尹佑旺 鄭佩
(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院學(xué)院,上海 200093)
振動(dòng)是大多數(shù)人類活動(dòng)和工程應(yīng)用中普遍存在的一種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象,例如我們能聽(tīng)到聲音、能說(shuō)話、能看見(jiàn)東西等,都與振動(dòng)密切相關(guān)[1].但有些場(chǎng)合無(wú)關(guān)的振動(dòng)存在,會(huì)對(duì)工程產(chǎn)生較大的不良影響.比如,在各種機(jī)械中,不良的振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致零部件的損傷,產(chǎn)生噪聲,降低工作效率等;在航空航天和海洋等工程領(lǐng)域,由于環(huán)境激勵(lì)導(dǎo)致部件的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)與破壞[2];在一些精密的光學(xué)儀器的使用中,如高分辨率相機(jī),光譜儀等,微振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致圖像模糊或失真.因此減振降振具有很重要的研究意義,減振的方法有許多種,其中隔振是主要方法之一.加裝隔振器是解決這類振動(dòng)問(wèn)題最直接的途徑[3].
隔振器的種類可分為被動(dòng)隔振器、半主動(dòng)隔振器和主動(dòng)隔振器.其中,被動(dòng)隔振器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,不需要外部能量,因此造價(jià)相對(duì)較低,是解決許多工程振動(dòng)傳動(dòng)問(wèn)題中最為常見(jiàn)的一種方案,但是一般的被動(dòng)隔振存在一個(gè)明顯的缺陷,對(duì)于傳統(tǒng)的線性隔振器,只有當(dāng)激勵(lì)頻率大于結(jié)構(gòu)固有頻率的倍時(shí),才能實(shí)現(xiàn)振動(dòng)隔離,因此實(shí)現(xiàn)低頻隔振時(shí),會(huì)遇到靜變形過(guò)大和失穩(wěn)的問(wèn)題[4];主動(dòng)隔振可以克服這個(gè)問(wèn)題,但主動(dòng)隔振控制技術(shù)相對(duì)復(fù)雜,能耗較大,成本較高,并且存在作動(dòng)器輸出力與響應(yīng)時(shí)間的限制、傳感器探測(cè)的信號(hào)在測(cè)量和傳輸過(guò)程中的遲滯等問(wèn)題[5],半主動(dòng)控制系統(tǒng)與主動(dòng)控制系統(tǒng)相比,減振性能較差[6],但半主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)消耗的能量或功率要少得多.與被動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)相比,半主動(dòng)振動(dòng)控制系統(tǒng)的控制單元會(huì)增加重量和設(shè)計(jì)復(fù)雜性[7].被動(dòng)隔振器雖然存在明顯的缺陷,但它的優(yōu)點(diǎn)依舊吸引著許多學(xué)者研究,一類具有高靜態(tài)剛度和低動(dòng)態(tài)剛度特性的非線性被動(dòng)隔振系統(tǒng)可以解決這個(gè)問(wèn)題,其中研究廣泛、應(yīng)用較多的為準(zhǔn)零隔振.準(zhǔn)零剛度隔振是近幾十年深入研究的課題,關(guān)于它的研究與應(yīng)用有許多.Van等[8]早在1979年將負(fù)剛度用于板簧的機(jī)械設(shè)計(jì)中,以減小系統(tǒng)的總剛度.隨后,Platus等[9]于 1991年利用橫向加載的曲梁作為負(fù)剛度元件來(lái)抵消彈簧懸架的剛度,提出了一種用于精密垂直隔振領(lǐng)域的正負(fù)剛度并聯(lián)的隔振器.Carrella等[10]于2008年通過(guò)在正剛度彈簧的外端增加磁性裝置來(lái)實(shí)現(xiàn)正負(fù)剛度并聯(lián),提出了一種高靜態(tài)剛度、低動(dòng)態(tài)剛度的隔振系統(tǒng).Yang等[11]于2013年研究了準(zhǔn)零剛度隔振器的動(dòng)力和功率流特性,發(fā)現(xiàn)增加負(fù)剛度機(jī)制可以大大擴(kuò)大有效隔振的頻帶.Sun等[12]于2014年提出了一種n層剪刀式桁架結(jié)構(gòu)的隔離平臺(tái)來(lái)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性.Kim等[13]于2018年利用準(zhǔn)零剛度機(jī)制,采用一個(gè)預(yù)緊垂直彈簧和具有非線性屈曲特性的水平板彈簧并聯(lián),提出了一種用于超精密傳感系統(tǒng)的新型無(wú)源隔振器.李昊等[14]于2019年提出一種基于混雜雙穩(wěn)定復(fù)合材料層合板自身的負(fù)剛度特性的準(zhǔn)零隔振裝置,Lu等[15-17]在非線性隔振領(lǐng)域也有較多的研究,例如,搭建雙層非線性隔振結(jié)構(gòu)、利用受壓環(huán)特性以及在準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)中引入非線性阻尼等方式來(lái)提高隔振效率等.關(guān)于準(zhǔn)零隔振器的設(shè)計(jì)還有很多研究,大部分的研究還是關(guān)于垂直方向的隔振,對(duì)于扭轉(zhuǎn)方向的相對(duì)較少.Zhou等[18]于2014年提出一種利用預(yù)壓的凸輪彈簧滾子提供的負(fù)剛度與橡膠彈簧提供的正剛度并聯(lián)的扭轉(zhuǎn)準(zhǔn)零隔振器;Zheng等[19]于2016年提出利用兩個(gè)同軸環(huán)形磁鐵的排斥性來(lái)產(chǎn)生負(fù)的扭轉(zhuǎn)剛度來(lái)抵消橡膠彈簧的正剛度;Liu等[20]于2017年利用連桿彈簧負(fù)剛度機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)正負(fù)剛度并聯(lián)扭轉(zhuǎn)隔振器;Li等[21]于2018年利用薄帶材提出了一種新型的具有柔性的負(fù)剛度機(jī)構(gòu),與正剛度彈簧并聯(lián)也能實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性.
準(zhǔn)零剛度實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)大都是利用正負(fù)剛度部件并聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零特性,達(dá)到低頻隔振,有較寬的隔振帶寬.在準(zhǔn)零剛度隔振結(jié)構(gòu)中,正負(fù)剛度部件并聯(lián)時(shí),難免會(huì)存在裝配或者摩擦等因素造成的誤差,從而降低了隔振效率.本文提出了一種新型的連續(xù)的具有柔順性的被動(dòng)隔振器:在機(jī)構(gòu)上,它具有柔性機(jī)構(gòu)免裝備、可整體加工、易于小型化等優(yōu)點(diǎn)[22];在隔振方面,利用軸向與扭轉(zhuǎn)方向的耦合關(guān)系即軸向方向的載荷會(huì)影響扭轉(zhuǎn)方向的剛度,來(lái)實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)方向的低頻隔振,有較寬的隔振帶寬,并在軸向上有較高的承載能力.本文第1節(jié)介紹了柔性隔振結(jié)構(gòu)的構(gòu)型和設(shè)計(jì)思路,并對(duì)單個(gè)單元模型的構(gòu)建進(jìn)行了詳細(xì)的描述,利用有限元軟件對(duì)單元模型進(jìn)行了靜力分析;第2節(jié)分析了單元模型的動(dòng)力學(xué)特性,并利用有限元軟件對(duì)模型進(jìn)行的模態(tài)分析和動(dòng)力學(xué)仿真,得出多種不同參數(shù)下單元模型的隔振效果,還討論各參數(shù)與隔振效率之間的關(guān)系;第3節(jié)搭建了幾種單元模型的多層連續(xù)結(jié)構(gòu)并討論了其隔振效率問(wèn)題及結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)隔振帶隙的影響.
如圖1所示,仿生柔性隔振結(jié)構(gòu)的單元構(gòu)型主要由幾根相同的柔性曲梁與兩個(gè)底板構(gòu)成.柔性曲梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng),曲率為R(z),各曲梁圍繞結(jié)構(gòu)中心軸均勻分布,中心距為d.對(duì)單元模型結(jié)構(gòu)軸向方向施加預(yù)載力F0,當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生z軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)θ(t)時(shí),每根柔性曲梁都會(huì)產(chǎn)生z軸旋轉(zhuǎn)方向的分力Ftz,進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)在扭轉(zhuǎn)方向的剛度.當(dāng)軸向方向的力為拉力時(shí),會(huì)增加該剛度;當(dāng)軸向方向的力為壓力時(shí),會(huì)降低該剛度.利用柔性曲梁這一特性,設(shè)計(jì)出的柔性隔振結(jié)構(gòu)具有良好的軸向承載能力的同時(shí),扭轉(zhuǎn)方向有較好的隔振效果.同時(shí)結(jié)構(gòu)的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)μ也會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度產(chǎn)生影響,其中初始結(jié)構(gòu)參數(shù)μ包含曲梁的長(zhǎng)度L、曲率R(z)、中心距d、橫截面形狀以及材料屬性等.
圖1 單元模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of element structure
圖2為仿生柔性隔振結(jié)構(gòu)單元的一種實(shí)例化三維模型.模型中,兩底板為直徑100mm,厚度5mm的圓形鋼盤(pán);曲梁是總長(zhǎng)為100mm,直徑為2mm,曲率為k的鋼條;為了便于鋼盤(pán)與鋼條之間連接和鋼條曲率的控制,在鋼盤(pán)與鋼條之間加入頂角為60°的三棱柱,可通過(guò)控制三棱柱與軸線的夾角φ來(lái)控制鋼條的斜率.曲率k隨φ的變化規(guī)律為:
圖2 單元結(jié)構(gòu)的三維模型圖Fig.2 3d model diagram of element structure
對(duì)單元模型的靜力特性進(jìn)行分析,圖3為φ=60°時(shí)柔性隔振結(jié)構(gòu)軸向恢復(fù)力與軸向位移的關(guān)系以及扭轉(zhuǎn)回復(fù)力矩與扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系.對(duì)有限元仿真的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行擬合,采用最小二乘法,得到軸向恢復(fù)力Fa與軸向位移z的關(guān)系為:
圖3 單元模型的靜力特性Fig.3 Static characteristics of the element model
無(wú)預(yù)載時(shí)扭轉(zhuǎn)恢復(fù)力偶距Mz與扭轉(zhuǎn)角度θ的關(guān)系為:
Mz=42.58?θ
分析可知,模型的扭轉(zhuǎn)方向剛度與模型的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)μ和軸向預(yù)載F0有關(guān),即模型的扭轉(zhuǎn)剛度函數(shù)Dt可表示為Dt=f(μ,F(xiàn)0).圖4所示為模型處于中心距d=40mm,夾角φ=60°的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)下,在施加軸向預(yù)載后扭轉(zhuǎn)方向的靜力特性.圖4(a)為在不同軸向預(yù)載下,模型扭轉(zhuǎn)方向回復(fù)力偶矩與扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系,圖5(b)為模型扭轉(zhuǎn)剛度Dt與軸向預(yù)載F0的關(guān)系,可以看出,隨著模型的軸向預(yù)載F0的增大,模型的扭轉(zhuǎn)剛度逐漸減小.該實(shí)例模型考慮的可變結(jié)構(gòu)參數(shù)為曲梁的曲率及中心距,故利用對(duì)結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,式中A1,A2,A3,A4,a1,a2,a3為方程系數(shù),采用最小二乘法,得到模型的扭轉(zhuǎn)剛度Dt與軸向預(yù)載F0的數(shù)值關(guān)系為:
圖4 軸向預(yù)載對(duì)單元模型扭轉(zhuǎn)方向剛度的影響Fig.4 Influence of axial preload on torsional stiffness of the element model
式中,Dt的單位為N?m?rad-1,F(xiàn)0的單位為N.
根據(jù)上一節(jié)中對(duì)靜力學(xué)的分析可知,軸向預(yù)載和結(jié)構(gòu)參數(shù)會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的剛度特性存在影響.軸向預(yù)載的不斷增大,結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)剛度會(huì)逐漸減少.對(duì)于實(shí)現(xiàn)柔性隔振結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)方向在扭轉(zhuǎn)角度為零位置處的準(zhǔn)零剛度特性,即在θ=0時(shí),要求扭轉(zhuǎn)剛度Dt=0,再根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)合設(shè)計(jì)合理的初始參數(shù)與軸向預(yù)載.例如,負(fù)載確定的情況下設(shè)計(jì)合理的初始結(jié)構(gòu)參數(shù),或者結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的情況下確定負(fù)載.本節(jié)針對(duì)在中心距d=40mm,夾角φ=60°的初始結(jié)構(gòu)參數(shù)的情況下實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)準(zhǔn)零剛度.
通過(guò)數(shù)值分析和有限元仿真結(jié)果可知,該結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)方向準(zhǔn)零剛度的實(shí)現(xiàn)需要較大的軸向負(fù)載,進(jìn)而產(chǎn)生較大的軸向變形.為了減小軸向變形,保證軸向方向上能有足夠的預(yù)載來(lái)達(dá)到扭轉(zhuǎn)準(zhǔn)零剛度條件,本文的一案例以在每根柔性曲梁的兩端附加軸向彈簧的方式來(lái)實(shí)現(xiàn).圖5(a)為附加軸向彈簧后的結(jié)構(gòu)的單元有限元模型,附加的彈簧剛度系數(shù)k=10N/mm.圖5(b)為附加軸向彈簧后,在幾種預(yù)載下,扭矩與扭轉(zhuǎn)角度的關(guān)系曲線,從中可以看出,隨著軸向預(yù)壓的增大,扭轉(zhuǎn)方向的剛度由開(kāi)始的正剛度逐漸向準(zhǔn)零剛度以及負(fù)剛度轉(zhuǎn)變.當(dāng)預(yù)載mg=950N時(shí),該模型在扭轉(zhuǎn)方向零平衡位置附近區(qū)域達(dá)到了準(zhǔn)零剛度.
圖5 準(zhǔn)零剛度單元結(jié)構(gòu)Fig.5 Quasi-zero stiffness element structure
根據(jù)第2節(jié)中描述的三維模型,利用有限軟件進(jìn)行仿真,將上下兩個(gè)底板設(shè)置為剛體部件,下底板進(jìn)行固定約束,各部件之間采用綁定連接.在這些約束條件下,對(duì)幾種不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的單元模型進(jìn)行模態(tài)分析,得到不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的固有頻率.圖6所示為模態(tài)分析中一階和二階的模態(tài)圖,表1為各單元模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)與前兩階固有頻率.圖6表明,各單元模型的第一階模態(tài)為扭轉(zhuǎn)方向,第二階模態(tài)為軸向方向.從表1中分析單元模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)與固有頻率的關(guān)系,可以看出隨著φ的減小,扭轉(zhuǎn)方向固有頻率逐漸減小,軸向方向固有頻率逐漸增大;隨著中心距d的減小,扭轉(zhuǎn)方向固有頻率逐漸減小,軸向方向固有頻率不變.
表1 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的前兩階固有頻率Table 1 The first two natural frequencies with different structural parameters
圖6 不同類型單元模型的前二階模態(tài)圖Fig.6 First-order and second-order modes of different cells
對(duì)單元模型的隔振性能進(jìn)行分析,圖7所示為柔性隔振結(jié)構(gòu)單元簡(jiǎn)化后的力學(xué)模型,其單元?jiǎng)恿W(xué)方程為:
圖7 隔振結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化模型Fig.7 A simplified model of vibration isolation structure
當(dāng)模型僅受到下底板扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)θ1時(shí),單元模型的動(dòng)力學(xué)方程為:
當(dāng)運(yùn)動(dòng)激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí),即θ1= Θ1sinωt,則上底板的響應(yīng)可表示為θ2= Θ2sin(ωt-φ),單元模型的隔振效率為:
以第1類結(jié)構(gòu)參數(shù)下的單元模型為例,進(jìn)行諧響應(yīng)分析,通過(guò)振動(dòng)幅頻曲線分析其在不同的軸向預(yù)載下的隔振效率,如圖8(a)所示為1類單元扭轉(zhuǎn)方向振動(dòng)幅頻曲線,當(dāng)?shù)?類單元模型參數(shù)沒(méi)有預(yù)載時(shí),結(jié)構(gòu)的起始隔振頻率為71.2Hz,隨著預(yù)載的增大,結(jié)構(gòu)的起始隔振頻率逐步降低,隔振區(qū)域越寬,當(dāng)預(yù)載為500N時(shí),起始隔振頻率降低至42.2Hz.圖8(b)為單元在不同軸向預(yù)載下的有效隔振范圍,結(jié)果可以直觀地看出軸向預(yù)載的增大能降低扭轉(zhuǎn)方向的剛度,從而有效地提高隔振效率,擴(kuò)大隔振范圍.在第1類單元結(jié)構(gòu)的每根曲梁上附加10N/mm的彈簧,當(dāng)軸向預(yù)載為950N的時(shí)候,該幅頻曲線如圖8(c)所示,在該條件下,理論上能實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)方向上全頻率范圍的有效隔振.
圖8 單元模型的隔振性能Fig.8 Vibration isolation performance of element model
柔性隔振結(jié)構(gòu)還可以搭建多層結(jié)構(gòu)來(lái)擴(kuò)大隔振帶寬,圖9(a)為兩個(gè)第1類單元的組合模型圖,對(duì)該組合進(jìn)行諧響應(yīng)分析,根據(jù)獲得的幅頻曲線探究其隔振性能.圖9(b)為1-1組合模型的振動(dòng)幅頻曲線,該組合有兩個(gè)隔振區(qū)域,分別為49.7Hz~68.9Hz和85.7Hz到無(wú)窮,從中可以看出,對(duì)比單層隔振結(jié)構(gòu),雙層隔振結(jié)構(gòu)第一條隔振帶寬可以達(dá)到更低頻的隔振效果.
圖9 1-1組合的雙層結(jié)構(gòu)Fig.9 1-1 combination of double layer structure
同樣地,對(duì)其他類型的單元組合的隔振性能進(jìn)行分析,探究結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)組合單元隔振區(qū)域的影響.表2為幾種雙層隔振結(jié)構(gòu)的隔振帶寬數(shù)據(jù),圖10為結(jié)構(gòu)參數(shù)與隔振區(qū)域之間的關(guān)系.結(jié)果可以看出,無(wú)論是起始頻率還是帶寬,在這幾組雙層隔振結(jié)構(gòu)中,同構(gòu)單元組合比異構(gòu)單元組合的隔振性能要好,同構(gòu)組合單元有較低的起始頻率和相對(duì)較寬的帶寬.在結(jié)構(gòu)參數(shù)上,鋼條曲率越小、中心距d越小的組合單元,起始隔振頻率越低,總帶寬越大,只是第一個(gè)帶寬會(huì)略微變小.
圖10 隔振區(qū)域與結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系Fig.10 The relationship between vibration isolation area and structural parameters
表2 雙層隔振結(jié)構(gòu)的隔振帶寬數(shù)據(jù)Table 2 Vibration isolation bandwidth of double-layer vibration isolation structure
多層隔振結(jié)構(gòu)能夠提高隔振效率,本案例為8層準(zhǔn)零隔振單元組合的結(jié)構(gòu),其有限元模型圖如圖11所示,對(duì)其隔振效率進(jìn)行分析.圖11為在扭轉(zhuǎn)簡(jiǎn)諧激勵(lì)下,激勵(lì)頻率與各層的位移傳遞率之間的關(guān)系,從中可以看出,準(zhǔn)零隔振多層結(jié)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)全頻率范圍的有效隔振.對(duì)比于該單層結(jié)構(gòu),多層結(jié)構(gòu)降低幅值的程度更大.在第1層,響應(yīng)幅值為激勵(lì)幅值50%時(shí)的起始隔振頻率為9.7Hz.而在第8層,響應(yīng)幅值為激勵(lì)幅值50%時(shí)的起始隔振頻率為2.3Hz,響應(yīng)幅值為激勵(lì)幅值1%時(shí)的起始隔振頻率為8.8Hz.由此可以看出,該多層結(jié)構(gòu)較單層結(jié)構(gòu)有更好的隔振效率,同時(shí)自8.8Hz起,能隔離99%來(lái)自基底的振動(dòng).
圖11 多層結(jié)構(gòu)Fig.11 Multilayer structure
本文基于柔性曲梁的力學(xué)特性設(shè)計(jì)了一種新型的柔性隔振結(jié)構(gòu),并對(duì)其性能進(jìn)行了研究.該結(jié)構(gòu)能通過(guò)軸向方向的負(fù)載來(lái)降低扭轉(zhuǎn)方向的剛度,從而達(dá)到扭轉(zhuǎn)方向的準(zhǔn)零剛度特性,實(shí)現(xiàn)低頻隔振.根據(jù)研究結(jié)果與分析,本文的主要貢獻(xiàn)如下:
1)本文提出的新型的柔性隔振結(jié)構(gòu),能通過(guò)利用結(jié)構(gòu)軸向與扭轉(zhuǎn)方向的耦合關(guān)系,從而實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)方向的準(zhǔn)零剛度特性.增加軸向方向的負(fù)載會(huì)降低扭轉(zhuǎn)方向的剛度,提高隔振效率.
2)討論了關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)該仿生柔性隔振結(jié)構(gòu)隔振性能的影響,在運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi),該結(jié)構(gòu)的曲梁初始斜率越小,結(jié)構(gòu)的軸向承載能力越大,扭轉(zhuǎn)方向的起始隔振頻率越小.該結(jié)構(gòu)的曲梁距中心軸的距離越小,結(jié)構(gòu)的軸向承載能力不變,扭轉(zhuǎn)方向的起始隔振頻率越小.
3)多層柔性隔振結(jié)構(gòu)具有較好的低頻隔振性能,準(zhǔn)零隔振單元的多層結(jié)構(gòu)理論上能實(shí)現(xiàn)全頻率范圍的有效隔振,本文提出的8層隔振結(jié)構(gòu),當(dāng)隔振效率為50%時(shí)的起始隔振頻率為2.3Hz,比單層隔振效果較好.
綜上所述,本文提出的新型仿生柔性隔振結(jié)構(gòu)能實(shí)現(xiàn)扭轉(zhuǎn)方向的低頻隔振,且有較大的軸向負(fù)載能力,適用于多種存在扭轉(zhuǎn)低頻隔振的領(lǐng)域.另外,該結(jié)構(gòu)具有柔性機(jī)構(gòu)免裝配、可整體加工、易小型化等特點(diǎn),應(yīng)用的場(chǎng)合很廣.