)

(3)

則方程(1)的所有有界解是振動的.

定理B假設(shè)g(t)≥t,p′(t)≤0,0

(4)

成立,則方程(1)振動.

假設(shè)，00是兩個正奇數(shù)之比,則方程:

(5)

的每個解當t→∞的時趨于常數(shù)(滯量用c表示).

此時，將一類中立型時滯微分方程定義為：

(6)

在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建一類非線性中立型時滯微分方程為：

(7)

的漸近性,證明了 定理B如果:

(1)0≤c<1,τ>0；

(3)當x≤y，時F(t,x,y)≥0；

(4)當x>y，時F(t,x,y)≤0；

(5)對R中的任一緊區(qū)間I,存在L=L(I)≥0,使得:

|F(t,x,y)|≤L|x-y|,(x,y∈I,t≥0).

(8)

在此前提下，構(gòu)建新的一類中立型微分差分方程組為：

(9)

構(gòu)建其相應(yīng)的常微分方程組為：

(10)

式(9)與式(10)內(nèi)，a、b、c、t均為常數(shù)，r表示滯量.

在a值與b值相加所得結(jié)果小于0的條件下：

(11)

由式(11)得到在且僅在0≤r<Δ(a,b,c)的條件下，式(9)所示的一類中立型微分差分方程組的零解處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)，也就是式(6)所示的常微分方程組的零解漸進穩(wěn)定性能夠逼近式(9)所示的一類中立型微分差分方程組.

證明：

設(shè)定穩(wěn)定算子和滿足式(5)所示的一類中立型微分差分方程組零解為漸近穩(wěn)定的充分必要條件如式(12)和式(13)所示：

Dφ=φ(0)+cφ(-r),(|c|<1) ,

(12)

λeλr+cλ-acλr-b=0.

(13)

(14)

(1)在a絕對值大于b絕對值的條件下，設(shè)定A、B、C、D的值分別為1、-ar、c和-br，通過相同的運算過程能夠得到，在0≤r<+∞條件下，式(13)所示的特征方程的根都存在負實部，也就是式(9)所示的一類中立型微分差分方程組的零解處于漸近穩(wěn)定狀態(tài).

(2)在a絕對值小于b絕對值的條件下，設(shè)定A的平方值大于C的平方值、B的平方值小于D的平方值、A與C的和同B與D的和之間的乘積大于0，且K2=K3，通過求解K2=K3的值能夠獲取r取值范圍.

在0<τi<π(i=2,3)的條件下，τ2與τ3相加所得結(jié)果與π一致，根據(jù)K2=K3能夠得到：

(15)

設(shè)定：

(16)

(17)

基于式(15)和式(16)可將式(14)轉(zhuǎn)化為：

(18)

求解式(18)能夠得到：

(19)

轉(zhuǎn)換式(19)得到：

(20)

通過分析得到式(20)內(nèi)右側(cè)不等式成立[8]，求解左側(cè)不等式得到r符合：

(21)

針對式(13)所示的特征方程，設(shè)定A、B、C、D的值分別為1、-a、c和-b，將所設(shè)定各參數(shù)值帶入式(21)能夠得到：

(22)

根據(jù)τ2=π-τ3可得：

(23)

(3)在a絕對值等于b絕對值的條件下，a值與b值相加所得結(jié)果小于0.因此a值與b值相等，且a值小于0，在此條件下，式(13)所示的特征方程轉(zhuǎn)換為：

λeλr+aeλr+cλ-a=0.

(24)

若式(24)所示的特征方程存在純虛根[9]：λ=iy，y∈R，將其帶入式(24)所示的特征方程內(nèi)得到y(tǒng)值為0，也就是λ值為0，同時又可知λ值為0不是根；

若式(24)所示的特征方程存在正實部根[9]：λ=α+iβ，α>0，將其帶入式(24)所示的特征方程內(nèi)得到：

eλr|α-a+iβ|=|a-ca-i?β|.

(25)

考慮a值大于0，c的絕對值和a值分別小于1和0，因此能夠得到：

e2αr(a2+a2+β2-2αa)>a2+c2α2+c2β2-2acα.

(26)

由于式(26)具有矛盾性，因此在a絕對值等于b絕對值的條件下，式(9)所示的中立型微分差分方程組的特征方程均存在負實部，也就是在0

通過以上過程能夠得到a值與b值相加所得結(jié)果小于0的條件下，滯量符合充分必要條件時常微分方程組的漸近穩(wěn)定性能夠逼近中立型微分差分方程組.但在a值與b值相加所得結(jié)果為0的條件下，也就是第一臨界條件下[11]，常微分方程組的漸近穩(wěn)定性逼近中立型微分差分方程組時，滯量的充分必要條件估計尚不明確，因此，下文在相關(guān)學者研究成果基礎(chǔ)上，研究第一臨界條件下常微分方程組的漸近穩(wěn)定性逼近一類中立型微分差分方程組時，滯量需符合的充分必要條件.

1.2 第一臨界條件下滯量的充分必要條件

在a值與b值相加所得結(jié)果為0的條件下，設(shè)定：

(27)

由此得到在且僅在0≤r<Δ(a,c)的條件下，式(1)所示的一類中立型微分差分方程組的零解處于漸近穩(wěn)定狀態(tài)，也就是式(10)所示的常微分方程組的零解漸進穩(wěn)定性能夠逼近式(9)所示的中立型微分差分方程組.

證明：

1.充分條件證明

r值為0條件下的充分條件顯而易見[12]，在此無需特意描述.因此，以下由a值小于等于0和a值大于0兩種條件下分別進行滯量的充分條件證明.

(1)在a值小于等于0的條件下，由于全部r∈(0,+∞)，1-c-ar≠0，因此得到特征函數(shù)f(λ,eλr)的一個單零點可表示為λ0=λ0(r)≡0，現(xiàn)證明其剩余零點均處于開左半復平面.

利用λi=λi(r),i=1,2,…表示特征函數(shù)F(λ,eλr)的零點，通過分析得到其包含無限小的正數(shù)t0，通過t0可令全部r∈(0,t0)的零點均處于開左半復平面.

利用式(28)表示特征函數(shù)F(λ,eλr)的輔助函數(shù)：

(28)

簡化式(28)后基于Routh Hurwitz理論得到[13]，針對全部小于0的σ，簡化后的式(28)全部根均處于開左半復平面.由此能夠得到，在r∈(0,+∞)的條件下，F(xiàn)(λ,eλr)的零點均處于開左半復平面.這一結(jié)果說明特征函數(shù)除一單零點處于λ0=λ0(r)≡0外，剩余零點均處于開左半復平面，即式(5)所示的一類中立型微分差分方程組的零解均處于漸近穩(wěn)定狀態(tài).

(2)在a值大于0的條件下，特征函數(shù)包含無限小的正數(shù)t0，通過t0可令特征函數(shù)針對全部r∈(0,t0)的根均處于開左半復平面.

2.必要條件證明

a值小于等于0必要條件顯而易見，在此無需特意描述.因此以下由a值大于0的角度出發(fā)進行滯量的必要條件證明.

2 結(jié) 論

用常微分方程組逼近一類中立型微分差分方程組的方法，從中立型微分差分方程組內(nèi)常數(shù)相加所得結(jié)果小于0和等于0兩種條件下，分別研究常微分方程組的零解漸進穩(wěn)定性能夠逼近所示的一類中立型微分差分方程組時滯量的充分必要條件.所得結(jié)果顯示在常數(shù)相加所得結(jié)果小于0的條件下，特征方程均存在負實部；在常數(shù)相加所得結(jié)果等于0的條件下，特征方程的所有根均處于開左半復平面.