基于區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析*

熊娜，梅天宇，李飛

(1.南昌理工學(xué)院，江西 南昌 330044；2.湖北宜昌長江三峽游輪中心開發(fā)有限公司，湖北 宜昌 443000)

0 引言

隨著復(fù)雜系統(tǒng)朝著模塊化、集成化方向發(fā)展，傳統(tǒng)故障樹分析方法在復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析中的局限性逐漸凸顯出來[1-4]：①在故障樹模型中通常假設(shè)事件發(fā)生概率為精確值，對于大多數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)而言，故障數(shù)據(jù)收集十分困難，尤其是新型高端設(shè)備壽命長、價格貴、可靠度高，難以通過試驗方式獲取足夠的失效數(shù)據(jù)；②在故障樹模型中假設(shè)各個事件只有正常運行與故障失效2種狀態(tài)，忽略了介于二者之間的退化狀態(tài)，根據(jù)劃分標(biāo)準(zhǔn)的不同，可能是一個狀態(tài)或多個狀態(tài)。針對數(shù)控刀架卡死故障樹模型中各事件發(fā)生概率難以確定的問題，劉英等[5]應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)建立了概率模糊數(shù)，進而確定頂事件發(fā)生的概率區(qū)間。鄧耀初等[6]應(yīng)用D-S證據(jù)理論表征故障樹底事件發(fā)生概率的置信區(qū)間，依據(jù)區(qū)間算子確定了頂事件柱塞泵故障的概率范圍。為了準(zhǔn)確描述故障退化過程，劉晨曦等[7]在傳統(tǒng)故障樹模型中引入多狀態(tài)事件和多狀態(tài)表決門，經(jīng)最小路集法確定了系統(tǒng)可靠度及底事件重要度。

故障樹模型構(gòu)建容易，但是，可靠性分析計算過程復(fù)雜、邏輯推理單向，難以根據(jù)新獲取信息進行模型更新。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)具有表達事件多態(tài)性、模糊性和不確定性的優(yōu)勢，通過學(xué)習(xí)新樣本可以調(diào)整有向無環(huán)圖結(jié)構(gòu)、修正條件概率值，并且可以根據(jù)新信息及時進行正向推理和反向推理[8-9]。鑒于現(xiàn)場數(shù)據(jù)缺乏、故障模式與失效機理多樣、工作環(huán)境多變等原因，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)根節(jié)點故障率往往用具有一定模糊性的區(qū)間值表示，在某些特定情況下，區(qū)間值的上下限也無法用精確值進行描述。因此，本文將在故障樹模型基礎(chǔ)上構(gòu)建基于區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析模型。

1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建模過程

1.1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)概述

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)[10-11]有向無環(huán)圖結(jié)構(gòu)由一系列節(jié)點和節(jié)點之間的有向邊構(gòu)成，有向無環(huán)圖中的每一個節(jié)點代表一個隨機變量，2個節(jié)點之間的有向邊代表節(jié)點之間的條件概率關(guān)系。沒有前續(xù)輸入的節(jié)點為根節(jié)點，沒有后續(xù)輸出的節(jié)點稱葉節(jié)點，既有前續(xù)輸入又有后續(xù)輸出的節(jié)點為中間節(jié)點。根節(jié)點具有表示該節(jié)點處于不同狀態(tài)的先驗概率，非根節(jié)點具有表征該節(jié)點與其父節(jié)點之間邏輯關(guān)系的條件概率，即該節(jié)點在給定父節(jié)點條件下處于不同狀態(tài)的概率。以故障樹結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)構(gòu)建的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型不需要單獨處理不交化過程以及確定最小割集，從而省去了不交化過程中的繁瑣計算。貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型通過調(diào)整條件概率取值表達節(jié)點間的不確定邏輯關(guān)系，正向推理表達節(jié)點間的關(guān)聯(lián)故障，反向推理確定在給定系統(tǒng)故障信息條件下根節(jié)點處于各個狀態(tài)的概率，以便及時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中的薄弱環(huán)節(jié)。

1.2 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)雙向推理

正向推理，也稱預(yù)測推理，即根據(jù)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中根節(jié)點處于各種狀態(tài)的概率與條件概率關(guān)系確定葉節(jié)點處于各狀態(tài)的概率。假設(shè)節(jié)點x1,x2,…,xn對應(yīng)于故障樹中的底事件、中間事件，則頂事件T處于狀態(tài)Tq的概率表示為[12-13]

(1)

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1.3 基于故障樹結(jié)構(gòu)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建模

典型的故障樹邏輯門包括與門、或門、表決門等，由與門、或門構(gòu)成的故障樹結(jié)構(gòu)與相應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。故障樹中底事件V1,V2,V3轉(zhuǎn)換為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的根節(jié)點v1,v2,v3，中間事件M和頂事件T轉(zhuǎn)換為貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中的中間節(jié)點m和葉節(jié)點t。假設(shè)0表示正常運行狀態(tài)，1表示故障失效狀態(tài)，那么故障樹中與門、或門等布爾邏輯關(guān)系就可以通過條件概率值表現(xiàn)出來。在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)與門邏輯關(guān)系中只有當(dāng)父節(jié)點v2和v3都發(fā)生時，子節(jié)點m發(fā)生。在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)或門邏輯關(guān)系中當(dāng)

圖1 邏輯與門、或門及對應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 And gate,Or gate and corresponding BN model

父節(jié)點v1和m中有一個發(fā)生時，子節(jié)點t發(fā)生。多狀態(tài)節(jié)點的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與二狀態(tài)結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于條件概率值確定，相關(guān)方法前期已開展過相關(guān)研究，不在此展開，具體可參考文獻[4,14]。

2 基于區(qū)間模糊數(shù)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理

2.1 三角模糊隸屬函數(shù)

針對貝葉斯網(wǎng)絡(luò)根節(jié)點(即故障樹底事件)故障率難以用精確值描述的問題，引入具有一定模糊性的區(qū)間值表征。根節(jié)點從精確輸入拓展到模糊輸入，增強了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)可靠性分析的工程實用性，有利于表達已知信息不足或者主觀判斷引起的不確定性。對于有n個節(jié)點的模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型，假設(shè)第i個節(jié)點xi(i=1,2,…,n)有ki個模糊故障狀態(tài)，表示為xi,j=(xi(1),xi(2),…,xi(ki))(j=1,2,…,ki)，用μij(0≤μij≤1)描述節(jié)點xi處于模糊故障狀態(tài)j時的隸屬度。對于一個給定節(jié)點，所有故障狀態(tài)的隸屬度之和為1，即

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鑒于根節(jié)點失效概率往往在某一區(qū)間取值，越接近區(qū)間中值概率越大，因此，現(xiàn)有研究普遍采用運算簡單、使用廣泛的三角隸屬函數(shù)描述各個節(jié)點的故障模糊可能性大小。假設(shè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點xi在故障狀態(tài)為xi(ki)時的模糊可能性表示為P(xi(ki))，相應(yīng)的模糊子集表示為{gl,gm,gu}，其三角隸屬函數(shù)表示如圖2所示，其中，gm為模糊子集中心，gm-gl為模糊子集左模糊區(qū)，gu-gm為模糊子集右模糊區(qū)。

圖2 P(xi(ki))的三角隸屬函數(shù)Fig.2 Triangular membership function of P(xi(ki))

P(xi(ki))隸屬函數(shù)表示為[15-16]

(5)

式中：g為故障概率。

2.2 區(qū)間三角模糊隸屬函數(shù)

在工程實踐中，有時候難以確定三角模糊隸屬函數(shù)上下限，在此，引入?yún)^(qū)間變量表示三角模糊子集的上下限，則貝葉斯網(wǎng)絡(luò)節(jié)點xi在故障狀態(tài)為xi(ki)時的模糊可能性表示為

P′(xi(ki))=

(6)

如圖3所示，P′(xi(ki))的隸屬函數(shù)表示為

(7)

圖3 P(xi(ki))的區(qū)間三角隸屬函數(shù)Fig.3 Interval triangular membership function of P(xi(ki))

2.3 改進的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理

在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中，假設(shè)n個根節(jié)點表示為xi(i=1,2,…,n)，m個中間節(jié)點表示為yj(j=1,2,…,m)，葉節(jié)點表示為T。在考慮貝葉斯網(wǎng)絡(luò)根節(jié)點的模糊輸入時，用xi(ki)(ki=1,2,…,li)表示根節(jié)點xi的故障狀態(tài)，用yj(kj)(kj=1,2,…,lj)表示中間節(jié)點yj的故障狀態(tài)，用Tv(v=1,2,…,l)表示葉節(jié)點T的故障狀態(tài)。假設(shè)根節(jié)點各故障狀態(tài)的區(qū)間模糊可能性表示為P′(xi,ki)，則葉節(jié)點T處于故障狀態(tài)Tv的區(qū)間模糊可能性表示為

(8)

式中：π(T)為葉節(jié)點T的父節(jié)點集合；π(yj)為中間節(jié)點yj的父節(jié)點集合。

利用貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型的反向推理機理，經(jīng)去模糊即可確定根節(jié)點處于各個故障狀態(tài)的后驗概率。當(dāng)葉節(jié)點T處于故障狀態(tài)Tv時，根節(jié)點xi處于狀態(tài)xi(ki)的后驗概率表示為

(9)

3 實例分析

3.1 控制系統(tǒng)故障樹模型

以文獻[14]中的導(dǎo)彈控制系統(tǒng)為研究對象建立故障樹模型，如圖4所示。控制系統(tǒng)故障由平臺系統(tǒng)故障和姿態(tài)失去控制引起，前者由平臺初始對準(zhǔn)失效、導(dǎo)航計算機故障和加速度計故障引起，后者由模擬控制機故障和電動舵系統(tǒng)故障引起。平臺初始對準(zhǔn)失效由方位對準(zhǔn)失效和水平對準(zhǔn)失效引起。導(dǎo)航計算機故障由模擬控制機故障和無線電高度表故障引起。以部件的故障率為模糊子集的中心值，確定區(qū)間的端點值使得邊界值與中心值在同一個數(shù)量級，各根節(jié)點故障狀態(tài)為1時的模糊故障率、區(qū)間模糊故障率如表1所示。

圖4 控制系統(tǒng)失效故障樹模型Fig.4 FT model of control system in failure

表1 故障樹底事件及故障率Table 1 Failure rate of bottom events in FT model of control system (10-3 h-1)

3.2 控制系統(tǒng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型

根據(jù)1.3確定的故障樹結(jié)構(gòu)向貝葉斯網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化原則，構(gòu)建控制系統(tǒng)失效時的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型，如圖5所示。

圖5 控制系統(tǒng)失效貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型Fig.5 BN model of control system in failure

X4與X5為三狀態(tài)節(jié)點，即正常運行狀態(tài)0、故障失效狀態(tài)1外以及介于二者之間的中間狀態(tài)0.5， 2個節(jié)點之間為邏輯或關(guān)系，其條件概率關(guān)系如表2所示。其余節(jié)點為二狀態(tài)節(jié)點，X2與X6之間為邏輯與門，其余節(jié)點之間為邏輯或門。在故障樹結(jié)構(gòu)中重復(fù)出現(xiàn)的事件X2在貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中由一個節(jié)點表示。

表2 M3節(jié)點條件概率Table 2 Conditional probability of node M3

3.3 可靠性分析

當(dāng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中根節(jié)點故障率為精確值時，如表1第3列所示，假設(shè)X4與X5故障程度為0.5的概率數(shù)據(jù)與故障程度為1時相同，則葉節(jié)點發(fā)生故障的概率為

應(yīng)用文獻[7]中計算多狀態(tài)故障樹失效率的方法可以得到相同的結(jié)果，這驗證了貝葉斯網(wǎng)絡(luò)建模的正確性。根節(jié)點與各中間節(jié)點的故障概率如表3所示。

(1) 根節(jié)點故障率為三角模糊子集

以表1中的三角模糊故障率為輸入，根據(jù)式(1),(5),(8)推理確定中間節(jié)點失效的模糊可能性，如表3所示，進而確定根節(jié)點的模糊可能性：

以貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中精確故障率為故障率三角模糊子集的下限值、中心值、上限值，以根節(jié)點x1為例，其精確故障率對應(yīng)的三角模糊子集為{16,16,16}(10-3/h)，經(jīng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理，確定葉節(jié)點處于故障失效狀態(tài)的模糊概率子集上邊界與下邊界重合，驗證了三角模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型的準(zhǔn)確性與可行性。

(2) 根節(jié)點故障率為區(qū)間三角模糊子集

以表1中的區(qū)間三角模糊子集為輸入，根據(jù)式式(1),(6)～(8)推理確定中間節(jié)點失效的模糊可能性，如表3所示，進而確定根節(jié)點的模糊可能性：

以貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型中根節(jié)點故障率三角模糊子集的下限值為區(qū)間三角模糊子集下限變量區(qū)間的下邊界與上邊界，上限值為區(qū)間三角模糊子集上限變量區(qū)間的下邊界與上邊界，構(gòu)建區(qū)間三角模糊變量。以根節(jié)點x1為例，三角模糊子集對應(yīng)的區(qū)間三角模糊子集為{(6,6),16,(26,26)}(10-3/h)，經(jīng)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)推理，區(qū)間三角模糊子集下限變量區(qū)間的下邊界與上邊界重合，上限變量區(qū)間的下邊界與上邊界重合，驗證了區(qū)間三角模糊貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型的準(zhǔn)確性與可行性。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)根據(jù)式(2),(3),(9)進行反向推理，經(jīng)去模糊處理，確定各葉節(jié)點處于不同狀態(tài)的后驗概率，如圖6所示。由于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與條件概率關(guān)系沒有發(fā)生改變，因此，在三角模糊輸入和區(qū)間三角模糊輸入條件下的后驗概率值相同。當(dāng)根節(jié)點故障狀態(tài)為1時，葉節(jié)點X1處于故障狀態(tài)的后驗概率最大，為0.288 12；其次是根節(jié)點X4和X5，處于故障狀態(tài)1的后驗概率為0.185 22，處于故障狀態(tài)0.5的后驗概率為0.099 29。因此，當(dāng)控制系統(tǒng)發(fā)生故障失效時，應(yīng)該對后驗診斷結(jié)果中失效概率較高的部件X1,X4和X5進行優(yōu)先排查。

表3 非葉節(jié)點故障失效概率Table 3 Failure rates of leaf node and intermediate nodes h-1

圖6 根節(jié)點失效時葉節(jié)點后驗概率分布(10-3/h)Fig.6 Posterior probabilities of leaf nodes when the root node in failure (10-3/h)

4 結(jié)束語

本文將區(qū)間模糊子集引入貝葉斯網(wǎng)絡(luò)中，提出了一種基于區(qū)間貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析方法，直觀明了地表征復(fù)雜系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的區(qū)間范圍，經(jīng)反向推理有效識別出系統(tǒng)可靠性設(shè)計中的薄弱環(huán)節(jié)，為故障診斷與改進設(shè)計提供意見建議。

(1) 結(jié)合故障樹結(jié)構(gòu)建模容易和貝葉斯網(wǎng)絡(luò)雙向推理的優(yōu)勢，構(gòu)建了基于二者的可靠性分析模型，為多狀態(tài)復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析提供了研究思路。

(2) 通過引入三角模糊函數(shù)、區(qū)間模糊子集，有效解決了根節(jié)點輸入難以精確描述的問題，增強了基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性分析方法的工程實用性。