基于動(dòng)態(tài)精度評(píng)估機(jī)制的自適應(yīng)定位方法

譚高山，張 濤，張麗艷，李 博

(1.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032; 2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016；3.河南工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 河南 鄭州 451191)

0 引言

為了提高產(chǎn)品性能，復(fù)雜曲面的應(yīng)用日益廣泛。復(fù)雜曲面是一種極難定義和加工的幾何元素，具有復(fù)雜曲面的零部件的加工定位、幾何精度評(píng)估等問題也對(duì)復(fù)雜曲面的幾何定位提出了更高的要求。復(fù)雜曲面定位是保證復(fù)雜零部件幾何精度的關(guān)鍵技術(shù)之一。

近年來，三維數(shù)據(jù)定位研究方面的成果較多[1-2]。因?yàn)閰^(qū)域設(shè)計(jì)精度和制造誤差存在差異，基準(zhǔn)定位不再適合復(fù)雜曲面精度評(píng)估問題，所以滿足不同擬合準(zhǔn)則的定位數(shù)學(xué)模型及其求解是復(fù)雜曲面評(píng)估定位的核心問題?；谧钚《藴?zhǔn)則的定位方法，因其計(jì)算效率高且魯棒性好，應(yīng)用最為廣泛[2-5],求解算法也較多，如四元數(shù)法求解的迭代最近點(diǎn)(Iterative Closest Point，ICP)算法[3]、最小二乘目標(biāo)函數(shù)的偽逆法[4]、擬粒子群算法(Quantum-behaved Particle Swarm Optimization，QPSO)[5]等。由于受測(cè)點(diǎn)數(shù)量和分布等測(cè)量問題的影響，最小二乘定位的結(jié)果傾向于大偏差數(shù)據(jù)點(diǎn)和稠密數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而過高估計(jì)了高精度區(qū)域的誤差[2,6]。事實(shí)上，有些復(fù)雜曲面不同區(qū)域的數(shù)據(jù)本身具有不同的精度，考慮整體數(shù)據(jù)的最小二乘擬合并不適合復(fù)雜曲面誤差評(píng)估問題。學(xué)者們也研究了基于其他數(shù)據(jù)擬合準(zhǔn)則的定位方法，如：利用向量法和指數(shù)罰函數(shù)法求解的極差極小化原則的定位方法[7-8]、轉(zhuǎn)化為帶約束非線性優(yōu)化問題并用內(nèi)點(diǎn)法求解的最小區(qū)域定位方法[9]、用線性Tayler展式逼近的非線性定位方法[10]等。基于這類準(zhǔn)則的定位目標(biāo)函數(shù)是非光滑的，一般通過轉(zhuǎn)化為近似光滑模型進(jìn)行逼近求解，求解精度不高，實(shí)驗(yàn)部分也只給出了直線、平面、圓、圓柱等簡(jiǎn)單幾何特征的定位結(jié)果[9]。顯然，非光滑定位模型并不適合復(fù)雜曲面評(píng)估問題，特別是測(cè)量數(shù)據(jù)量較大時(shí)，計(jì)算問題更加突出。

基準(zhǔn)定位中被選做基準(zhǔn)的高精度曲面具有絕對(duì)的定位優(yōu)勢(shì)，非基準(zhǔn)區(qū)域在定位中不被考慮，因此不適合復(fù)雜曲面定位。除基準(zhǔn)定位,目前大部分定位算法和商業(yè)軟件對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)都是整體進(jìn)行處理，即不同區(qū)域的數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)定位結(jié)果的影響是相同的。由于在工藝、效率、成本和產(chǎn)品性能等綜合因素下，復(fù)雜曲面各區(qū)域的精度并不相同，無(wú)區(qū)別地對(duì)待所有測(cè)量點(diǎn)的定位方法與實(shí)際情況不符。

為滿足特殊工程要求，學(xué)者們建立了約束最小二乘定位模型[11-13]，并分別用序列線性規(guī)劃法、有限存儲(chǔ)的BFGS算法(Limited memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno，LBFGS)廣義乘子法和遺傳法-單純形法求解。理論上，可以通過約束不同區(qū)域的精度進(jìn)行誤差評(píng)估問題的定位，但約束優(yōu)化問題的迭代求解對(duì)約束邊界比較敏感，受設(shè)計(jì)精度和制造精度的影響，工程上很難找到復(fù)雜曲面的合適精度約束[14]。另外，約束最小二乘方法需要求解帶約束的非線性最優(yōu)化問題，這類優(yōu)化問題求解效率并不理想。基于幾何特征的定位[15-16]與基準(zhǔn)定位類似，這類方法考慮精度差異對(duì)定位結(jié)果的影響，按照特征面精度高低依次進(jìn)行定位，先選取的特征構(gòu)成了歐氏群的一個(gè)齊次空間，并對(duì)模型進(jìn)行定位，后增加的特征只能在補(bǔ)空間中進(jìn)行定位迭代，以不影響已有空間中的定位結(jié)果。若先選取的特征完全決定了6個(gè)自由度，后面的特征將不再參與定位。雖然這類方法區(qū)別對(duì)待不同特征，但過分強(qiáng)調(diào)了精度差異性，沒有考慮量的影響，顯然也不適用于區(qū)域精度不同的復(fù)雜曲面定位問題。

基于簡(jiǎn)單幾何特征的計(jì)算幾何理論，利用高效且魯棒的加權(quán)最小二乘方法[17]可得到平面度和圓柱度的理想定位結(jié)果。較早的加權(quán)最小二乘思想[18]利用離散點(diǎn)代表的面積表示定位權(quán)因子。不同加權(quán)方式[19-21]的主要目的在于處理粗差點(diǎn)對(duì)計(jì)算速度和定位精度的影響。加權(quán)最小二乘模型可通過推廣最小二乘定位求解方法來實(shí)現(xiàn)，如求解加權(quán)最小二乘問題的四元數(shù)法[22]。如何根據(jù)工程需要給出合適的加權(quán)策略一直是加權(quán)最小二乘法的核心問題。

定位約束分析是討論定位信息對(duì)定位結(jié)果的影響。用靈敏度矩陣[4]來度量測(cè)量點(diǎn)集在擾動(dòng)下的定位穩(wěn)定性，并用以估算定位誤差；用信息矩陣[23]的行列式來定義定位精度；從測(cè)量點(diǎn)到理論曲面的梯度變化的角度提出定位約束矩陣[24]也可進(jìn)行類似分析。

針對(duì)區(qū)域精度不同和測(cè)量點(diǎn)自身對(duì)定位的影響問題，本文提出一種基于動(dòng)態(tài)精度評(píng)估機(jī)制的自適應(yīng)定位算法，迭代過程中根據(jù)區(qū)域精度預(yù)估實(shí)時(shí)更新不同區(qū)域的定位權(quán)因子，因?yàn)槎ㄎ坏腔谇婢阮A(yù)估的，所以本算法選取相對(duì)精確的最小二乘定位作為初始位姿。通過不同權(quán)因子控制定位信息陣來約束定位方向，從而控制不同曲面定位精度。本算法中，每步迭代優(yōu)化問題通過求解四階線性方程組實(shí)現(xiàn)，求解速度快且具有較好的魯棒性。

1 問題分析與模型思想

假設(shè)復(fù)雜曲面測(cè)量點(diǎn)集為P={Pi|i=1,2,…,n}，其對(duì)應(yīng)理論曲面為S，集合P中的點(diǎn)是在測(cè)量坐標(biāo)系下獲得的，而理論曲面是相對(duì)于設(shè)計(jì)坐標(biāo)系定義的。曲面定位就是要找到一個(gè)剛體變換，對(duì)齊設(shè)計(jì)坐標(biāo)系和測(cè)量坐標(biāo)系，使得測(cè)量點(diǎn)Pi(i=1,2,…,n)與其在理論曲面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)Qi之間的距離最小，這一距離度量可以定義為如下范數(shù)：

di(R,T)=‖RPi+T-Qi‖p。

(1)

其中,R∈3×3為空間三維旋轉(zhuǎn)矩陣，T∈3為平移向量；‖‖p表示兩數(shù)據(jù)模型之間的距離，當(dāng)p=1時(shí)，為Chebyshev距離，當(dāng)p=2時(shí)，即為歐氏距離，這里p可根據(jù)工程需要定義不同的度量。

(2)

T=(tx,ty,tz)T。

(3)

式中：s和c分別表示正弦函數(shù)和余弦函數(shù),θx,θy,θz和tx,ty,tz分別表示沿3個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角度和平移大小。

為了使測(cè)量點(diǎn)定位到理論曲面，最小二乘定位要求所有測(cè)量點(diǎn)到理論曲面距離的平方和最小，這會(huì)過高估計(jì)高精度區(qū)域的誤差，不能滿足區(qū)域精度存在差異的復(fù)雜曲面定位要求。本文算法的基本思想是：首先按照精度要求將曲面進(jìn)行分割，并利用最小二乘定位作為初始位置；然后利用區(qū)域距離的統(tǒng)計(jì)特征預(yù)估區(qū)域精度，構(gòu)造相應(yīng)的區(qū)域定位影響因子；最后，在每一步迭代中優(yōu)化調(diào)節(jié)不同區(qū)域的定位姿態(tài)，從而自適應(yīng)地獲得測(cè)量數(shù)據(jù)與理論曲面的定位結(jié)果。

基于動(dòng)態(tài)精度預(yù)估機(jī)制，建立定位問題的自適應(yīng)加權(quán)數(shù)學(xué)模型如下：

(4)

式中：dj(R,T)表示數(shù)據(jù)模型對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離;m為不同精度區(qū)域的分類數(shù);li為第i類曲面對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)個(gè)數(shù);ωi為第i類曲面對(duì)應(yīng)定位影響因子，由預(yù)估精度來確定，它表明該類曲面在定位過程中的作用。

2 基于動(dòng)態(tài)精度評(píng)估機(jī)制的定位方法

2.1 不同區(qū)域?qū)Χㄎ唤Y(jié)果的影響

定位的目的是獲得測(cè)量數(shù)據(jù)相對(duì)理論曲面滿足工程要求的空間位姿，具體來說就是獲得測(cè)量點(diǎn)與其在理論模型上對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的最佳距離分布。本文通過給不同測(cè)量點(diǎn)對(duì)之間的距離賦予相應(yīng)權(quán)因子來控制不同精度數(shù)據(jù)點(diǎn)在定位中的影響。由自適應(yīng)加權(quán)優(yōu)化模型(式(4))可獲知權(quán)因子與點(diǎn)對(duì)間距離變換的關(guān)系：權(quán)因子與距離變化方向相反，即權(quán)因子變大，絕對(duì)距離減??；權(quán)因子減小，則距離變大?？梢姡{(diào)節(jié)權(quán)因子可控制不同區(qū)域曲面與目標(biāo)曲面之間的距離分布。本文通過動(dòng)態(tài)地統(tǒng)計(jì)分析兩數(shù)據(jù)模型之間的精確位姿，預(yù)估區(qū)域精度，獲得下一步定位的權(quán)因子。該方法適用于具有不同區(qū)域精度的曲面的定位。為了清楚地說明不同區(qū)域曲面對(duì)整個(gè)定位結(jié)果的影響，用如圖1所示仿真工件進(jìn)行自適應(yīng)加權(quán)定位實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)模型均采用均勻的三角網(wǎng)格描述。該仿真工件為立方體的3個(gè)相鄰表面構(gòu)成的組合曲面，3個(gè)不同精度的區(qū)域平面更能直觀顯示定位結(jié)果。圖1a為理論模型，3個(gè)平面分別為Q1,Q2,Q3。圖1b是3個(gè)面加上從小到大不同程度噪聲后的模型，模擬實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)中各區(qū)域從高到低的精度。圖1c顯示了模擬數(shù)據(jù)的理論精度情況。圖1d和圖1e中藍(lán)色連續(xù)曲面表示理論模型，法矢向外；黃色網(wǎng)格表示定位變換后的測(cè)量模型?；谕怀跏紶顟B(tài)，圖1d和圖1e分別是經(jīng)典的ICP算法和本文算法的定位結(jié)果。圖1d中，精度最高的面Q1的誤差估計(jì)過高，整體發(fā)生了偏移，誤差分布與實(shí)際不符；而精度最低的面Q3的誤差評(píng)估結(jié)果卻得到了改善。圖1e中定位結(jié)果更接近理論定位，特別是精度要求較高的面Q1獲得了較好的定位結(jié)果(第3章將分析算法的工作原理，揭示兩種定位的作用機(jī)理，并給出具體數(shù)據(jù)分析)?？梢姡瑓^(qū)域精度對(duì)定位結(jié)果的影響不容忽視，是提高定位精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵。

2.2 基于精度預(yù)估機(jī)制的定量影響權(quán)因子

為給出不同精度區(qū)域?qū)φw定位結(jié)果的影響，首先要對(duì)理論曲面進(jìn)行分類，依精度不同將理論曲面分為m類：S={Q(i)|i=1,2,…,m}; 然后根據(jù)區(qū)域精度預(yù)估，分別賦予不同曲面類相應(yīng)的權(quán)因子ω1,ω2,…,ωm。設(shè)與曲面類Q(i)對(duì)應(yīng)的測(cè)量點(diǎn)云為S(i)，定位目的是找到兩對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)之間的理想相對(duì)位姿，以滿足誤差或精度需要。均方根誤差和平均誤差是常用的兩個(gè)衡量曲面精度的指標(biāo)，定義

(5)

rmsi和avdi分別為第i類曲面的均方根誤差和平均誤差，其中均方根誤差最小與該類曲面的最小二乘定位目標(biāo)表示一致。不考慮區(qū)域精度差異的最小二乘定位獲得了整體的最小均方根誤差，即各區(qū)域均方根誤差均勻分布，從而導(dǎo)致高精度區(qū)域誤差估計(jì)過大，因此，給出區(qū)域定量影響權(quán)因子，是區(qū)域精度不同的復(fù)雜曲面進(jìn)行適應(yīng)性定位的必要前提。

分析第i類測(cè)量點(diǎn)和對(duì)應(yīng)理論曲面的當(dāng)前位姿，根據(jù)2.1節(jié)中的分析，利用式(5)兩個(gè)定位指標(biāo)構(gòu)造第i類曲面下一步定位變換的影響權(quán)因子如下：

(6)

式中dj(R(k),T(k))是該i類曲面當(dāng)前第j個(gè)對(duì)應(yīng)距離。統(tǒng)計(jì)當(dāng)前位姿的均方根誤差和平均誤差，給出區(qū)域精度預(yù)估，并度量下一步迭代定位中區(qū)域精度的定量影響程度，用定位指標(biāo)rmsi和avdi優(yōu)化控制定位位姿。每一步迭代前的區(qū)域精度預(yù)估，給出了式(4)定位方法中不同精度區(qū)域在定位中的影響程度，不但有效防止了低精度曲面導(dǎo)致的整體位姿發(fā)生偏離，而且對(duì)不同區(qū)域的定位影響進(jìn)行了相應(yīng)度量，使得定位結(jié)果具有更高的適應(yīng)性。

2.3 自適應(yīng)加權(quán)最小二乘問題的線性化求解

定位問題中的距離函數(shù)di(R,T)=‖RPi+T-Qi‖是旋轉(zhuǎn)變量θx,θy,θz和平移變量tx,ty,tz的非線性函數(shù)，式(4)所示加權(quán)定位模型為高度非線性優(yōu)化問題?？紤]空間三維旋轉(zhuǎn)變換和平移變換的齊次表示

(7)

式中：g為變換的線性表達(dá)矩陣，因此距離函數(shù)轉(zhuǎn)化為向量ξ的線性表示，令

ξ=vec(g)。

f(ξ)=ξTAξ-2bTξ+c。

(8)

其中:

(9)

(10)

(11)

Aξ=b。

(12)

式中A，b如式 (9)和式(10)所示。

利用矩陣分塊思想，可通過求解3個(gè)系數(shù)矩陣相同的四階線性方程組得到方程組式(12)的解，并由此得變換矩陣g，進(jìn)而獲得旋轉(zhuǎn)矩陣和平移變量。由于每次迭代中變換矩陣g(k)可以通過線性求解ξ(k)得到，不需要迭代求解非線性問題，因此求解速度快，魯棒性高。用經(jīng)典的奇異值分解法或四元素法求解加權(quán)最小二乘問題時(shí)，需要分別利用奇異矩陣和特征向量構(gòu)造變換矩陣，計(jì)算量比本算法大，實(shí)驗(yàn)部分將給出具體效率比較。

2.4 算法步驟

本文所提基于精度預(yù)估機(jī)制的自適應(yīng)加權(quán)最小二乘定位方法通過動(dòng)態(tài)更新權(quán)因子，預(yù)估不同曲面區(qū)域在定位中的定量影響。由于算法對(duì)初始位置要求較高，本文選取經(jīng)典的ICP算法作為初始定位。在每次定位迭代過程中，先預(yù)估不同區(qū)域的制造精度，并由式 (6) 構(gòu)造區(qū)域定位影響權(quán)因子，因?yàn)楦呔葏^(qū)域在定位優(yōu)化求解中得到優(yōu)先考慮，所以得到更好的定位。算法流程如圖2所示，具體算法步驟如下：

步驟1初始化旋轉(zhuǎn)矩陣R為單位矩陣，平移向量T為零向量，令初始迭代次數(shù)k=0，給定各曲面類初始權(quán)因子為1/li(i=1,…,m)，旋轉(zhuǎn)變量和平移變量的停止條件為ε1,ε2，定位指標(biāo)rmsi和avdi的停止條件為ε3,ε4，并設(shè)定最大迭代次數(shù)kmax。

步驟2對(duì)于測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，搜索理論曲面模型上的最近點(diǎn)Qi，并獲得Qi所在曲面類的權(quán)因子ωi。

步驟3利用四階線性方程組求解加權(quán)最小二乘問題式 (4)，得到齊次變換陣，利用式(13)計(jì)算旋轉(zhuǎn)角θx,θy,θz和平移量tx,ty,tz，再利用式 (2) 計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量Rk和Tk。

θy=arcsin(r13),θx=arctan(-r23/r33),θz=arctan(-r12/r11),tx=r14,ty=r24,tz=r14。

(13)

其中rij(i,j=1，…，4)為式(7)中變換矩陣元素。

R=RkR,T=RkT+Tk。

(14)

步驟5若式(15)中變換停止條件ΔR≤ε1,ΔT≤ε2成立，轉(zhuǎn)步驟6，否則轉(zhuǎn)步驟2。

(15)

步驟6若式(16)中位姿停止條件Δrmsi≤ε3,Δavdi≤ε4成立或者k=kmax，停止迭代，退出；否則轉(zhuǎn)步驟2。

(16)

3 加權(quán)定位約束

所提加權(quán)最小二乘定位模型通過權(quán)因子控制定位結(jié)果，從而獲得不同區(qū)域的誤差分布。本章研究權(quán)因子在定位中的作用機(jī)理?？紤]算法的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(X)隨空間變量X=(θx,θy,θz,tx,ty,tz)T的變化，由全微分公式得到

(17)

E(f)=dXTAωdX。

(18)

其中二次型E(f)表示目標(biāo)函數(shù)值隨自變量的微小改變而發(fā)生的改變，其中二次型的系數(shù)矩陣Aω如下：

(19)

這是一個(gè)6×6的對(duì)稱半正定矩陣，由于Aω中包含了加權(quán)定位中的權(quán)因子、測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，稱Aω為加權(quán)定位信息矩陣。為研究空間變量的擾動(dòng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)造成的影響，對(duì)加權(quán)信息矩陣進(jìn)行奇異值分解，得

Aω=QΛQT=(q1,q2,q3,q4,q5,q6)diag(λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6)(q1,q2,q3,q4,q5,q6)T。

(20)

其中diag(·)表示對(duì)角型矩陣；λ1≥λ2≥λ3≥λ4≥λ5≥λ6為Aω的特征值；qi(i=1,2,…,6)表示對(duì)應(yīng)于特征值λi(i=1,…,6)的單位特征向量，特征向量表示變換變量的微分變換?，F(xiàn)將式(20)代回式(18)得到

(21)

式中q1是最大特征值對(duì)應(yīng)的最大約束變換，微分變換q1引起的能量變化最大，說明該方向上定位約束最大；反之，最小特征值對(duì)應(yīng)的特征方向上微分變換產(chǎn)生的能量最小，若最小特征值為零，則其方向上的定位處于自由狀態(tài)，即該方向上的微分變換對(duì)定位目標(biāo)函數(shù)無(wú)影響。由式(21)可知，λi與qi變換引起的函數(shù)變化成比例，因此大的特征值是主約束力，對(duì)應(yīng)的特征向量是主約束方向。迭代定位中，加權(quán)定位信息矩陣Aω通過權(quán)因子調(diào)節(jié)主方向和主約束力，從而調(diào)節(jié)不同權(quán)對(duì)應(yīng)區(qū)域的定位結(jié)果。

圖1利用仿真數(shù)據(jù)模型的定位結(jié)果說明了動(dòng)態(tài)定位權(quán)因子的重要作用。這一數(shù)據(jù)模型是立方體3個(gè)互相垂直的相鄰面，分別平行于3個(gè)坐標(biāo)面，這樣不僅容易觀察定位結(jié)果，還便于直觀理解定位約束分析中的空間變換。本章利用這一數(shù)據(jù)模型進(jìn)行定位約束分析，說明本文算法的作用機(jī)理。圖3a～圖3c是初始狀態(tài)下3個(gè)面的正視圖。對(duì)ICP算法和本文算法進(jìn)行定位約束分析，表1給出了不同權(quán)因子的最大約束變換方向。ICP算法沒有考慮曲面的不同區(qū)域在定位中的影響程度，因此可視為區(qū)域權(quán)因子均為1的加權(quán)定位，最大約束變換方向?yàn)槔@x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0.45弧度，由圖3a可見曲面Q2,Q3精度得到改善；繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0.25弧度，由圖3b可見曲面Q1,Q3定位位姿得到改善；再沿x軸負(fù)方向平移0.85 mm，曲面Q1定位精度下降。本文算法中，曲面Q1的權(quán)因子相對(duì)變大，最大約束變換方向?yàn)槔@z軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0.095弧度，由圖3c可見曲面Q1,Q2位姿得到改善；繞y軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)0.089弧度，由圖3b可見曲面Q1,Q3定位位姿得到改善；再沿x軸平移0.216 mm，曲面Q1定位精度得到進(jìn)一步改善。由最大約束變換方向可知：在ICP算法中，精度較低的面Q3是主要定位目標(biāo)，這與最小二乘法獲得均衡誤差分布的理論是一致的；本文算法中，具有最高精度的曲面Q1通過區(qū)域精度預(yù)估被賦予了更大的權(quán)因子，空間變換優(yōu)先照顧Q1的定位?？梢?加權(quán)算法通過精度預(yù)估獲得區(qū)域定位權(quán)因子，從而控制空間變換方向，能夠獲得區(qū)域適應(yīng)性更高的定位結(jié)果。

表2是理論定位、ICP定位和本文算法定位后各區(qū)域的誤差數(shù)據(jù)。相對(duì)ICP定位，本文算法結(jié)果中，曲面Q1,Q2的均方根誤差的精度分別提高42.5% 和35.5%，相應(yīng)地，曲面Q3的精度下降12.7%；本文算法更接近理論結(jié)果(如圖1)。從計(jì)算效率來看，本文算法迭代4次，計(jì)算效率是ICP算法(迭代1次)的71.74%。

與理論結(jié)果比較，ICP定位算法和本文定位算法的算法誤差如表3所示，表中：“+”表示曲面誤差被過高估計(jì)，“-”表示曲面誤差被過低估計(jì)。ICP定位的算法誤差與前文分析一致，高精度曲面Q1,Q2的誤差分別被過高估計(jì)93.75%和47.06%，而精度較低的曲面Q3的誤差相應(yīng)地被過低估計(jì)了；3類曲面的本文算法誤差分別是+12.50%、-5.88%和9.02%，本文優(yōu)勢(shì)明顯。

表1 最大約束變換

表2 立方體3個(gè)面的定位結(jié)果比較 mm

表3 定位算法誤差比較

4 整體葉輪精度評(píng)估的定位實(shí)驗(yàn)

本文實(shí)驗(yàn)在CPU 2.10 GHz和RAM 2.5 GB的電腦上用VS 2008軟件編程實(shí)現(xiàn)。

如圖4所示為整體葉輪精度評(píng)估的定位實(shí)例，葉片的壓力面和吸力面的制造精度較高，而靠近葉根部位由于對(duì)氣流影響不大而精度要求相對(duì)較低，輪轂軸端面、葉片前后緣等曲率變換大的地方精度最差?，F(xiàn)根據(jù)工程要求將整體曲面按照精度從高到低分為3類Qj(j=1,2,3)，如圖4a所示。圖4b是葉輪的初始位置，藍(lán)色曲面為理論數(shù)模，黃色為測(cè)量三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)，可見葉片位置偏差較大。將17 068個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)與數(shù)模進(jìn)行直接ICP配準(zhǔn)，獲得如圖4c所示的結(jié)果，易見葉片定位誤差仍較大；采用本文提出的基于精度預(yù)估機(jī)制的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)加權(quán)定位方法，結(jié)果如圖4d，在制造精度要求較高的葉身處得到了較好的定位精度。如表4所示為ICP方法和本文方法定位結(jié)果中測(cè)量數(shù)據(jù)與理論模型的偏差值。比較可知：ICP算法得到的3類曲面的定位精度較均衡，低精度部位的數(shù)據(jù)使定位位姿偏離，在最小二乘意義下，整體上均方根誤差達(dá)到最小0.53 mm；本文算法在精度較高的曲面Q1,Q2處定位精度分別比ICP算法相應(yīng)提高了3.22%和5.66%；ICP定位算法效率稍高，綜合考慮，本文方法更符合實(shí)際工程要求。

表4 整體葉輪定位結(jié)果比較

圖5是葉輪3類精度曲面的定位優(yōu)化過程，實(shí)時(shí)采用均方根誤差和平均誤差構(gòu)造權(quán)因子，位姿不斷得到優(yōu)化。圖5a和圖5b分別是均方根誤差和平均誤差隨迭代次數(shù)的收斂變換過程，可見所提算法可以逐步得到測(cè)量數(shù)據(jù)和理論模型的逼近，迭代超過40次后，算法趨于收斂。

5 結(jié)束語(yǔ)

考慮復(fù)雜曲面不同區(qū)域的精度差異性，基于區(qū)域精度預(yù)估機(jī)制進(jìn)行的動(dòng)態(tài)加權(quán)最小二乘法能夠靈活地對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)定位，在直接最小二乘定位下不滿足要求的高精度區(qū)域可獲得更優(yōu)的定位結(jié)果。動(dòng)態(tài)加權(quán)定位模型是連續(xù)的無(wú)約束非線性優(yōu)化問題，不需要額外的精度約束，本文利用線性化方法將問題轉(zhuǎn)化為四階線性方程組求解，計(jì)算高效且具有魯棒性。該方法能夠根據(jù)誤差分布自適應(yīng)地控制測(cè)量曲面的定位位姿且計(jì)算高效，因此適用于復(fù)雜曲面大數(shù)據(jù)定位問題。本算法通過預(yù)估區(qū)域精度來構(gòu)造該區(qū)域在定位中的影響程度。雖然加權(quán)定位方法取得了不錯(cuò)的定位效果，但區(qū)域精度與定位權(quán)系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系需要進(jìn)行更細(xì)致地優(yōu)化。另外，通過最近點(diǎn)算法進(jìn)行預(yù)定位，為本文算法提供收斂的初始位姿，這是一種理想狀態(tài)。在預(yù)定位算法中應(yīng)該考慮區(qū)域數(shù)據(jù)量對(duì)均衡誤差分布的影響，為本文算法提供可靠的收斂初始位姿。