均布與集中荷載共同作用下固支梁彎扭屈曲臨界彎矩精確解研究

張文福 杭昭明 劉迎春 趙文艷 嚴(yán) 威 華俊凱

（1.東北石油大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，大慶 163318；2.南京工程學(xué)院建筑工程學(xué)院，南京 211167；3.蘇州科技大學(xué)建筑工程學(xué)院，蘇州 215000）

0 引言

鋼梁由于強(qiáng)度高、自重輕等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于廠房場館、鐵路、橋梁等方面。鋼梁截面通常做成長而窄的形式，而這種形式的缺點(diǎn)是繞強(qiáng)軸和弱軸的慣性矩相差較大，因而鋼梁極易發(fā)生彎扭屈曲。目前我國規(guī)范僅給出了單一荷載下鋼梁彎扭屈曲的設(shè)計(jì)公式，尚未給出多種荷載共同作用下鋼梁彎扭屈曲的設(shè)計(jì)建議。

在復(fù)合荷載下鋼梁彎扭屈曲研究方面，國外從1940 年開始，Vlasov［1］和Galambos 等［2］就陸續(xù)基于平衡法和經(jīng)典能量法，將屈曲模態(tài)取為單一三角函數(shù)給出了鋼梁在復(fù)合荷載下的一階近似解析解。近年來，國內(nèi)學(xué)者對此也開始了一些探索和研究工作［3-4］。

2017 年，郭兵等［5］對端彎矩和集中荷載共同作用下的簡支梁進(jìn)行了理論屈曲分析，采用Rayleigh-Ritz 法推導(dǎo)了簡支梁臨界彎矩的通用計(jì)算公式，形式與傳統(tǒng)公式相同，并且通過算例驗(yàn)證了公式的正確性與泛用性。

2018 年，劉占科等［6］采用Galerkin 法推導(dǎo)了復(fù)合荷載下鋼梁彎扭屈曲臨界彎矩的公式，這里他們考慮了橫向荷載作用點(diǎn)高度和截面不對稱參數(shù)。同時(shí)，他們確定了7 種常見工況的等效彎矩系數(shù)理論計(jì)算式并給出了6種特殊工況的Cb實(shí)用計(jì)算式，并與國內(nèi)外文獻(xiàn)進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了公式的正確性與適用性。

2019 年，支圓圓和王杜欣［7-8］分別對復(fù)合荷載下固支鋼梁和連續(xù)鋼梁彎扭屈曲的臨界彎矩進(jìn)行了研究，他們都基于課題組提出的鋼梁臨界彎矩計(jì)算通式對多種荷載下相應(yīng)的理論臨界彎矩公式進(jìn)行了推導(dǎo)，并使用有限元方法進(jìn)行了驗(yàn)證和參數(shù)分析。

綜上，目前對鋼梁彎扭屈曲相關(guān)的力學(xué)分析，多數(shù)是使用Galerkin 法、Rayleigh-Ritz 法等方法，通過單個(gè)三角函數(shù)來表達(dá)側(cè)移和轉(zhuǎn)角，然后利用能量法獲得鋼梁的臨界彎矩解析解，但與無窮項(xiàng)級數(shù)解相比，這種解答僅相當(dāng)于一階近似解。本文對單軸對稱工字形鋼梁彎扭屈曲臨界彎矩進(jìn)行了理論研究，先設(shè)模態(tài)函數(shù)為無窮級數(shù)形式，然后利用能量變分法，得到了均布與集中荷載下單軸對稱工字形固支梁的彎扭屈曲臨界荷載的無窮項(xiàng)解答。并以解答的100 項(xiàng)級數(shù)為參考，借助MATLAB 程序進(jìn)行了收斂性研究，最后又建立了有限元模型進(jìn)行了對比驗(yàn)證。

1 推導(dǎo)過程

1.1 工程概況

本文分析的工程情況為均布荷載與跨中集中荷載共同作用下的工字形固支梁，簡圖如圖1 所示，其中q為均布荷載，p為跨中集中荷載，L為跨度，C（0，0）為截面形心，S（0，y0）為截面剪心。

圖1 均布荷載和跨中集中荷載下工字形固支梁的計(jì)算簡圖Fig.1 Calculation diagram of the fixed I-beam under uniform load and concentrated load

為了推得此工況下固支梁彎扭屈曲臨界彎矩的無窮項(xiàng)解答，本文根據(jù)張文福［9-13］提出的“板-梁理論”及能量變分法的思路，先設(shè)模態(tài)試函數(shù)表達(dá)為無窮級數(shù)，然后代入總勢能方程，再根據(jù)勢能駐值原理可以得到屈曲方程，即可解得彎扭屈曲的臨界彎矩。

1.2 無量綱形式的一階近似解析解

1.2.1 模態(tài)試函數(shù)

將截面的位移和轉(zhuǎn)角采用的模態(tài)試函數(shù)形式設(shè)為

式中：u(z)、θ(z)分別為固接梁屈曲時(shí)截面的側(cè)向位移和繞剪切中心的扭轉(zhuǎn)角，是關(guān)于變量z的函數(shù)。

與他人的研究不同，本文在式（1）中引入了h（上下翼緣形心的距離），其目的是將u的待定系數(shù)A，變?yōu)闊o量綱參數(shù)。

同時(shí)，式（1）、式（2）滿足固支梁的邊界條件：

1.2.2 內(nèi)力函數(shù)

令跨中集中荷載p與均布荷載q存在以下關(guān)系，β為集中荷載系數(shù)。

則均布荷載和跨中集中荷載共同作用下的固支梁任意截面的彎矩表達(dá)式為

根據(jù)式（4）可知，最大彎矩位置位于跨中，由此可得出跨中最大彎矩為

1.2.3 總勢能方程

均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支鋼梁彎扭屈曲的總勢能表達(dá)式為

將截面位移與轉(zhuǎn)角的模態(tài)試函數(shù)代入式（6），應(yīng)用MATHEMATICA 軟件進(jìn)行相關(guān)積分運(yùn)算，則有

因此，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁彎扭屈曲的總勢能方程可表示為

將式（12）乘L3/(h2EIy)，并引入以下無量綱參數(shù)和相關(guān)表達(dá)式

對總勢能進(jìn)行無量綱化，可進(jìn)一步表示為

1.2.4 屈曲方程

依據(jù)勢能駐值原理，可得

即可以得到以下屈曲方程：

發(fā)展商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)有助于應(yīng)對人口老齡化趨勢和就業(yè)形態(tài)新變化，進(jìn)一步保障和改善民生，促進(jìn)社會和諧穩(wěn)定，在寧夏發(fā)展商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)，符合國家政策導(dǎo)向，順應(yīng)寧夏人口結(jié)構(gòu)老齡化的趨勢，有助于促進(jìn)實(shí)體經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。

將上述無量綱屈曲方程用以下矩陣形式表示為

為了使A1、B1不同時(shí)為零，必有

將式（23）行列式展開可得

其解可表示為

其中：

綜上所述，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁無量綱彎扭屈曲臨界彎矩解析解可由式（25）解得。

1.3 無窮項(xiàng)數(shù)解答

1.3.1 模態(tài)試函數(shù)

將截面的位移和轉(zhuǎn)角采用的模態(tài)試函數(shù)設(shè)為如下無窮項(xiàng)數(shù)形式

1.3.2 內(nèi)力函數(shù)

由于條件相同，因此內(nèi)力函數(shù)同一項(xiàng)級數(shù)解答相同。

1.3.3 總勢能方程

將截面位移與轉(zhuǎn)角的模態(tài)試函數(shù)代入式，應(yīng)用MATHEMATICA軟件進(jìn)行相關(guān)積分運(yùn)算，則有

因此，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁彎扭屈曲的總勢能方程可表示為

將式（33）乘L3/(h2EIy)，并引入以下無量綱參數(shù)和相關(guān)表達(dá)式，對總勢能進(jìn)行無量化，可進(jìn)一步表示為

均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支鋼梁彎扭屈曲無量綱總勢能方程可表示為

1.3.4 屈曲方程

根據(jù)勢能駐值原理，對無量綱廣義坐標(biāo)An求偏導(dǎo)，

可推出如下屈曲方程

為便于求解，式（41）可用如下矩陣形式表示

式（42）中各子矩陣表示如下

同理，依據(jù)勢能駐值原理，對無量綱廣義坐標(biāo)Bn求偏導(dǎo)，

同樣得到以下屈曲方程

將式（44）用以下矩陣形式表示

各子矩陣表示如下

綜上所述，均布荷載和跨中集中荷載共同作用下單軸對稱工字形固支梁無量綱屈曲方程可表示為

由式矩陣表示的彎扭屈曲方程解得的最小特征值，即為均布荷載和跨中集中荷載共同作用下固支梁彎扭屈曲無量綱臨界彎矩的解析解。顯然，依據(jù)Fourier 級數(shù)理論可證明，當(dāng)級數(shù)為無窮項(xiàng)時(shí)，則可得到此問題的精確解。

2 收斂性研究

為了證明上述所得無窮項(xiàng)解答的正確性和可適用性同時(shí)得到相應(yīng)的精確解，下面進(jìn)行收斂性研究。

從數(shù)值求解的角度考慮，無窮級數(shù)表示的模態(tài)試函數(shù)的項(xiàng)數(shù)只能取有限項(xiàng)，采用MATLAB 程序求解式（63）的特征值屈曲問題。對雙軸對稱截面A（H400 mm×300 mm×8 mm×12 mm）和單軸對稱 截 面B（H400 mm×300 mm×200 mm×8 mm×12 mm）的工字形固支梁在均布荷載和跨中集中荷載共同作用下的屈曲臨界彎矩解的收斂性進(jìn)行分析，如圖2 所示，其中梁跨度L=12 m，集中荷載系數(shù)β=0.4。其中s=3 時(shí)，截面A 在均布荷載和跨中集中荷載共同作用于上翼緣、剪心、下翼緣時(shí)的分別于72 項(xiàng)、86 項(xiàng)、83 項(xiàng)收斂。截面B 在均布荷載和跨中集中荷載共同作用于上翼緣、剪心、下翼緣時(shí)的分別于84 項(xiàng)、88 項(xiàng)、83 項(xiàng)收斂。當(dāng)工字形固支梁在均布荷載和跨中集中荷載共同作用下的屈曲臨界彎矩解的收斂時(shí)，級數(shù)解答即為精確解。為便于后續(xù)數(shù)值計(jì)算，這里將近似認(rèn)為當(dāng)級數(shù)取100項(xiàng)時(shí)，級數(shù)收斂。

圖2 屈曲臨界彎矩解收斂性驗(yàn)證Fig.2 Verification of convergence of buckling critical moment solutions

3 有限元驗(yàn)證

下面以上文提及的A（H400 mm×300 mm×8 mm×12 mm），B（H400 mm×300 mm×200 mm×8 mm×12 mm）兩種截面為例，來驗(yàn)證精確屈曲方程的可靠性。本文選用SHELL181 殼單元來模擬工字型鋼梁，SHELL181有4節(jié)點(diǎn)，6個(gè)自由度。模型沿高度方向劃分10 個(gè)單元，沿長度方向劃分100 個(gè)單元，沿翼緣寬度方向劃分8 個(gè)單元。另外，為了防止模型過早出現(xiàn)畸變屈曲或局部屈曲，本文采用了張文福教授［12］提出的新的剛周邊模擬方法，比常規(guī)設(shè)置加勁肋的方法更簡潔實(shí)用且不會增加梁剛度，F(xiàn)EM模型如圖3所示。

圖3 有限元模型Fig.3 Finite element model

下面用FEM 對鋼梁在均布與集中荷載共同下的彎扭屈曲臨界荷載于理論解進(jìn)行對比驗(yàn)證，以A，B 兩種截面12 m 跨度作為算例。表1 為FEM 模型解和理論解的對比結(jié)果。其中，β為均布荷載與集中荷載的占比分項(xiàng)系數(shù)。

由表1可見：

表1 均布荷載和跨中集中荷載共同下固支梁臨界彎矩Table 1 The critical moment of the fixed beam under uniform and concentrate load

（1）無窮級數(shù)解答與有限元模擬的結(jié)果吻合得很好，不論是對雙軸對稱截面還是對單軸對稱截面，其最大誤差均在5%以內(nèi)；

（2）對雙軸對稱截面，由單個(gè)三角函數(shù)得到的一階近似解與有限元模擬的結(jié)果的誤差較大，上翼緣的最大誤差為5.91%，下翼緣的最大誤差為22.50%，剪心的最大誤差為13.72%；

（3）對單軸對稱截面，一階近似解與有限元模擬的結(jié)果的誤差巨大，上翼緣的最大誤差達(dá)-27.13%，下翼緣的最大誤差達(dá)-15.16%，剪心的最大誤差達(dá)20.85%。

4 結(jié)論

（1）本文基于作者前期建立的能量變分法，推導(dǎo)得到固支梁在均布與集中荷載下彎扭屈曲方程的無窮項(xiàng)級數(shù)解。

（2）通過MATLAB 程序，取100 項(xiàng)級數(shù)為參考，分別以一個(gè)雙軸對稱工字形截面和一個(gè)單軸對稱工字形截面為例，研究了無窮項(xiàng)級數(shù)解答的收斂性和適用性。

（3）建立了使用新方法設(shè)置剛周邊的有限元模型，與無窮項(xiàng)級數(shù)的理論解進(jìn)行了對比，誤差均在5%以內(nèi)，說明了無窮項(xiàng)級數(shù)解的精確性。

（4）無窮級數(shù)解和有限元解答均可證明，由單個(gè)三角函數(shù)得到的一階近似解的誤差通常較大。以荷載作用在剪心的工況為例，雙軸和單軸對稱截面的最大誤差分別可達(dá)13.72% 和20.85%，如此大的誤差是工程所不能接受的。因此，對于復(fù)合荷載下鋼梁彎扭屈曲問題，不宜采用單個(gè)三角函數(shù)作為屈曲模態(tài)來討論鋼梁屈曲問題。