簡諧激勵下雙彈簧非線性能量阱的優(yōu)化*

王國旭 丁虎 陳立群

（上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，上海 200444）

引言

振動在日常生活中是一種常見的物理現(xiàn)象.很多時候人們不希望機器發(fā)生振動，因為振動會產(chǎn)生噪聲、降低使用壽命和給人體造成不適，為此人們致力于通過各種方式抑制有害的振動.

現(xiàn)有的振動控制方式主要分為主動控制、半主動控制和被動控制.相比以智能材料和控制算法為特征的主動和半主動控制［1-3］，被動控制由于具有結(jié)構(gòu)簡單、節(jié)能省材和不需人為控制等優(yōu)勢，廣泛受到關(guān)注.吸振器是一種常用的減振手段.傳統(tǒng)的被動式吸振器如調(diào)諧質(zhì)量阻尼器或線性吸振器（Linear Vibration Absorber，LVA）廣泛應(yīng)用于各種系統(tǒng)的振動抑制，比如U型梁和風(fēng)力機結(jié)構(gòu)的振動控制［4，5］.LVA由質(zhì)量塊、阻尼器和彈簧組成，結(jié)構(gòu)簡單，但只能在較窄的頻帶內(nèi)有振動抑制作用，而且會使系統(tǒng)產(chǎn)生新的共振峰.為了彌補LVA的不足，Chen等［6］在吸振器中引入非線性剛度，實現(xiàn)零線性剛度和多模態(tài)減振，并保持原系統(tǒng)的共振頻率.這種吸振器稱為非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink，NES）.

Gendelman 等［7］和 Vakakis等［8］是研究 NES 的先驅(qū)，他們將立方NES耦合到線性系統(tǒng)，在瞬態(tài)激勵下使能量不可逆地從線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到NES，這種現(xiàn)象稱為能量靶向傳遞（Targeted Energy Transfer，TET）.Jiang等［9］在掃頻簡諧激勵的結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，NES可以在相當(dāng)寬的激勵頻率范圍內(nèi)吸收較多的振動能量.Gendelman等［10］和Starosvetsky等［11］的成果表明NES在強調(diào)制響應(yīng)下可以實現(xiàn)比周期響應(yīng)更好的振動抑制效果.Gourdon等［12］在實驗中通過雙彈簧結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了立方NES，并研究了地震激勵下立方NES的表現(xiàn)，說明相比LVA，NES可以在小質(zhì)量條件下有更好的表現(xiàn).然而，Gourdon等［12］也指出，NES只在大激勵條件下才有較好的減振效果.

為了拓寬NES減振所需的能量條件，ALShudeifat［13］提出了雙彈簧結(jié)構(gòu)的雙穩(wěn)態(tài) NES.與零剛度立方NES不同，雙穩(wěn)態(tài)NES具有負(fù)剛度.ALShudeifat［13］的成果表明在瞬態(tài)激勵下雙穩(wěn)態(tài)NES可以在更大的初始能量范圍內(nèi)實現(xiàn)比立方NES更好的振動抑制效果.Romeo等［14］進一步揭示了瞬態(tài)激勵下雙穩(wěn)態(tài)NES的TET實現(xiàn)方式，即大激勵條件下的非線性拍振和小激勵條件下的阱間混沌運動.Qiu等［15］通過解析方法拓寬了雙穩(wěn)態(tài)NES在簡諧激勵下發(fā)生強調(diào)制響應(yīng)的激勵范圍，提升了NES的減振性能.為改善雙穩(wěn)態(tài)NES阱內(nèi)運動的表現(xiàn)，Habib等［16］參照LVA設(shè)計了一種調(diào)諧雙穩(wěn)態(tài)NES.近年來，許多學(xué)者致力于雙穩(wěn)態(tài)NES的結(jié)構(gòu)設(shè)計，比如屈曲梁和永磁結(jié)構(gòu)［17-19］.

以上簡要介紹了線性和非線性吸振器的特點，實際中我們需要確定吸振器的最優(yōu)減振效果及參數(shù)配置，以此發(fā)掘它的潛在應(yīng)用價值.另外，由于制造誤差和環(huán)境等因素，吸振器的參數(shù)會有微小波動，此時需要找到吸振器的較優(yōu)減振效果及參數(shù)配置，評價其魯棒性.因此，本文將通過差分進化（Differential Evolution，DE）算法和參數(shù)分析優(yōu)化簡諧激勵下能實現(xiàn)立方剛度和雙穩(wěn)態(tài)特點的雙彈簧NES，并對比LVA，說明兩者的區(qū)別和聯(lián)系以及NES的應(yīng)用價值.

1 力學(xué)模型

本文研究的單自由度線性振子（Linear Oscillator，LO）附加雙彈簧NES模型如圖1所示，系統(tǒng)定常參數(shù)如表1所示.M2、C2和KS為NES的質(zhì)量、阻尼和剛度.L1和L2為NES兩個方向上的特征長度.X1和X2為LO和NES的位移.F0和Ω為激勵幅值和頻率.通過調(diào)節(jié)LO兩端支架的距離2L1，雙彈簧NES可以實現(xiàn)單穩(wěn)態(tài)（L1≥L）或圖1中的雙穩(wěn)態(tài)（L1＜L）.

表1 系統(tǒng)固定參數(shù)Table 1 Fixed parameters of LO-NES system

圖1 LO附加雙彈簧NES的力學(xué)模型Fig.1 Model of LO with NES

利用牛頓第二定律，系統(tǒng)控制方程可以寫為

其中T為時間.方程（1）的無量綱形式為

其中（·）表示對無量綱時間t求導(dǎo).各無量綱參數(shù)和變量的表達式為

本文將參照LVA的結(jié)果衡量NES的減振效果，由于LO附加LVA系統(tǒng)的無量綱參數(shù)表達式與LO附加雙彈簧NES系統(tǒng)的一致，方便起見，將ε、c2、ks和x2統(tǒng)稱為吸振器的無量綱質(zhì)量、阻尼、彈簧剛度和位移.由于NES在簡諧激勵下會存在準(zhǔn)周期、強調(diào)制和混沌運動，傳統(tǒng)的半解析方法（比如攝動法和廣義諧波平衡法）不能準(zhǔn)確預(yù)測這些響應(yīng)的時間歷程，而Runge-Kutta法可以，因此本文將利用Runge-Kutta法得到的結(jié)果對NES進行優(yōu)化.設(shè)定Runge-Kutta法的計算時長為100個周期，時間步長為一個周期的1/200，截取時程末尾的周期個數(shù)為20，在所有的激勵頻率下系統(tǒng)位移和速度初值均為0，激勵頻率ω的變化范圍和步長為0.8～1.2和0.02.

2 優(yōu)化方法與問題描述

DE算法通常被用來求非線性、不可微問題的最優(yōu)解，具有速度快、魯棒性好的特點.本文將采用DE算法優(yōu)化雙彈簧NES的四個參數(shù)（ε、c2、ks和l1）和LVA的三個參數(shù)（ε、c2和ks），其流程圖如圖2所示.經(jīng)收斂性驗證和參考文獻［20］，設(shè)定DE算法中的種群規(guī)模為40，最大迭代次數(shù)為100，變異因子為［-2，2］均勻分布的隨機數(shù)，交叉概率為0.9.由于DE算法以一定概率收斂到全局最優(yōu)解，故對同一優(yōu)化問題進行20次試驗，保留最優(yōu)結(jié)果.本文將通過LO掃頻區(qū)間的穩(wěn)態(tài)位移振幅最大值作為衡量吸振器減振效果的依據(jù)，優(yōu)化目標(biāo)即最小化LO在掃頻區(qū)間的振幅最大值.本文也將通過參數(shù)分析方法驗證DE算法的結(jié)果.

圖2 DE算法流程圖Fig.2 Flow chart of DE algorithm

3 數(shù)值算例

本文關(guān)注小質(zhì)量吸振器在掃頻簡諧激勵下的表現(xiàn)，吸振器的參數(shù)優(yōu)化范圍為10-5≤ε≤0.02、10-5≤c2≤10、10-5≤ks≤10 和 10-5≤l1≤2.表 2展示了小和大激勵幅值下兩種吸振器優(yōu)化參數(shù)和最大振幅衰減率RA的結(jié)果.RA為有吸振器時LO在整個頻域內(nèi)最大振幅max（ALO）相對無吸振器時LO最大振幅max(A'LO)的衰減率，其表達式為

表2的結(jié)果表明LVA和NES對LO掃頻最大振幅的最優(yōu)抑制效果、優(yōu)化質(zhì)量和阻尼值幾乎相同，且NES的最優(yōu)抑制效果不受激勵幅值的影響.在NES彈簧剛度ks和幾何參數(shù)l1的優(yōu)化結(jié)果上，隨著l1越遠(yuǎn)離1，ks的值越小.小激勵條件下，最優(yōu)NES的ks大于最優(yōu)LVA的ks，最優(yōu)NES的l1分布范圍較廣；大激勵條件下，最優(yōu)NES的ks與最優(yōu)LVA的ks差別較小，最優(yōu)NES的l1趨近于其上限值.

接著我們通過參數(shù)分析驗證DE算法的結(jié)果，比較NES和LVA較優(yōu)減振效果對應(yīng)的參數(shù)范圍.圖3為最優(yōu)質(zhì)量比條件下不同LVA阻尼和彈簧剛度的LO振幅衰減率結(jié)果，其最優(yōu)減振效果與表2中的數(shù)據(jù)基本重合.圖4為最優(yōu)質(zhì)量比和阻尼條件下不同NES阻尼和彈簧剛度的LO振幅衰減率結(jié)果，相比LVA，NES可以在較大的彈簧剛度范圍內(nèi)實現(xiàn)較優(yōu)的減振效果，尤其是NES接近單穩(wěn)態(tài)彈簧無伸長狀態(tài)的時候（l1=1）.另外，圖4的結(jié)果表明激勵幅值會對NES的較優(yōu)參數(shù)區(qū)域有巨大的影響.在小激勵幅值下，雙穩(wěn)態(tài)（l1＜1）和單穩(wěn)態(tài)（l1＞1）NES均能實現(xiàn)很好的減振效果；而在大激勵幅值下，較優(yōu)的減振效果主要通過單穩(wěn)態(tài)NES實現(xiàn).圖4中NES的最優(yōu)減振效果及其參數(shù)特點也能很好地吻合表2中DE算法的結(jié)果.

表2 DE優(yōu)化算法結(jié)果Table 2 Results of DE algorithm

圖3 ε=0.02時振幅衰減率隨LVA阻尼和彈簧剛度的變化關(guān)系Fig.3 Amplitude decaying rate of with varied damping and spring stiffness of LVA and ε=0.02

圖4 ε=0.02和c2=0.004時振幅衰減率隨NES幾何參數(shù)和彈簧剛度的變化關(guān)系：（a）f0=0.005；（b）f0=0.1Fig.4 Amplitude decaying rate of with varied geometry parameter and spring stiffness of NES，ε=0.02，and c2=0.004：（a）f0=0.005；（b）f0=0.1

進一步我們選取兩種典型的NES幾何構(gòu)型，即雙穩(wěn)態(tài)和單穩(wěn)態(tài)彈簧無伸長NES的減振效果在兩種激勵幅值下隨NES阻尼和彈簧剛度的變化關(guān)系，如圖5和圖6所示.結(jié)果表明，在大多數(shù)情況下，NES的減振效果會同時受阻尼和彈簧剛度的影響，而圖5（b）中單穩(wěn)態(tài)彈簧無伸長NES在小激勵幅值下的減振效果與彈簧剛度基本無關(guān).這是因為處于單穩(wěn)態(tài)彈簧無伸長狀態(tài)的NES控制方程在小激勵幅值下可以通過Taylor級數(shù)展開成零線性剛度和立方剛度的形式，此時NES不需要通過剛度調(diào)諧實現(xiàn)較優(yōu)的減振效果，但此時的減振效果不及最優(yōu)LVA和其他幾何參數(shù)下的最優(yōu)NES.在大激勵幅值下，由于NES響應(yīng)較大，其控制方程的解不在Taylor級數(shù)的收斂域內(nèi)，此時單穩(wěn)態(tài)彈簧無伸長NES不具有零剛度特性，需要通過剛度調(diào)諧實現(xiàn)較優(yōu)的減振效果.這也是圖6兩種NES結(jié)果非常接近的原因.由于本文研究的NES具有線性阻尼，與LVA一樣，NES也需要通過阻尼調(diào)諧實現(xiàn)較優(yōu)的減振效果.

圖5 ε=0.02和f0=0.005時振幅衰減率隨NES阻尼和彈簧剛度的變化關(guān)系：（a）l1=0.99；（b）l1=1Fig.5 Amplitude decaying rate of with varied damping and spring stiffness of NES，ε=0.02，and f0=0.005：（a）l1=0.99；（b）l1=1

圖6 ε=0.02和f0=0.1時振幅衰減率隨NES阻尼和彈簧剛度的變化關(guān)系：（a）l1=0.99；（b）l1=1Fig.6 Amplitude decaying rate of with varied damping and spring stiffness of NES，ε=0.02，and f0=0.1：（a）l1=0.99；（b）l1=1

以上討論了LVA和NES的參數(shù)優(yōu)化特點，那么優(yōu)化后系統(tǒng)的響應(yīng)會是怎樣的呢？圖7和圖8解答了這個問題.ALVA和ANES分別表示LVA和NES的穩(wěn)態(tài)位移振幅.圖7和圖8中LVA的參數(shù)為表2中的數(shù)據(jù)，NES的參數(shù)為圖5和圖6中的最優(yōu)參數(shù)，每個激勵頻率下LO和吸振器的初始位移和速度均為0.圖7和圖8的結(jié)果表明，在小和大激勵幅值下，NES對應(yīng)的最優(yōu)LO響應(yīng)接近LVA對應(yīng)的最優(yōu)LO響應(yīng)，即LO均存在兩個較為平緩的峰值，吸振器的共振頻率略低于LO的固有頻率.而小激勵幅值下的單穩(wěn)態(tài)彈簧無伸長NES由于具有零剛度特性，此時LO和NES的共振頻率仍為無NES時LO的共振頻率，但減振效果不明顯.圖7和圖8的結(jié)果還說明，對LO的振動抑制主要通過較大的吸振器振幅實現(xiàn)，為了保護較大激勵幅值下的吸振器，需要對其引入限幅裝置，但此時減振效果需要進一步核實和優(yōu)化.另外，激勵幅值的大小不僅會影響NES參數(shù)的較優(yōu)區(qū)域，也會影響系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，尤其是NES的幅頻響應(yīng)和雙穩(wěn)態(tài)NES的運動特性.具體來說，在大激勵條件下，NES在低頻區(qū)和高頻區(qū)的幅值較小，而共振區(qū)存在幅值的突彈跳變現(xiàn)象，這種現(xiàn)象不會發(fā)生于小激勵條件.結(jié)合雙穩(wěn)態(tài)NES兩個穩(wěn)定平衡點之間的距離2l2，可以說明雙穩(wěn)態(tài)NES在小激勵條件下通過阱內(nèi)運動實現(xiàn)全頻域的最優(yōu)減振效果，在大激勵條件下圖8（a）兩條豎直點線所圍成共振區(qū)內(nèi)雙穩(wěn)態(tài)NES的運動形式為阱間運動，而在低頻區(qū)和高頻區(qū)內(nèi)雙穩(wěn)態(tài)NES的運動形式仍為阱內(nèi)運動.

圖7 ε=0.02和f0=0.005時LO、最優(yōu)LVA和NES的幅頻響應(yīng)：（a）l1=0.99；（b）l1=1Fig.7 Frequency response of LO and optimal LVA and NES with ε=0.02 and f0=0.005：（a）l1=0.99；（b）l1=1

圖8 ε=0.02和f0=0.1時LO、最優(yōu)LVA和NES的幅頻響應(yīng)：（a）l1=0.99；（b）l1=1Fig.8 Frequency response of LO and optimal LVA and NES with ε=0.02 and f0=0.1：（a）l1=0.99；（b）l1=1

4 結(jié)論

通過DE算法和參數(shù)分析優(yōu)化簡諧激勵下的LVA和雙彈簧NES，主要結(jié)論如下：

（1）最優(yōu)LVA和最優(yōu)NES在對LO掃頻最大振幅的抑制效果、質(zhì)量和阻尼大小上無明顯差別.

（2）相比LVA，NES可以在較大的彈簧剛度范圍內(nèi)實現(xiàn)較好的減振效果.

（3）激勵幅值對NES最優(yōu)抑制效果的影響不大，但對NES較優(yōu)參數(shù)區(qū)域和幅頻響應(yīng)的影響很大.

（4）零剛度NES適用于小幅激勵，減振效果不及最優(yōu)LVA和雙穩(wěn)態(tài)NES，但不改變系統(tǒng)共振頻率.