基于Lyapunov方程的高超聲速飛行器變結(jié)構(gòu)控制

郭建國，楊勝江，魯寧波，王國慶

(1.西北工業(yè)大學(xué) 精確制導(dǎo)與控制研究所，陜西 西安 710072；2.中國運載火箭技術(shù)研究院 研發(fā)部，北京 100076)

0 引言

眾所周知，一般高超聲速飛行器的縱向動力學(xué)模型是一個具有非匹配不確定性，快時變，強耦合的非線性系統(tǒng)[1-5]，反步法作為克服非匹配不確定性問題的有效方法被運用于高超聲速飛行器的控制系統(tǒng)設(shè)計中[6-9]。在飛行控制系統(tǒng)的設(shè)計過程中，采用滑模控制、自適應(yīng)控制和魯棒控制等削弱非匹配不確定因素的影響。然而，通過反步法設(shè)計得出的復(fù)雜控制表達式在高階系統(tǒng)的情況下可能難以實現(xiàn)[10]。同時，需要通過引入不同階數(shù)的微分器或濾波器來解決反步法中的“微分爆炸”問題[11]，并且控制系統(tǒng)中存在時間延遲問題[12]。

近40年來，基于干擾觀測器的控制及相關(guān)方法得到廣泛研究并應(yīng)用于包括高超聲速飛行器在內(nèi)的各個工業(yè)領(lǐng)域[13]。在現(xiàn)有的干擾/不確定性估計和主動抑制技術(shù)的基礎(chǔ)上，通過采用不同的干擾觀測器，如模糊干擾觀測器、擴張干擾觀測器以及滑模干擾感測器等。在控制器設(shè)計時，對總的干擾利用干擾觀測器在控制律中對其進行補償以達到主動抑制的效果，該方法已經(jīng)用來克服高超聲速飛行器動態(tài)模型中的不確定性問題[14-16]，在這些方法中，通常將擾動和不確定性包含在一起，采用觀測機制來估計總擾動，并定向用于補償控制器。

本文針對高超聲速飛行器非匹配不確定性提出了一種基于Lyapunov方程的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，分別針對速度子系統(tǒng)和高度子系統(tǒng)提出了2個新的帶擾動估計的滑模面。通過應(yīng)用本文所提出的滑?？刂破鳎到y(tǒng)的快速性和魯棒性均得到改善。

1 面向控制的動力學(xué)模型

1.1 縱向動力學(xué)模型

本文采用的高超聲速飛行器的縱向動力學(xué)模型如下所示[1]

(1)

式中：v為飛行器速度；h為飛行器飛行高度；γ為飛行器航跡角；α為飛行器攻角；q為俯仰角速度；m為飛行器質(zhì)量；Iyy為轉(zhuǎn)動慣量；并且μ為重力常數(shù);wi(i=1,2,…,5)為不確定項。氣動力和力矩的表達式如下所示：

發(fā)動機動力學(xué)模型如下[1]

(2)

式中：β，βc分別為油門開度及油門開度指令；ξ為阻尼系數(shù)；ωn>0為自然頻率。

本文的目的是針對具有非匹配不確定性的高超聲速飛行器的非線性模型設(shè)計魯棒控制器，以跟蹤預(yù)期速度指令和預(yù)期高度指令。為了方便控制器設(shè)計，建立了2個新的面向控制的模型，通過選擇新的狀態(tài)來描述這2個子系統(tǒng)。

1.2 面向跟蹤控制的速度子系統(tǒng)模型

面向控制的速度子系統(tǒng)模型是通過結(jié)合發(fā)動機動力學(xué)模型得到的：

(3)

為了跟蹤預(yù)期的速度，速度子系統(tǒng)的跟蹤控制系統(tǒng)面向控制的模型為

(4)

1.3 面向跟蹤控制的高度子系統(tǒng)模型

高度子系統(tǒng)面向控制的模型為

(5)

同樣，高度子系統(tǒng)面向控制的如下所示，跟蹤預(yù)期的高度指令。

(6)

實際上，假設(shè)2中放寬了對高度子系統(tǒng)跟蹤控制系統(tǒng)的非匹配干擾要求。不需要假設(shè)作用于高度子系統(tǒng)的非匹配干擾是緩慢變化的，而是需要有界性條件。盡管對導(dǎo)數(shù)信息的重新要求使假設(shè)2顯得有些嚴格，但它只是為擴展干擾觀測器的設(shè)計提供了一個普遍、統(tǒng)一的假設(shè)。

2 新型滑?？刂破髟O(shè)計

為了克服飛行器模型中的非匹配不確定性，本節(jié)提出了2個新的滑?？刂破?，分別基于非線性擾動觀測器，用于跟蹤預(yù)期速度指令和預(yù)期高度指令。

2.1 基于干擾估計的速度子系統(tǒng)滑?？刂破髟O(shè)計

對于式(6)，滑模面為

(7)

根據(jù)文獻[12]干擾觀測器設(shè)計為如下形式

(8)

式中：lv11>0；lv12>0；pv11，pv12為輔助變量。

同時，由干擾式(8)得出

(9)

根據(jù)系統(tǒng)式(6)計算sv的導(dǎo)數(shù)，可得

(10)

因此，系統(tǒng)式(6)的滑?？刂破鳛?/p>

(11)

式中：

kv>0;εv>(c1v+c2vlv11+lv12)λ1，

(12)

閉環(huán)跟蹤動態(tài)系統(tǒng)式(6)的穩(wěn)定性由定理1給出。

定理1 如果滿足以下條件：

(1) 對非匹配不確定性滿足假設(shè)1；

(2) 選擇非線性擴展干擾觀測器式(8)估計非匹配不確定性；

(3) 采用控制器如式(11)所示，其參數(shù)滿足式(12)。

在控制器式(11)的作用下，具有非匹配不確定性的速度子系統(tǒng)的跟蹤動態(tài)系統(tǒng)式(6)是最終有界的。

(13)

由式(13)可知系統(tǒng)式(8)的狀態(tài)能夠在有限時間到達滑模面，即sv=0。

(14)

選擇Lyapunov函數(shù)

(15)

(16)

p11=p12c2v+p22c1v,p12=q1/(2c1v),
p22=(q2+2p12)/2c2v.

(17)

對V1求導(dǎo)并結(jié)合式(14)得

(18)

(19)

(20)

根據(jù)μ11，μ12的定義，由式(20)可得

(21)

由式(21)可知速度子系統(tǒng)的誤差狀態(tài)量是有界的，即

(22)

誤差e1v是最終有界的，并且可以通過適當選擇參數(shù)p12，q1，lv11和λ1來降低邊界。

注2:為了克服滑?？刂破魇?15)的不連續(xù)性，用連續(xù)函數(shù)sat(·)進行替代，

(23)

2.2 基于干擾估計的高度子系統(tǒng)滑模控制器設(shè)計

對于高度子系統(tǒng)的帶有擾動估計的滑模面選為

(24)

為了獲得上述估計值，采用文獻[12]設(shè)計的干擾觀測器如下:

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：ph11，ph12，ph13，ph21，ph22，ph31,ph41為輔助變量;lh11，lh12，lh13，lh21，lh22，lh31,lh41為正數(shù)。

(29)

對sh求導(dǎo)并結(jié)合高度子系統(tǒng)，可得

(30)

因此，高度子系統(tǒng)的控制器為

khsh+εhsgnsh],

(31)

式中：

kh>0；
εh>(c1 h+lh13+c3 hlh12+c2 hlh11)λ21+(c2 h+
lh22+c3 hlh21)λ22+(c3 h+lh31)λ23+λ24.

(32)

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明與定理1類似，

注3:通過采用飽和函數(shù)sat(·)替代符號函數(shù)得到連續(xù)的控制量

(33)

3 數(shù)值仿真

在本節(jié)中進行了數(shù)值仿真，以驗證本文所提出的滑?？刂品椒ǖ挠行?。仿真條件、不確定參數(shù)和高超聲速飛行器的約束條件的選擇與參考文獻[8]相同。

仿真分2部分，分別對應(yīng)于外部干擾抑制和對參數(shù)不確定性的魯棒性。仿真中使用的參數(shù)lv11=10；lh11=10；lh21=10；lh31=10；lh41=10；c1v=1；c2v=2；εv=0.1；c2 h=3；kh=0.08；lv12=50;lh12=50;lh13=50;lh22=50;c1v=1;kv=0.1;c1 h=1;c3 h=3;εh=0.2。

將本文所提出的方法與參考文獻[8]中的反步法進行仿真對比。取未知外部干擾為w1=-0.3，w2=15，w5=0.25，w3=0.05sin(0.1πt)，w4=0.01sin(0.1πt)。

圖1分別給出了本文所提出的滑?？刂品椒ê头床椒ǖ捻憫?yīng)曲線。非線性擾動觀測器中的擾動估計誤差如圖2所示。

圖1 本文提出的方法(實線)和反步法(虛線)下的響應(yīng)曲線Fig.1 Response curves of the proposed method (solid line) and the backstepping method (dashed line)

圖1a)和b)表明,在跟蹤相同的速度指令和高度指令時，本文所提出的控制方法比反步法具有更好的動態(tài)特性，同時，如圖2所示非線性擴展干擾觀測器的估計誤差很快趨于0。可見，本文所提出的控制方法能夠有效應(yīng)對非匹配不確定性。

同時，在圖1c)和d)中，本文所提出的方法下航跡角和迎角的變化都比反步法更快。此外，在圖1e)和h)中，在本文控制器的作用下，俯仰角速度和升降舵偏轉(zhuǎn)角的大小都低于反步法。特別是，如圖1h)所示，在反步法中，升降舵偏轉(zhuǎn)存在不希望出現(xiàn)的抖振，在跟蹤高度指令的過程中，反步法的升降舵偏轉(zhuǎn)已經(jīng)達到飽和邊界。請注意，在圖1f)和g)中，在本文所提出的方法下，油門開度指令和油門實際開度的幅度要比反步法的略大。

圖2 非線性擾動觀測器下的不確定因素估計曲線Fig.2 Estimate curves of uncertainties of the nonlinear disturbance observer

4 結(jié)束語

針對具有未知非匹配不確定性的高超聲速飛行器動態(tài)模型，本文提出了一種基于Lyapunov方程的滑模變結(jié)構(gòu)控制方法。文中建立了具有非匹配不確定性的跟蹤控制系統(tǒng)的面向控制的模型。引入了擴展干擾觀測器來設(shè)計針對非匹配不確定因素的滑模面，并且可以得到跟蹤誤差的準確性與非匹配不確定因素的估計誤差之間的關(guān)系。仿真結(jié)果證明了所提出的控制方法的正確性。