啞鈴型航天器剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)建模與仿真分析*

王博洋 劉鑄永? 鄭鵬飛

（1.上海交通大學(xué)船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海 200240）（2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

引言

隨著科技發(fā)展，我們的目光投向了更深更廣闊的太空.由于深空探測(cè)要求航天器長(zhǎng)時(shí)間在軌工作，這給能源技術(shù)帶來了很大的挑戰(zhàn)［1］.核能源具有高能量密度、使用壽命長(zhǎng)等特點(diǎn)，是解決深空探測(cè)能源問題的一個(gè)有效途徑.然而核動(dòng)力航天器的一個(gè)重要問題就是核輻射.在設(shè)計(jì)核動(dòng)力航天器時(shí)，必須將核反應(yīng)堆和航天器主體分離開，中間由桁架連接，這就會(huì)導(dǎo)致航天器整體構(gòu)型出現(xiàn)質(zhì)量集中在兩端，中間由桁架連接的“啞鈴型”.目前已有的啞鈴型航天器概念設(shè)計(jì)航天器有Project Gerkule的Space Tug飛船，Project Promethe的JIMO和TPM飛船等［2］.這種類型的航天器主要由主星體、連接桁架和末端反應(yīng)堆組成.

傳統(tǒng)航天器一般由主星體和太陽電池陣構(gòu)成［3］，有時(shí)根據(jù)任務(wù)需要還會(huì)附帶網(wǎng)狀天線等［4］.這些航天器主星體質(zhì)量占主導(dǎo)地位，在建模時(shí)常采用“中心剛體+柔性附件”模型［5］.由于啞鈴型航天器的構(gòu)型與質(zhì)量分布同傳統(tǒng)航天器有很大差異，故傳統(tǒng)的建模方法將不再適用于這種類型的航天器.目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)于這種新構(gòu)型的啞鈴型航天器軌道—姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和控制研究相對(duì)較少.文獻(xiàn)［6，7］將系統(tǒng)兩端簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，中間由為無質(zhì)量剛性桿連接.文獻(xiàn)［8，9］將兩端物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，連接桁架簡(jiǎn)化為無質(zhì)量的彈簧.文獻(xiàn)［10］將兩端物體簡(jiǎn)化為剛體，中間由無質(zhì)量的彈簧連接.文獻(xiàn)［11-13］將末端反應(yīng)堆簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，連接桁架簡(jiǎn)化為一根柔性梁，通過有限元方法將航天器整體離散，利用牛頓-歐拉方程和結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程建立了航天器的動(dòng)力學(xué)模型.文獻(xiàn)［14］兩端物體簡(jiǎn)化為剛體，將連接桁架簡(jiǎn)化為一根梁，利用拉格朗日方程建立了平面問題的轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的耦合姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程.

圖1 現(xiàn)有啞鈴型航天器設(shè)計(jì)［2］Fig.1 Dumbbell shape spacecraft

但是現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)模型也存在一定問題，例如：文獻(xiàn)［6-9］中采用的剛體模型對(duì)于一些定性分析是可行的，但是顯然無法反映柔性變形；文獻(xiàn)［10］中采用的剛體+彈簧模型相比剛體模型，更貼近現(xiàn)實(shí)情況，但在模型準(zhǔn)確性方面來說仍有不足；文獻(xiàn)［11-13］中使用的整體離散模型，當(dāng)航天器構(gòu)型上發(fā)生改變時(shí)，便需要重新建立有限元模型計(jì)算整體模態(tài)，這給設(shè)計(jì)、優(yōu)化分析等方面帶來很大不便.此外，文獻(xiàn)［11-13］中將末端反應(yīng)堆簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，沒有考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，這種簡(jiǎn)化的合理性尚值得商榷.

本文針對(duì)啞鈴型航天器構(gòu)型，基于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)單向遞推組集方法，建立了該系統(tǒng)準(zhǔn)確高效的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型，并與現(xiàn)有的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行對(duì)比，探索啞鈴型航天器動(dòng)力學(xué)模型的有效性.

1 啞鈴型航天器剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模

由于啞鈴型航天器中，通常兩端物體的結(jié)構(gòu)剛度較大，在建模時(shí)可以簡(jiǎn)化為剛體；中間的大跨度連接桁架具有較大的柔性，在建模時(shí)必須按照柔性體處理.雖然在運(yùn)行過程中，桁架由于柔性較大會(huì)產(chǎn)生一定的變形，但是與桁架的整體長(zhǎng)度相比，變形仍然可以算是小量，故此時(shí)仍然滿足小變形假設(shè).此時(shí)，系統(tǒng)為兩端剛體外加柔性連接桁架的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng).設(shè)主星體為剛體B1（Main body），連接桁架為柔性體B2（Truss structure），末端反應(yīng)堆為剛體B3（Power unit）.

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推關(guān)系

啞鈴型航天器結(jié)構(gòu)如圖2所示.e1和e3為物體B1和B3的連體基，e2為物體B2的浮動(dòng)基.P2和P3為桁架兩端面中心點(diǎn).對(duì)于柔性桁架而言，采用集中質(zhì)量有限元離散，其上任意一節(jié)點(diǎn)k的絕對(duì)位置可以表示為［15］

圖2 啞鈴型航天器示意圖Fig.2 Schematic diagram of dumbbell spacecraft

式中，r2為B2的浮動(dòng)基基點(diǎn)的位置坐標(biāo)陣，表示節(jié)點(diǎn)k變形后在慣性基的位置坐標(biāo)陣，表示節(jié)點(diǎn)k未變形時(shí)在浮動(dòng)基下的位置坐標(biāo)陣，表示節(jié)點(diǎn)k的平移模態(tài)矩陣在浮動(dòng)基下的位置坐標(biāo)陣，計(jì)算時(shí)保留到s階模態(tài)，a2表示柔性桁架的s階模態(tài)坐標(biāo)，A02表示連體基e2關(guān)于慣性基e0的方向余弦陣，右上標(biāo)“’”為該坐標(biāo)陣是在浮動(dòng)基上的表示.

分別對(duì)式（1）求時(shí)間t一次和二次導(dǎo)數(shù)，并加以整理可得到物體B2上任意一節(jié)點(diǎn)k與其絕對(duì)速度和加速度的矩陣表達(dá)式：

式中，ω2為浮動(dòng)基e2的角速度在慣性基下的坐標(biāo)陣，上標(biāo)“～”表示該坐標(biāo)陣的反對(duì)稱坐標(biāo)方陣.類似地，定義剛體B1和B3的絕對(duì)速度矩陣：

式中ω1和ω3分別為連體基e1和e3的角速度在慣性基下的坐標(biāo)陣.

此外，在小變形假設(shè)下，由于變形引起的物體B1-B2，B2-B3之間的方向余弦陣可以近似表達(dá)為

其中，I3為3階單位陣，分別表示點(diǎn)P2點(diǎn)和P3點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)模態(tài)矩陣在慣性基下的位置坐標(biāo)陣.基于多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)單向遞推組集方法［16］，可以得到系統(tǒng)中各物體絕對(duì)速度矩陣以及絕對(duì)加速度矩陣之間的遞推關(guān)系式

式中，03為3階零矩陣，0s×3以及0s×1為其下標(biāo)所示階數(shù)的零矩陣.

航天器在運(yùn)行過程中，系統(tǒng)質(zhì)心時(shí)刻都在變化.如圖2所示，定義連體基e與物體B1固結(jié)，其原點(diǎn)C為桁架未變形時(shí)系統(tǒng)的質(zhì)心.當(dāng)桁架變形時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)心在C點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng).定義r為原點(diǎn)C在慣性基的坐標(biāo)陣.為了表示C點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用以下轉(zhuǎn)換關(guān)系：

1.2 動(dòng)力學(xué)方程

基于速度變分原理［17］，可得到整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：

其中mi和Ji為物體Bi的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量陣.將運(yùn)動(dòng)學(xué)遞推關(guān)系式（10）、式（11）和式（17）代入式（21）得

由于采用了單向遞推組集的方法，非獨(dú)立的變分項(xiàng)在遞推過程中由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系消去，此時(shí)變分獨(dú)立，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

其中廣義質(zhì)量陣的各項(xiàng)為

式中，Mtt為系統(tǒng)質(zhì)量陣；Mtr為系統(tǒng)平移-轉(zhuǎn)動(dòng)耦合矩陣，在系統(tǒng)未變型時(shí)為零矩陣；Mta為系統(tǒng)平移-振動(dòng)耦合矩陣；Mrr為系統(tǒng)相對(duì)于O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量陣；Mra為轉(zhuǎn)動(dòng)-振動(dòng)耦合矩陣；Maa為振動(dòng)質(zhì)量陣.

式中，mi為物體Bi的質(zhì)量，Ji為物體Bi的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量在慣性基上的坐標(biāo)陣，Ca和Ka分別為柔性桁架的模態(tài)阻尼陣和模態(tài)剛度陣.此外還有一些為表示方便而定義的矩陣：

該動(dòng)力學(xué)模型保留了所有變形產(chǎn)生的高次耦合項(xiàng)，為全耦合的“剛體-桁架-剛體”模型.此外，按照文獻(xiàn)［11-13］，將末端物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，即J'3=0時(shí)，該模型稱為“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型.

2 數(shù)值仿真與分析

利用推導(dǎo)的動(dòng)力學(xué)方程，編寫動(dòng)力學(xué)計(jì)算程序，設(shè)計(jì)工況對(duì)其進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真.由于本文著重討論的是具有啞鈴狀構(gòu)型特點(diǎn)的航天器的動(dòng)力學(xué)建模過程，并不針對(duì)某一特定型號(hào)進(jìn)行建模，故在仿真計(jì)算時(shí)可用相對(duì)理想的參數(shù)模型，系統(tǒng)具體參數(shù)如表1所示.其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣分別為物體相對(duì)各自質(zhì)心連體坐標(biāo)系（B2為相對(duì)質(zhì)心浮動(dòng)坐標(biāo)系）.利用有限元軟件Abaqus對(duì)30m長(zhǎng)的柔性桁架進(jìn)行有限元離散，單元類型采用B33歐拉梁?jiǎn)卧?，?jié)點(diǎn)數(shù)為1292，單元數(shù)為1612.

表1 物體質(zhì)量與慣量Table 1 Mass and inertia of bodies

取自由—自由邊界條件，動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)保留除剛體模態(tài)外的前11階模態(tài).各階模態(tài)頻率如表2所示，模態(tài)振型如圖3所示.當(dāng)中包含8階彎曲模態(tài)，如第1-6階和第8-9階；兩階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，如第7階和第10階；一階縱向振動(dòng)模態(tài)，如第11階.

圖3 桁架構(gòu)型與各階模態(tài)振型圖Fig.3 Modal shape of truss structure

表2 桁架物理參數(shù)Table 2 Parameters of truss

由于本文考慮的是空間問題，故桁架的彎曲模態(tài)中會(huì)出現(xiàn)頻率相同、但振型正交的兩組模態(tài).

2.1 動(dòng)力學(xué)仿真

分別采用本文推導(dǎo)的“剛體-桁架-剛體”模型、文獻(xiàn)［11-13］提出的“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型以及文獻(xiàn)［10］提出的“剛體-彈簧-剛體”模型三種模型進(jìn)行數(shù)值仿真對(duì)比.仿真時(shí)，“剛體-桁架-剛體”模型和“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)保留前11階模態(tài).仿真時(shí)采用滾轉(zhuǎn)、偏航、俯仰角描述姿態(tài).

在實(shí)際運(yùn)行過程中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)集中在主星體B1處，故仿真時(shí)主動(dòng)力只施加在主星體B1上.本文采用的仿真工況為航天器三個(gè)方向均受外力矩作用，模擬航天器作姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)的情況，具體數(shù)值大小見表3.由于航天器構(gòu)型的原因，其滾轉(zhuǎn)軸方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于偏航和俯仰方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，故該方向施加的外力也相應(yīng)較小.

表3 桁架模態(tài)頻率Table 3 Modal frequencies of truss

表4 受力情況Table 4 Acting forces

動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)長(zhǎng)為100s，仿真結(jié)果如圖4-6所示，對(duì)比了三種模型的姿態(tài)坐標(biāo)、桁架最大變形和末端物體相對(duì)姿態(tài)的時(shí)間歷程.

圖4 主星體姿態(tài)角俯仰角對(duì)比Fig.4 Comparison of attitude angles of main body

圖5 桁架最大變形量對(duì)比Fig.5 Comparison of truss maximum deformation

圖6 末端物體相對(duì)姿態(tài)Fig.6 Relative attitude angles of power unit

2.2 動(dòng)力學(xué)模型對(duì)比分析

從圖4中可以看出，由于連接桁架柔性較大，故航天器在受到外力矩時(shí)，會(huì)產(chǎn)生較大幅度的低頻振動(dòng)，從圖5（c）中可以看出，桁架末端的最大變形幅度可達(dá)1.2m.這種振動(dòng)對(duì)于航天器的正常運(yùn)行來說是十分不利的.故在進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí)，應(yīng)采取一定措施，控制桁架變形，減小振動(dòng)幅度.

從“剛體-桁架-剛體”模型和“剛體-彈簧-剛體”模型的對(duì)比中可以看出，“剛體-桁架-剛體”動(dòng)力學(xué)模型能夠很好地反映出航天器由于連接桁架的彈性振動(dòng)與航天器姿態(tài)之間的耦合.從圖5可以看出，由于桁架縱向剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫向剛度，桁架的變形主要為彎曲變形，而不是縱向的伸縮變形，導(dǎo)致“剛體-彈簧-剛體”模型的響應(yīng)與剛體類似，無法體現(xiàn)出彈性振動(dòng)與航天器姿態(tài)之間的耦合.由此說明對(duì)于啞鈴型的航天器，文獻(xiàn)［9］中的“剛體-彈簧-剛體”模型無法準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.

從圖4中的“剛體-桁架-剛體”模型和“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型的對(duì)比中可以看出，忽略末端物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)會(huì)產(chǎn)生一定的差異.從圖4（a）可以看出，兩模型在主星體滾轉(zhuǎn)角上的差異明顯，且趨于發(fā)散.這是由于啞鈴型航天器的構(gòu)型特點(diǎn)造成的，其滾轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)軸，這導(dǎo)致末端物體滾轉(zhuǎn)軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量占整體的比例會(huì)遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向.此時(shí)如果忽略了末端物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，會(huì)造成較大的誤差.兩模型差異不僅體現(xiàn)在大范圍剛體運(yùn)動(dòng)上，還體現(xiàn)在其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)上.從圖6（a）中相對(duì)姿態(tài)的對(duì)比還可以看出，忽略了末端物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型的扭轉(zhuǎn)變形會(huì)遠(yuǎn)小于“剛體-桁架-剛體”模型.從圖4（b）、圖4（c）、圖6（b）、圖6（c）可以看出，雖然兩模型在偏航角和俯仰角上的差異小于滾轉(zhuǎn)角，但是存在擴(kuò)大的趨勢(shì).這是因?yàn)榭臻g物體的三方向轉(zhuǎn)動(dòng)是耦合的，隨著時(shí)間的增加，兩模型在偏航角和俯仰角上的差異會(huì)因?yàn)闈L轉(zhuǎn)角差異的增加而增加.

“剛體-桁架-剛體”模型和“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型差異不僅體現(xiàn)在響應(yīng)幅值上，還體現(xiàn)在響應(yīng)頻率上.在圖4（b）—圖4（c）和圖5（b）—圖5（c）中，兩模型響應(yīng)幅度差異不大，但兩模型響應(yīng)頻率有較明顯的差異.從定性分析的角度，將整體簡(jiǎn)化為一個(gè)二階線性系統(tǒng)［18］，由于忽略了末端物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，系統(tǒng)的廣義質(zhì)量減小，導(dǎo)致了整體頻率的升高，其頻率相對(duì)誤差在本構(gòu)型參數(shù)下為2%左右.

此外，如表5所示，表中成對(duì)出現(xiàn)的頻率為同一階彎曲模態(tài)在相互垂直的兩個(gè)方向的頻率.由于忽略了末端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型的扭轉(zhuǎn)頻率遠(yuǎn)高于“剛體-桁架-剛體”模型，系統(tǒng)的振動(dòng)性質(zhì)發(fā)生了改變.系統(tǒng)在扭轉(zhuǎn)方向的頻率誤差達(dá)519%，這個(gè)現(xiàn)象從圖6（a）中可以清晰地看出，如果在建模時(shí)忽略了末端的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)方向剛度會(huì)大大增加，與現(xiàn)實(shí)情況不符.

表5 兩模型頻率對(duì)比Table 5 Frequency comparison of two models

綜上所述，由于將末端物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，無論從時(shí)域還是從頻域的角度，都會(huì)帶來較大的誤差，因此在動(dòng)力學(xué)建模時(shí)不能將末端物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，必須考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

3 結(jié)論

為了滿足深空探測(cè)的需求，需要構(gòu)建一種全新的啞鈴型航天器.由于構(gòu)型和質(zhì)量分布的差異，傳統(tǒng)“中心剛體+柔性附件”動(dòng)力學(xué)模型將不再適用.為了滿足啞鈴型航天器總體設(shè)計(jì)的需要，必須針對(duì)該構(gòu)型建立一種高效準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型.

本文針對(duì)啞鈴型構(gòu)型，在小變形假設(shè)下，采用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)單向遞推組集的方法，基于速度變分原理建立該“剛體-桁架-剛體”系統(tǒng)的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)模型.該動(dòng)力學(xué)模型是保留了所有彈性變形和大范圍剛體運(yùn)動(dòng)的耦合項(xiàng).對(duì)比了本文所建立“剛體-桁架-剛體”模型和已有的“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型及“剛體-彈簧-剛體”模型的動(dòng)力學(xué)響應(yīng).研究結(jié)果表明：現(xiàn)有的“剛體-彈簧-剛體”不能很好地反映航天器姿態(tài)與桁架變形之間的耦合效應(yīng).“剛體-桁架-剛體”模型與“剛體-桁架-質(zhì)點(diǎn)”模型在滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)上有較大差異，且隨著時(shí)間的推移，會(huì)導(dǎo)致偏航角和俯仰角也產(chǎn)生較大差異；將末端物體簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)還會(huì)造成系統(tǒng)整體頻率的升高，說明啞鈴型航天器建模時(shí)必須考慮末端物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.“剛體-桁架-剛體”很好地反映了啞鈴型航天器的剛-柔耦合動(dòng)力學(xué)特性.此外，由于啞鈴型航天器質(zhì)量分布的特點(diǎn)，以及整體尺寸和桁架柔性都較大，系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中可能會(huì)產(chǎn)生較大的彈性變形，今后應(yīng)采取適當(dāng)措施抑制桁架振動(dòng).本文研究將為啞鈴型航天器的總體設(shè)計(jì)，特別是控制規(guī)律的設(shè)計(jì)，提供重要的技術(shù)支持.