不同作動(dòng)器布局和時(shí)滯下柔性懸臂梁振動(dòng)控制研究*

張博 胥奇 李映輝

（西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031）

引言

工程中有大量的柔性懸臂結(jié)構(gòu)，如空間機(jī)械臂、太陽(yáng)能帆板等［1］.該類(lèi)結(jié)構(gòu)容易產(chǎn)生振動(dòng)問(wèn)題，影響其工作效率甚至使用壽命［2］.利用壓電材料控制柔性懸臂結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是一種常見(jiàn)方法［3-7］，研究中關(guān)注更多的是壓電片作動(dòng)器布局、數(shù)目以及尺寸優(yōu)化等［8-10］.在控制中，壓電作動(dòng)器承受的電壓有限，使用多個(gè)作動(dòng)器同時(shí)作用能夠獲得更好的控制效果［5，10］.另外控制中的信號(hào)傳輸、A/D 轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)，不可避免會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯［11-13］.即使很小的時(shí)滯，也可能讓控制律失效［14］.研究多個(gè)壓電作動(dòng)器控制柔性結(jié)構(gòu)振動(dòng)，并考慮時(shí)滯有一定的意義.

本文以懸臂梁為對(duì)象，考慮時(shí)滯效應(yīng)，利用雙壓電作動(dòng)器對(duì)其低頻模態(tài)的振動(dòng)進(jìn)行狀態(tài)反饋控制，研究不同布局和時(shí)滯的雙作動(dòng)器系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)相同控制效果的等價(jià)關(guān)系.

1 系統(tǒng)建模

由圖1所示，兩個(gè)長(zhǎng)為lp的壓電片左端分別位于梁的上表面x11和x21處，在輸入電壓的作用下，壓電片產(chǎn)生力矩可以表示為［8］

圖1 雙作動(dòng)器懸臂梁模型Fig.1 A cantilever beam model with double actuators

其中，h（·）為Heaviside函數(shù)，Uj為第j個(gè)壓電作動(dòng)器輸入電壓，系數(shù)Ka滿(mǎn)足

式中，d31和Ep分別是壓電片壓電常數(shù)和彈性模量.

忽略壓電片質(zhì)量和剛度對(duì)系統(tǒng)的影響，梁受壓電片作用的振動(dòng)方程為

其中，Eb、ρ、Ib、S、y（x，t）分別為梁的彈性模量、密度、截面慣性矩、截面面積、橫向位移.梁橫向位移可進(jìn)一步表示為

其中，φi（x）和qi（t）為其第i階正則模態(tài)和廣義坐標(biāo).利用模態(tài)正交性，第i階廣義坐標(biāo)滿(mǎn)足

其中，ωi是梁的第i階固有頻率.由式（1）和式（5）得

2 懸臂梁的振動(dòng)控制

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

考慮梁的振動(dòng)以低階模態(tài)為主，因此對(duì)其第一階模態(tài)，以雙壓電作動(dòng)器對(duì)其進(jìn)行控制.由式（6）得其狀態(tài)方程為

其中K為反饋增益.由式（7）和式（8）可知，反饋狀態(tài)X（t）為一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)與廣義速度，在實(shí)際應(yīng)用中，該狀態(tài)量不能直接獲取，而需要使用多個(gè)傳感器測(cè)量懸臂梁不同位置的實(shí)際位移和速度來(lái)進(jìn)行相對(duì)精確的預(yù)估，具體方法可以參考文獻(xiàn)［15］和文獻(xiàn)［16］.將式（8）代入式（7）可得懸臂梁狀態(tài)反饋控制方程為

2.2 無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)振動(dòng)控制

接下來(lái)采用極點(diǎn)配置法，給定系統(tǒng)（9）的極點(diǎn)為c和f，且反饋增益K滿(mǎn)足以下關(guān)系

將式（10）代入式（9）可知，此時(shí)不論作動(dòng)器位置怎樣變化（即x11和x21發(fā)生改變），響應(yīng)都將只與初始條件和極點(diǎn)值相關(guān).在該配置方法下，若以K的第一行元素K11和K12為參數(shù)，可求出K的表達(dá)式為

其中，a=-（B11/B21），b和d由作動(dòng)器布局即矩陣B和極點(diǎn)c、f確定.將式（11）代入式（8）得壓電片輸入電壓的關(guān)系

由式（12）可知當(dāng)時(shí)間t確定的時(shí)候，兩作動(dòng)器輸入電壓成線(xiàn)性關(guān)系.下面用表1參數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真.圖2給出了兩組不同作動(dòng)器布局下的懸臂梁一階模態(tài)的響應(yīng)曲線(xiàn)，可見(jiàn)布局改變，系統(tǒng)響應(yīng)仍能保持一致.圖3給出了壓電片輸入電壓關(guān)系曲線(xiàn)，相同壓電片布局下，不同時(shí)刻，曲線(xiàn)斜率保持不變，與式（12）吻合.圖4給出了不同作動(dòng)器布局下的壓電片輸入電壓在同一時(shí)刻的關(guān)系曲線(xiàn)，可見(jiàn)布局改變，曲線(xiàn)斜率隨之改變.

圖2 不同壓電作動(dòng)器布局下的響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.2 Response curves for different actuator layouts

圖3 不同時(shí)刻下雙作動(dòng)器輸入電壓的關(guān)系Fig.3 Relationship between input voltages of two actuators in different time

圖4 不同布局下雙作動(dòng)器輸入電壓的關(guān)系Fig.4 Relationship between input voltages of two actuators in different layouts

表1 懸臂梁和壓電片的基本參數(shù)Table1 Basic parameters of cantilever beam and piezoelectric patch

2.3 時(shí)滯系統(tǒng)振動(dòng)控制

當(dāng)系統(tǒng)有時(shí)滯時(shí)，此時(shí)的控制方程為

式中τ是系統(tǒng)時(shí)滯，U（t-τ）是時(shí)滯輸入電壓.考慮到作動(dòng)器的時(shí)滯效應(yīng)，式（13）可進(jìn)一步表示為無(wú)控和受控兩部分：

式中，Kd是時(shí)滯系統(tǒng)反饋增益，系統(tǒng)（13）中由于時(shí)滯存在，已無(wú)法直接利用2.2節(jié)的極點(diǎn)配置法.此時(shí)，我們將時(shí)滯系統(tǒng)受控部分（14.2）用狀態(tài)變量x（t）的無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)進(jìn)行等效，即

式中k是無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)反饋增益，當(dāng)u（t）=U（t-τ）且式（15）與式（14.2）的初始條件相同時(shí)，兩者完全等價(jià)，此時(shí)兩者的反饋增益有如下關(guān)系［14］

式中φ（t，τ）與φ（t，t-τ）為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，分別為e（A-Bk）（t-τ），e（A-Bk）τ.此時(shí)時(shí)滯系統(tǒng)反饋增益為分段函數(shù)，在第一段較短時(shí)間內(nèi)增益隨時(shí)間變化，之后增益便一直保持為常數(shù).其推導(dǎo)如下：

當(dāng)τ≤t＜2τ時(shí)，有如下兩個(gè)等式

式中X0是時(shí)滯系統(tǒng)零時(shí)刻初始值.利用KdX（t-τ）=kx（t），得KdeA（t-τ）=kφ（t，τ）eAτ，由矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知矩陣 eA（t-τ）可逆，其逆為 eA（τ-t），所以有Kd=kφ（t，τ）eA（2τ-t）.

當(dāng)t≥2τ時(shí)，同理易證Kd=kφ（t，t-τ）.

圖5給出了某布局下時(shí)滯系統(tǒng)和等效的無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖，可見(jiàn)前者受控部分與后者響應(yīng)完全重合.

圖5 時(shí)滯系統(tǒng)與無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.5 Response curves of systems with and without time delay

進(jìn)一步分析兩組時(shí)滯雙作動(dòng)器懸臂梁控制系統(tǒng).此時(shí)兩組系統(tǒng)的控制方程以及與其受控部分等效的無(wú)時(shí)滯控制方程可以寫(xiě)成如下形式

式中，Bi為第i組時(shí)滯系統(tǒng)與無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)的控制矩陣，跟壓電作動(dòng)器布局相關(guān)，τi和Kdi是第i組時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯和時(shí)滯反饋增益，ki是第i組無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)反饋增益.若讓兩組時(shí)滯不同的系統(tǒng)有相同的控制效果，可以讓第一組系統(tǒng)受控部分從τ2時(shí)刻開(kāi)始（假定τ1＜τ2）.由式（16）可得時(shí)滯反饋增益與各自等效無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)的反饋增益關(guān)系如下

引入與各自時(shí)滯系統(tǒng)受控部分完全等效的無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)，再通過(guò)2.2節(jié)的極點(diǎn)配置令等效的無(wú)時(shí)滯系統(tǒng)有相同的控制效果，從而可以讓與之對(duì)應(yīng)的時(shí)滯系統(tǒng)控制效果相同.圖6給出了某相同時(shí)滯不同作動(dòng)器布局下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)，可見(jiàn)作動(dòng)器布局改變，系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)仍能重合.當(dāng)兩組時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯不同時(shí)，利用式（17）和式（18）得到對(duì)應(yīng)時(shí)滯系統(tǒng)分段的反饋增益，能夠讓兩組不同時(shí)滯的系統(tǒng)具有相同的控制效果.圖7給出了作動(dòng)器布局相同時(shí)滯不同下的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)，可見(jiàn)兩條曲線(xiàn)完全重合.圖8給出了作動(dòng)器布局與時(shí)滯均不相同的系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)，此時(shí)兩組曲線(xiàn)完全重合，其控制效果完全一樣.

圖6 不同作動(dòng)器布局下時(shí)滯系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.6 Response curves of time-delayed systems with different actuator layouts

圖7 相同作動(dòng)器布局不同時(shí)滯下系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.7 System response curves with same actuator layouts and different time delays

圖8 不同作動(dòng)器布局不同時(shí)滯下系統(tǒng)響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.8 System response curves with different actuator layouts and different time delays

3 結(jié)論

本文使用雙壓電作動(dòng)器對(duì)柔性懸臂梁的振動(dòng)進(jìn)行控制，并研究了作動(dòng)器位置、控制回路時(shí)滯等對(duì)控制效果的影響.研究表明，雙作動(dòng)器在不同位置和時(shí)滯的情況下，都可以達(dá)到同樣的控制效果.文中給出了無(wú)時(shí)滯時(shí)作動(dòng)器增益和電壓等應(yīng)滿(mǎn)足的線(xiàn)性關(guān)系式，以及存在時(shí)滯時(shí)分段反饋控制的增益公式.不同時(shí)滯下，分段反饋控制的增益在大部分時(shí)間內(nèi)都是常數(shù)，這也有利于其控制律的實(shí)際應(yīng)用.在單作動(dòng)器的性能受限時(shí)，可采用本文的多作動(dòng)器控制律對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行等效控制.此外，本文建模尚未考慮壓電作動(dòng)器質(zhì)量和剛度的影響，以及傳感器的選擇、布局等的影響，對(duì)此作者將繼續(xù)展開(kāi)相應(yīng)研究.