一類具有飽和恢復(fù)率的隨機(jī)傳染病模型

劉 娟，陳 功

(蚌埠學(xué)院理學(xué)院，安徽蚌埠 233030)

傳染病是當(dāng)今世界面臨的一個(gè)嚴(yán)重問(wèn)題，傳染病的蔓延給世界各國(guó)帶來(lái)了極大的挑戰(zhàn)，甚至可能影響社會(huì)穩(wěn)定，比如新冠病毒的傳播給現(xiàn)實(shí)生活造成了一定的影響，因此研究傳染病模型具有重要的實(shí)際意義。隨著傳染病動(dòng)力學(xué)的深入發(fā)展，建立數(shù)學(xué)模型研究傳染病的傳播規(guī)律已成為一種趨勢(shì)。近二十年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者根據(jù)倉(cāng)室模型的思想，提出了大量的傳染病模型并研究了模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。在已建立的傳染病模型中，以確定型模型居多[1-6]。但是在疾病蔓延的過(guò)程中，外部環(huán)境對(duì)疾病傳播有著重要的影響，這在數(shù)學(xué)上可以用隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來(lái)表示。文獻(xiàn)[7]研究了下列傳染病模型：

根據(jù)倉(cāng)室建模的思想，(1)式中的，S(t)，I(t)和R(t)分別表示易感者、染病者、治愈者群體在時(shí)刻t的數(shù)量[8-9]。A表示易感者群體的常數(shù)輸入率，μ為，S(t)，I(t)和R(t)的自然死亡率，假設(shè)三類群體具有相同的自然死亡率。ε為染病群體的因病死亡率。為染病群體到治愈群體的恢復(fù)率函數(shù)。文獻(xiàn)[7]研究了模型(1)的穩(wěn)定性和分支。

考慮到隨機(jī)擾動(dòng)因素對(duì)疾病傳播的影響，在模型(1)中引入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)使之變成隨機(jī)微分方程，假設(shè)外部環(huán)境主要影響參數(shù)β，用白噪聲來(lái)描述這種影響，即

B(t)為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)且B(0)=0，為白噪聲強(qiáng)度，則得到下列具有隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的傳染病系統(tǒng)，

主要研究隨機(jī)傳染病的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，包括模型(2)正解的存在性I(t)及和R(t)群體的滅絕性。

1 模型(2)正解的存在唯一性

生物系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)有多種，對(duì)于傳染病系統(tǒng)，是否具有全局正解是很重要的，由隨機(jī)微分方程解的存在唯一性定理知，若系統(tǒng)滿足局部利普希茨條件和線性增長(zhǎng)條件，則具有唯一的正解。通過(guò)利用Lyapunov方法證明模型(2)具有唯一的全局正解。

定理 1對(duì)于任意給定的初值X(0)=(S(0),I(0),R(0))，系統(tǒng)（2）在t≥0 上存在唯一的解，且該解以概率1 存在于中，即系統(tǒng)(2)在中存在唯一的全局正解。

證明易知模型(2)滿足局部利普希茨條件，則對(duì)任意的初始條件，模型(2)存在唯一的局部解X(t)(t∈[ 0,τe])，其中τe是系統(tǒng)的爆破時(shí)間。證明X(t)(t∈[ 0,τe])是模型(2)的全局正解，為了證明該結(jié)論，只要證明τe∈∞a.s.即可。

設(shè)足夠大的正數(shù)k0≥1，能使X(0)都位于區(qū)間中，再k≥k0設(shè)，定義停時(shí)

規(guī)定inf ?=∞，易知τk是k的單調(diào)增函數(shù)，設(shè)，得τ∞=τe∞a.s.，若能證明τ∞=∞，則τe=∞且X(t) ∈(t＞0)。故利用反證法的思想證明τ∞=∞，若τ∞≠∞，則存在常數(shù)T＞0 及ε∈(0,1)，使得P{τ∞≤T}τ∞＞ε成立，則存在正數(shù)k1≥k0，對(duì)所有的k≥k1，有

將模型(2)相加，得

由方程初值X(0)=(S(0),I(0),R(0))，可求得

為正不變集。

定義

令T=0，則對(duì)任意，使用It?公式計(jì)算得

將(6)式代入dV的表達(dá)式得

對(duì)(7)式兩邊取0到的積分，再取數(shù)學(xué)期望得

對(duì)所有的k≥k1，有P{τk≤T}＞ε。對(duì)于每一個(gè)ω∈{τk≤T}，S(τk,ω)，I(τk,ω)，R(τk,ω)中至少有一個(gè)等于k或，故有

利用(8)可得

其中Ωk={τk≤T}，1Ωk(ω)為Ωk的示性函數(shù)，令，有k→∞，

由此可知，假設(shè)不成立，故τe=∞a.s.，即模型(2)存在唯一的全局正解。

2 模型(2)疾病的滅絕性

討論在模型(2)中，染病群體及治愈者群體的滅絕條件，假設(shè)系統(tǒng)初始條件滿足X(0) ∈Γ?，其中Γ?為為系統(tǒng)(2)的正不變集。

定理2設(shè)為模型(2)的解，對(duì)于任意給定初始條件，若

證明利用It?公式，將模型(2)中含有染病群體的項(xiàng)改寫為

兩邊從0到t積分，并除以t，記

由強(qiáng)大數(shù)定律得

取(9)式兩邊的上極限，再將(10)式代入得

這意味著

由洛必達(dá)法則及(11)式，得

系統(tǒng)(2)中的第三項(xiàng)是

由此證明了定理2。

3 結(jié)語(yǔ)

在文獻(xiàn)[7]模型的基礎(chǔ)上，討論了一類具有飽和恢復(fù)率的隨機(jī)傳染病模型，利用Lyapunov 泛函方法討論了模型正解的存在性及唯一性及正不變集的存在性，并使用It? 公式及強(qiáng)大數(shù)定律得到了染病群體及治愈者群體滅絕的充分性條件。定理2表明，如果白噪聲強(qiáng)度滿足一定條件，能夠保證足夠大，則I(t)、R(t)幾乎必然指數(shù)趨于0，即疾病將將消失。這說(shuō)明較大的隨機(jī)擾動(dòng)會(huì)對(duì)傳染病模型中的各類群體產(chǎn)生影響，具有重要的實(shí)際意義。