用差分方法求解二維熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值模擬

許芝卉，李建華

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

1 問題的提出

考察如下二維熱傳導(dǎo)方程初邊值問題

其中a為系數(shù)，且a為正常數(shù)。

定義域?yàn)椋?/p>

網(wǎng)格可用平行于x軸、y軸和t軸的直線進(jìn)行剖分，形成的網(wǎng)覆蓋區(qū)域，結(jié)點(diǎn)為網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)。

(1)式的網(wǎng)格可取為

其中τ和hx，hy分別是時(shí)間步長和空間步長。為方便起見，取x軸方向和y軸方向的網(wǎng)格步長相等。即hx=hy=h[1]。

2 幾種差分格式的應(yīng)用

2.1 顯式差分格式和隱式差分格式

方程(1)的顯式差分格式為

其中

(2)的差分格式可寫為

由Taylor展開知(3)的局部截?cái)嗾`差階是

方程(1)的古典隱式差分格式為：

2.2 Peaceman-Rachford差分格式(簡(jiǎn)稱P-R格式)

依照P-R 格式可以將一個(gè)時(shí)間步長分為兩個(gè)小的步長來計(jì)算，其中每個(gè)小的時(shí)間步長為τ/2，首先在第一小步建立一個(gè)趨近(1)的在方向顯式而在方向隱式的兩層格式（從第n層到第(n+1)/2 層），如(6)，而在第二小步則建立一個(gè)趨近（1）的在方向隱式而在方向顯式的兩層格式（從第(n+1)/2 層到第n+1層[1]）。即

其局部截?cái)嗾`差階是

又可寫成：

對(duì)(7)差分方程兩端分別同時(shí)作用差分算子

展開兩端，上式變?yōu)?/p>

2.3 Douglas-Rachford格式（簡(jiǎn)稱D-R格式）

D-R 格式是一種能夠保持無條件穩(wěn)定，并被加以推廣運(yùn)用到三維情形的差分格式。逼近(1)的D-R格式為：

可寫為：

由(10)第二個(gè)方程中解出，并代入(10)中的第1個(gè)方程，得：

3 差分格式的比較

D-R 格式(10)的截?cái)嗾`差階是O(τ++)，比P-R 格式(7)在時(shí)間方向低一階。應(yīng)用傅立葉方法可計(jì)算出D-R格式(10)的增長因子是：

顯然，對(duì)于任意的r＞0，均成立GDR=(βx,βy,τ)≤1，所以D-R格式(10)是無條件穩(wěn)定的[1]。

4 邊界條件離散

Dirichlet邊值問題

對(duì)于矩陣區(qū)域

方程(1)可以直接離散為：

對(duì)于二維熱傳導(dǎo)方程(1)的D-R 格式（11）展開后得：

將上面四個(gè)式子代入(13)得

則（14）和邊界條件（12）可以構(gòu)成一個(gè)逼近邊值問題（1）的離散型Dirichlet 問題，它可轉(zhuǎn)化為等價(jià)的線性方程組的求解問題[2]。

定義向量

向量實(shí)際上是給定了個(gè)M2未知量Tj,k(1≤j,k≤M)就，的一種排列次序，這里采用的是網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的自然次序，即從左往右（j↑），由下而上（k↑）。后面都將采用這種自然次序排列網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)上的未知函數(shù)值,問題(11)和(14)可以寫成如下矩陣形式[2]。

其中

5 結(jié)語

文中選取的模型較簡(jiǎn)單，用均勻網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)，對(duì)反映現(xiàn)象問題均勻網(wǎng)格不夠好，在以后的研究中需要選取適應(yīng)性比較好的網(wǎng)格，模型也需選用有實(shí)際應(yīng)用的幾何體模型。關(guān)于求解線性方程組(15)可采用超松馳迭代法，并用算法設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)。