出平面線源荷載對(duì)半空間內(nèi)橢圓孔洞的Green函數(shù)解

鄧小環(huán)，蘭國(guó)冠，許華南

(龍巖學(xué)院資源工程學(xué)院，福建 龍巖 364012)

地下復(fù)雜結(jié)構(gòu)與復(fù)合缺陷的動(dòng)力學(xué)研究，在爆炸力學(xué)、地球物理學(xué)的課題研究中具有重要的工程實(shí)踐意義，在地下隧道工程、地下勘探及探索、采礦和石油開(kāi)采等工程領(lǐng)域中有非常廣泛的應(yīng)用。迄今為止，國(guó)內(nèi)外專家對(duì)地下復(fù)雜結(jié)構(gòu)和復(fù)合缺陷的研究有了很多的進(jìn)展。采用復(fù)變函數(shù)和Green函數(shù)等解析方法，解決了孔洞[1-5](主要為圓形)、夾雜[6-8]和裂紋缺陷的散射問(wèn)題。Qi等[9]利用鏡像法、Green函數(shù)法和導(dǎo)波理論分析了壓電雙相材料帶中剪切水平導(dǎo)波對(duì)圓孔的散射。文獻(xiàn)[10]結(jié)合保角映射技術(shù)的應(yīng)用解答了具有非均勻剪切模量的半空間中，圓形孔洞對(duì)SH波的散射問(wèn)題。另外，文獻(xiàn)[11-14]則采用數(shù)值分析的方法、基于邊界積分方程法中的非超奇異牽引法等方法，研究了孔洞、夾雜與裂縫的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。在現(xiàn)有的研究成果中，研究模型基本上采用規(guī)則的幾何形狀邊界的模型，而在實(shí)際工程中，地下構(gòu)造的幾何形狀往往不規(guī)則，分析模型多為橢圓形、三角形等，由于分析難度大，位移場(chǎng)更為復(fù)雜，故這類的研究報(bào)告相對(duì)較少。

為了研究這類具有不規(guī)則幾何邊界的研究模型與復(fù)合缺陷相互作用下的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，Green函數(shù)的建立至關(guān)重要。在邊界條件和初始條件給定的前提下，由點(diǎn)源入射作用而產(chǎn)生的位移場(chǎng)的基本解定義為Green函數(shù)。本文采取的模型為橢圓形孔洞，采用復(fù)變函數(shù)法中的保角映射方法將不規(guī)則邊界映射為圓形邊界，再推導(dǎo)出點(diǎn)源載荷作用于彈性半空間表面的任意點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的位移場(chǎng)的基本解，即Green函數(shù)，最后研究不同參數(shù)對(duì)本研究模型的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律，進(jìn)一步驗(yàn)證其精確性。

1 問(wèn)題模型

圖1為包含橢圓孔洞的彈性半空間模型，出平面線源載荷作用于水平表面上任意點(diǎn)。介質(zhì)密度為ρ。圖中坐標(biāo)系XOY和X′O′Y′，具有以下關(guān)系式：

x′=x，y′=y+h

(1)

2 控制方程

(2)

(3)

圖2 橢圓外域的保角變換Fig.2 Conformal mapping of ellipse

z=ω(η)=R(η+m/η)

(4)

式中：η=Reiθ；R=(a+b)/2；m=(a-b)/(a+b)，可將Z平面上橢圓邊界的外域，映射為η平面上的圓形邊界。

則運(yùn)動(dòng)方程(2)便轉(zhuǎn)化為

(5)

則式(3)變成

(6)

本問(wèn)題模型的邊界條件如下：

(7)

3 Green函數(shù)的導(dǎo)出

出平面線源荷載δ(z-z0)在彈性半空間表面上任意點(diǎn)作用時(shí)，如圖1所示，半空間內(nèi)所產(chǎn)生的波場(chǎng)可記為G(i)，并看作入射波，再引入映射函數(shù)z=ω(η)，則其表達(dá)式可寫(xiě)成

(8)

由于橢圓孔的存在而激發(fā)的散射波場(chǎng)記為G(s)，不僅在水平自由界面上應(yīng)力自由，而且滿足無(wú)窮遠(yuǎn)的Sommerfeld輻射條件和運(yùn)動(dòng)方程(5)，表達(dá)式如下：

(9)

至此，總波場(chǎng)的表達(dá)式如下：

G=G(i)+G(s)

(10)

相應(yīng)的總應(yīng)力為：

(11)

(12)

將相關(guān)的應(yīng)力表達(dá)式代入邊界條件(7)的第1項(xiàng)，可得到

(13)

式中：

在方程(13)的兩側(cè)同乘e-imθ，并在(-π,π)上積分，得到

(14)

4 動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)(DSCF)

本文的主要研究?jī)?nèi)容是基于所確定的Green函數(shù)，研究出平面線源荷載作用下橢圓孔洞周圍的動(dòng)應(yīng)力分布規(guī)律，并驗(yàn)證本文導(dǎo)出的Green函數(shù)的準(zhǔn)確性。

(15)

5 算例分析

基于前文的理論推導(dǎo)，本節(jié)通過(guò)一些具體的計(jì)算實(shí)例，給出橢圓孔周圍的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)果，從波數(shù)k1a、橢圓孔中心到水平界面距離與橢圓孔的半長(zhǎng)軸的比值h/a、出平面荷載作用位置x1對(duì)橢圓孔外周圍DSCF分布的影響規(guī)律。DSCF的表達(dá)式由式(15)定義。

圖3 橢圓孔周圍的DSCF隨h/a的變化Fig.3 DSCF around the elliptical cavity with h/a

圖4 橢圓孔周圍的DSCF隨k1a的變化Fig.4 DSCF around the elliptical cavity with k1a

圖5 橢圓孔周圍的DSCF隨x1的變化Fig.5 DSCF around the elliptical cavity with x1

h/a圖6 θ=0°處DSCF隨h/a的變化Fig.6 Variation of DSCF at θ=0°with h/a

6 結(jié)論

(1) 橢圓孔圓心與水平自由界面的距離、出平面線源荷載的作用位置、入射波數(shù)等因素對(duì)橢圓孔外周邊的動(dòng)態(tài)響應(yīng)有很大的影響。

(2) 進(jìn)一步利用本論文的Green函數(shù)解，可以解決半空間或全空間中橢圓孔或夾雜和裂紋缺陷相互作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，并將其拓展至更復(fù)雜的問(wèn)題模型的研究中，如探索多個(gè)橢圓孔洞或夾雜與裂紋缺陷的模型，可為地下復(fù)雜構(gòu)造和復(fù)雜裂紋缺陷的勘探及無(wú)損檢測(cè)等領(lǐng)域提供理論參考。