基于參數(shù)化建模的球桿儀安裝誤差與直線軸幾何誤差分離方法

何 坤, 何曉虎, 徐 凱 ，王時(shí)龍 ，廖承渝

(1.重慶工商大學(xué) 制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400067；2.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；3.重慶機(jī)床(集團(tuán))有限責(zé)任公司，重慶 401336)

1 問(wèn)題的描述

精度是評(píng)價(jià)多軸機(jī)床性能的重要指標(biāo)。隨著制造業(yè)對(duì)機(jī)床加工精度的要求日益提高，精密、便捷、高可靠性已成為機(jī)床精度檢測(cè)的重要發(fā)展趨勢(shì)[1-2]。球桿儀因其高精度、低成本等特點(diǎn)被廣泛用于多軸機(jī)床的精度檢測(cè)中[3-4]。

球桿儀在用于機(jī)床精度測(cè)試時(shí)，主要校驗(yàn)對(duì)象包括機(jī)床各軸的幾何誤差、軸間垂直度、伺服系統(tǒng)性能等，標(biāo)準(zhǔn)的檢測(cè)報(bào)告能夠直接展示圓度誤差、垂直度誤差、伺服性能等指標(biāo)。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者基于球桿儀進(jìn)行了針對(duì)機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差的辨識(shí)或標(biāo)定，充分發(fā)揮了球桿儀的性能[5-6]。TSUTSUMI等[7]提出了徑向、切向和軸向3種測(cè)量模式，對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的多項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行了辨識(shí)，該方法被眾多學(xué)者使用和推廣。在此基礎(chǔ)上，XIANG等[8]對(duì)雙轉(zhuǎn)臺(tái)的10項(xiàng)位置相關(guān)幾何誤差和8項(xiàng)位置無(wú)關(guān)誤差[9]進(jìn)行了辨識(shí)。FU等[10]針對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的幾何誤差提出了6圈法，通過(guò)6次安裝實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)臺(tái)幾何誤差辨識(shí)。此外，部分學(xué)者還基于球桿儀對(duì)機(jī)床直線軸的幾何誤差進(jìn)行評(píng)定或辨識(shí)。其中，ZHONG[11]基于球桿儀通過(guò)9次測(cè)量對(duì)五軸機(jī)床的體積精度進(jìn)行了評(píng)定，量化了機(jī)床直線軸幾何誤差的綜合結(jié)果。徐凱[12-13]、LASEMI[14]等在誤差模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)球桿儀圓弧軌跡測(cè)試直接對(duì)3個(gè)直線軸的位置相關(guān)幾何誤差進(jìn)行了辨識(shí)。

為使球桿儀的測(cè)量結(jié)果更準(zhǔn)確地反映機(jī)床的實(shí)際幾何誤差情況，測(cè)試過(guò)程中引入的安裝誤差需要被考慮及去除。如圖1所示，與固定在刀柄的工具杯相連的一端小球稱為刀具球，與固定在工作臺(tái)的磁力中心座相連的一端小球稱為工件球。在驅(qū)動(dòng)機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸前，需要通過(guò)設(shè)定球?qū)η驐U儀中心座定位。定位后，移動(dòng)刀具球至安裝位置，再將球桿儀兩端分別與中心座和刀具杯相連。

在以上過(guò)程中，中心座需要手動(dòng)標(biāo)定及鎖緊，安裝誤差難以避免。部分學(xué)者在使用球桿儀的誤差測(cè)試及辨識(shí)方法中常常將圓弧軌跡的偏心當(dāng)作球桿儀的安裝誤差進(jìn)行去除[14-15]。實(shí)際上，機(jī)床幾何誤差與球桿儀安裝誤差均會(huì)造成圓弧軌跡的偏心，簡(jiǎn)單地去除偏心將導(dǎo)致檢測(cè)結(jié)果失真，難以反映機(jī)床運(yùn)動(dòng)軸幾何誤差的真實(shí)情況。

目前，球桿儀的安裝誤差分離主要針對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的測(cè)量，一般需要借助量塊或千分表，以及輔助夾具對(duì)工具杯進(jìn)行多次校準(zhǔn)，以盡可能減小安裝誤差[8,16]。相比旋轉(zhuǎn)軸，直線軸的測(cè)量過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，可通過(guò)直接驅(qū)動(dòng)直線軸定位中心座的安裝位置。與旋轉(zhuǎn)軸測(cè)量不同，此時(shí)安裝誤差主要來(lái)源于中心座的鎖緊過(guò)程。而由于球桿儀主要用于評(píng)定直線軸的聯(lián)動(dòng)性能如伺服跟隨、垂直度、間隙等，安裝誤差對(duì)此類指標(biāo)影響較小，很少被關(guān)注。在近期的一些研究中，很多學(xué)者基于球桿儀對(duì)直線軸的幾何誤差進(jìn)行了測(cè)量與辨識(shí)[11-14]，在圓測(cè)試中需要獲得完全由幾何誤差引起的桿長(zhǎng)變化，此時(shí)必須考慮并去除球桿儀的安裝誤差。

為準(zhǔn)確測(cè)量機(jī)床的幾何誤差，提高測(cè)量及辨識(shí)精度，本文提出一種球桿儀安裝誤差與機(jī)床幾何誤差的分離方法。首先建立了包含球桿儀安裝誤差與機(jī)床各軸幾何誤差的桿長(zhǎng)變化綜合模型；其次，通過(guò)角度對(duì)直線軸的各項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行多項(xiàng)式參數(shù)化建模，構(gòu)建角度與球桿儀桿長(zhǎng)變化的模型；然后，通過(guò)修正幾何誤差參數(shù)化模型，實(shí)現(xiàn)球桿儀安裝誤差的分離；最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了分離方法的正確性，并基于所提方法對(duì)球桿儀實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行安裝誤差與幾何誤差的分離，提高球桿儀的測(cè)量精度。

2 包含安裝誤差與機(jī)床幾何誤差的球桿儀桿長(zhǎng)變化模型

在X、Y軸的聯(lián)動(dòng)圓弧測(cè)試中，根據(jù)剛體空間的六自由度理論，X軸、Y軸各存在6項(xiàng)獨(dú)立的位置相關(guān)幾何誤差。以X軸為例說(shuō)明，如圖2，分別為X向定位誤差δx(x)、Y向直線度誤差δy(x)、Z向直線度誤差δz(x)、繞X、Y、Z軸的滾轉(zhuǎn)誤差εx(x)、俯仰誤差εy(x)、偏擺誤差εz(x)，Y軸各項(xiàng)誤差定義與X軸類似[17]。垂直度誤差則視為12項(xiàng)誤差中的冗余誤差，不再單獨(dú)考慮[18-19]。而Z軸不參與運(yùn)動(dòng)，Z坐標(biāo)軸方向上的綜合誤差相對(duì)X、Y方向可以忽略，因此XY平面的圓弧測(cè)試可以直接簡(jiǎn)化為球桿儀的平面運(yùn)動(dòng)。

在XY平面中，rP0=(r,0,0)表示刀具球中心的初始位置矢量，r為球桿儀初始桿長(zhǎng)?？紤]實(shí)際情況下X軸與Y軸存在誤差，Tx、Ty、Txr、Tyr分別表示X、Y軸理論運(yùn)動(dòng)變換矩陣與實(shí)際運(yùn)動(dòng)變換矩陣，則球桿儀刀具球中心理論位置矢量rP和實(shí)際位置矢量rPr可表示為:

(1)

相應(yīng)地,刀具球中心理論與實(shí)際位置的誤差ΔXY如式(2)。

,

(2)

式(2)中Δx、Δy分別表示刀具球中心位置綜合誤差在X、Y軸方向的誤差分量，忽略高階小量，表達(dá)如下:

(3)

綜合誤差分量Δx、Δy由X、Y軸的多項(xiàng)幾何誤差共同組成，而由于X、Y軸的各項(xiàng)幾何誤差與其運(yùn)動(dòng)位置有關(guān)，理論上綜合誤差分量由X、Y的位置共同決定，XY平面內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)均對(duì)應(yīng)一組綜合誤差(Δx,Δy)。此外，球桿儀中心座的安裝誤差以相對(duì)理論圓心在X軸方向與Y軸方向的偏移形式呈現(xiàn)，記做(ex,ey)。綜合考慮球桿儀安裝誤差以及機(jī)床幾何誤差，如圖3所示，球桿儀桿長(zhǎng)變化Δr可以表示為:

(4)

展開化簡(jiǎn)并忽略高階誤差小量，可得:

(5)

3 安裝誤差與幾何誤差分離

3.1 幾何誤差的參數(shù)化建模

根據(jù)幾何誤差的位置相關(guān)特性，各幾何誤差項(xiàng)可以表示為相應(yīng)軸位置的函數(shù)[4-5]，通?？捎奢S位置的正交多項(xiàng)式表示，以X軸定位誤差δx(x)為例，可表達(dá)為：

(6)

原則上，較高的多項(xiàng)式階數(shù)能夠更準(zhǔn)確地表示各項(xiàng)誤差，但也易導(dǎo)致過(guò)擬合現(xiàn)象，且球桿儀測(cè)量的行程相對(duì)較短，標(biāo)準(zhǔn)桿長(zhǎng)下的測(cè)試范圍為-100～200 mm，通常3～4階多項(xiàng)式已足夠表示各項(xiàng)誤差[12，14]。區(qū)別于先獲得幾何誤差在各個(gè)位置處的數(shù)值，再使用多項(xiàng)式擬合的過(guò)程，本文在未知幾何誤差具體數(shù)值的前提下，使用3階多項(xiàng)式構(gòu)建X、Y軸的幾何誤差的多項(xiàng)式模型如式(7)和式 (8)所示：

(7)

(8)

其中ai、bi、ci、di、ei、fi為各個(gè)誤差多項(xiàng)式的待求系數(shù)，i=1, 2, 3，此過(guò)程即為幾何誤差的參數(shù)化建模。

將式(7)和式(8)代入式(3)，有:

(9)

球桿儀測(cè)量的理論軌跡為標(biāo)準(zhǔn)圓弧，因此軌跡上每點(diǎn)的理論坐標(biāo)(x，y)均可以由測(cè)量半徑r和運(yùn)動(dòng)角度θ表示；同時(shí)，設(shè)置各軸初始運(yùn)動(dòng)位置為零誤差參考點(diǎn)，則測(cè)量軌跡上各點(diǎn)理論坐標(biāo)相對(duì)初始運(yùn)動(dòng)位置可以表示為:

(10)

將式(9)和式(10)代入式(5)，展開可得：

(11)

(12)

基于最小二乘法求解可以獲得式(11)中系列K值，從式(12)中可以看出，K01項(xiàng)包含球桿儀X方向安裝誤差ex，可由K01、K02、K03、K04組合進(jìn)行求解；K10項(xiàng)包含了Y向安裝誤差ey，但其中待確定系數(shù)d1僅在K10中出現(xiàn)，原理上無(wú)法求解。

3.2 直線度參數(shù)化模型的修正

式(12)中安裝誤差的求解分析表明現(xiàn)有幾何誤差參數(shù)化模型必將造成球桿儀Y方向安裝誤差ey無(wú)法求解。因此，需要對(duì)幾何誤差的參數(shù)化模型進(jìn)行一定的修正，構(gòu)建安裝誤差可解的球桿儀桿長(zhǎng)參數(shù)化模型。實(shí)際上，在很多數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模及辨識(shí)的研究中，考慮了直線度誤差與角度誤差之間的相關(guān)性，如式(13)[4]和式(14)[20]，以簡(jiǎn)化誤差模型提高模型的魯棒性。同時(shí)，也有部分學(xué)者提出直線度誤差與角度誤差并不總是可以通過(guò)簡(jiǎn)單的積分或求導(dǎo)來(lái)直接得到[21]。

(13)

(14)

綜合以上研究，本文折中考慮，對(duì)直線度誤差進(jìn)行部分關(guān)聯(lián)性缺項(xiàng)建模[22]，保留了角度誤差積分后的各項(xiàng)階數(shù)，但不直接使用由角度誤差積分后的系數(shù)，如式(15)：

(15)

理論上，運(yùn)動(dòng)軸各項(xiàng)的幾何誤差建模階段若存在原理誤差，易導(dǎo)致求解單項(xiàng)幾何誤差過(guò)程中存在偏差，而本文研究安裝誤差與幾何誤差的分離，對(duì)單一幾何誤差的誤差絕對(duì)值的準(zhǔn)確性無(wú)嚴(yán)格要求，只需保證最終反映的綜合誤差值，相當(dāng)于降低了對(duì)單一幾何誤差元素建模的準(zhǔn)確性要求。

將修正后的直線度誤差預(yù)擬合模型代入式(5)，可重新獲得桿長(zhǎng)變化量Δr與運(yùn)動(dòng)角度θ及待確定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系，如式(16)和式(17)所示：

(16)

(17)

對(duì)比修正前后不難發(fā)現(xiàn)，重新構(gòu)造后的桿長(zhǎng)變化的表達(dá)式較原先更復(fù)雜，引入了部分高階項(xiàng)。但修正后安裝誤差ex，ey可解，通過(guò)組合各個(gè)系數(shù)可得到安裝誤差求解的解析表達(dá)式(18)。完整的安裝誤差分離流程如圖4所示，其中虛線部分為安裝誤差的理想分離流程，實(shí)線部分為實(shí)際分離流程。

(18)

4 案例

4.1 球桿儀安裝誤差分離仿真

由于測(cè)量條件及球桿儀的結(jié)構(gòu)限制，目前研究中尚無(wú)可用裝置能夠直接測(cè)量球桿儀的安裝誤差，因此，本文基于數(shù)值仿真方法對(duì)所提方法的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。以課題組前期研究的同類型機(jī)床的幾何誤差測(cè)量和辨識(shí)結(jié)果為基礎(chǔ)[12-13]，預(yù)設(shè)各個(gè)幾何誤差的參數(shù)化模型。同時(shí)考慮到仿真的普適性，對(duì)式(3)中各項(xiàng)幾何誤差δx(x)、δy(x)、εz(x)、δx(y)、δy(y)、εz(y)多項(xiàng)式表達(dá)式的各系數(shù)及安裝誤差ex、ey引入隨機(jī)增益系數(shù)λ1(max(λ1)=5，min(λ1)=-5)，構(gòu)建共計(jì)30組分離仿真。其中，隨機(jī)一組中各幾何誤差的多項(xiàng)式系數(shù)如表1所示。同時(shí)為充分驗(yàn)證所提方法在分離安裝誤差時(shí)的抗干擾能力，在仿真的桿長(zhǎng)變化中附加系數(shù)為λ2的隨機(jī)噪聲λ2(max(λ2)=10%，min(λ2)=-10%)，仿真流程如圖5所示。

表1 幾何誤差的多項(xiàng)式系數(shù)

基于式(18)可依次解得30次仿真中X向與Y向安裝誤差ex、ey。同時(shí)，計(jì)算仿真中圓軌跡的X向與Y向偏心ox、oy，計(jì)算公式如式(19)所示:

(19)

其中：N表示圓軌跡的離散點(diǎn)數(shù)；Δri、θi分別表示第i點(diǎn)處的球桿儀桿長(zhǎng)變化與刀具球中心運(yùn)動(dòng)角度，在仿真中可由式(5)計(jì)算得到。

表2中展示了仿真中部分安裝誤差的設(shè)定值、計(jì)算值以及圓軌跡的X向和Y向偏心值。整體上，在進(jìn)行的多次仿真中，球桿儀的X向與Y向安裝誤差均能取得較高的分離精度，計(jì)算值與設(shè)定值非常接近。而相比X向安裝誤差的分離效果，Y向安裝誤差分離殘差較大。究其原因，在式(18)中Y向安裝誤差的計(jì)算涉及的系數(shù)項(xiàng)較X向多，因此，當(dāng)存在噪聲波動(dòng)時(shí)，其計(jì)算結(jié)果也更易受到干擾。另一方面，偏心值與安裝誤差在數(shù)值上卻相差較大，很多時(shí)候差值遠(yuǎn)超安裝誤差本身數(shù)值大小。從而表明圓軌跡偏心不能完全地表示球桿儀的安裝誤差。

在以上30次仿真中，噪聲幅值設(shè)置為10%的桿長(zhǎng)變化，X向與Y向安裝誤差計(jì)算結(jié)果與設(shè)定值非常接近，如圖6所示，最大分離殘差可分別控制在1 μm和4 μm左右，分離精度較高。而實(shí)際測(cè)量中，噪聲等干擾對(duì)桿長(zhǎng)變化的影響遠(yuǎn)小于10%，因此，所提方法的分離精度可完全滿足實(shí)際需求。

表2 部分安裝誤差設(shè)定值與計(jì)算值對(duì)比結(jié)果 μm

4.2 球桿儀安裝誤差與機(jī)床幾何誤差分離實(shí)驗(yàn)

使用雷尼紹QC20-W型號(hào)無(wú)線球桿儀進(jìn)行球桿儀安裝誤差與機(jī)床幾何誤差的分離實(shí)驗(yàn)。通常球桿儀的單次測(cè)量時(shí)間在5 min以內(nèi)，測(cè)試過(guò)程機(jī)床負(fù)載很小，可忽略過(guò)程中環(huán)境及機(jī)床溫度變化導(dǎo)致的影響。在XY平面進(jìn)行常規(guī)的圓弧測(cè)試如圖7所示，通過(guò)附帶的Renishaw Ballbar 20軟件可得到并導(dǎo)出桿長(zhǎng)變化結(jié)果。

基于所提方法，可計(jì)算圓弧測(cè)試中球桿儀X向及Y向安裝誤差分別為4.3 μm和18.7 μm。圖8直觀地展示了原始桿長(zhǎng)變化中安裝誤差與幾何誤差所占比例，在完整的圓軌跡中，安裝誤差對(duì)桿長(zhǎng)變化的影響明顯高于幾何誤差，造成檢測(cè)嚴(yán)重失真。

在原綜合誤差軌跡中剔除安裝誤差，并以運(yùn)行角度為橫坐標(biāo)展開，分離前后桿長(zhǎng)變化Δr如圖9所示。安裝誤差分離前，桿長(zhǎng)變化量變化具有明顯的正余弦趨勢(shì)，且桿長(zhǎng)變化范圍較大為48.9 μm；安裝誤差分離后，桿長(zhǎng)變換范圍減小為15.0 μm，正余弦趨勢(shì)明顯減弱。

按照文獻(xiàn)[12]中的處理方法，平面運(yùn)動(dòng)時(shí)X、Y軸的綜合幾何誤差分量可近似為球桿儀桿長(zhǎng)變化在X、Y方向上的投影，據(jù)此，X、Y軸綜合幾何誤差分量分離前后對(duì)比如圖10所示。作為安裝誤差的典型特征，其正余弦趨勢(shì)較為明顯，以分離量的形式在圖10中呈現(xiàn)，且幅值較大。而分離后的幾何誤差較分離前，其變化趨勢(shì)接近，但數(shù)值上X向與Y向綜合幾何誤差分量變化范圍分別由30.7 μm、27.9 μm減小為13.6 μm、11.4 μm，差異顯著。

同時(shí)計(jì)算球桿儀測(cè)量軌跡的偏心數(shù)據(jù)，安裝誤差分離前，球桿儀X向偏心-1 μm，Y向偏心為-24.5 μm；分離后，X向偏心3.3 μm，Y向偏心為-5.8 μm，差值即為所求球桿儀在X軸方向與Y軸方向的安裝誤差，分別為X向4.3 μm，Y向18.7 μm。上述球桿儀圓軌跡偏心與機(jī)床幾何誤差變化范圍分離前后對(duì)比如表3所示。

表3 安裝誤差與圓軌跡偏心對(duì)比 μm

最后，對(duì)比分離前后圓弧軌跡如圖11所示，球桿儀安裝誤差明顯增大了圓弧軌跡的偏心趨勢(shì)，相比安裝誤差，機(jī)床幾何誤差引起的圓弧軌跡偏心較小，這也與實(shí)際情況符合，在實(shí)驗(yàn)中的球桿儀測(cè)量行程內(nèi)，通常機(jī)床幾何誤差無(wú)法導(dǎo)致數(shù)十微米的圓軌跡偏心。

在使用球桿儀測(cè)量直線軸的聯(lián)動(dòng)性能時(shí)，球桿儀的安裝誤差的影響通?？梢院雎?，但在使用球桿儀定量評(píng)估直線軸的幾何誤差甚至進(jìn)行誤差辨識(shí)時(shí)，必須考慮并去除球桿儀的安裝誤差。區(qū)別于直接將軌跡偏心作為安裝誤差的做法，本文通過(guò)對(duì)幾何誤差進(jìn)行參數(shù)化建模，通過(guò)分析幾何誤差與安裝誤差對(duì)球桿儀桿長(zhǎng)變化的作用規(guī)律，并修正幾何誤差模型，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床幾何誤差與球桿儀安裝誤差的分離。

5 結(jié)束語(yǔ)

球桿儀安裝誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果影響顯著，不考慮安裝誤差的檢測(cè)結(jié)果難以反映機(jī)床實(shí)際的幾何誤差情況，基于測(cè)量結(jié)果的幾何誤差辨識(shí)等工作更是無(wú)法準(zhǔn)確地進(jìn)行。本文針對(duì)球桿儀測(cè)量時(shí)安裝誤差造成檢測(cè)結(jié)果不準(zhǔn)確的問(wèn)題，提出了球桿儀安裝誤差與機(jī)床幾何誤差的分離方法。該方法適用于針對(duì)直線軸幾何誤差測(cè)量、定量評(píng)估及辨識(shí)等過(guò)程，可有效地將球桿儀的安裝誤差與機(jī)床的幾何誤差分離，提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確性，得到更精確的機(jī)床幾何誤差情況。

基于齊次坐標(biāo)變換建立了包含了機(jī)床直線軸幾何誤差與球桿儀安裝誤差的球桿儀桿長(zhǎng)變化模型。根據(jù)機(jī)床直線軸幾何誤差的位置相關(guān)特性，對(duì)各項(xiàng)幾何誤差進(jìn)行參數(shù)化建模，并針對(duì)求解問(wèn)題進(jìn)行了模型修正，實(shí)現(xiàn)了安裝誤差的求解。仿真結(jié)果說(shuō)明了所提方法的正確性和有效性；所提方法應(yīng)用于實(shí)際的圓測(cè)試中，從綜合桿長(zhǎng)變化中分離了數(shù)值為4.3 μm和18.7 μm的X向和Y向安裝誤差，結(jié)果表明未分離前的安裝誤差造成機(jī)床幾何誤差的檢測(cè)結(jié)果嚴(yán)重失真，進(jìn)一步影響后續(xù)幾何誤差的辨識(shí)與評(píng)價(jià)。