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    海洋定位衛(wèi)星性能分析

    2022-01-06 01:12:16孫鴻強(qiáng)張占月趙煥洲胡國林
    上海航天 2021年6期
    關(guān)鍵詞:定位精度次數(shù)三角形

    孫鴻強(qiáng),張占月,趙煥洲,胡國林,張 輝,張 寬,謝 圓,盧 皓

    (1.北京航天飛行控制中心,北京 100094;2.航天工程大學(xué),北京 101416)

    0 引言

    人造衛(wèi)星是重要的空間信息基礎(chǔ)設(shè)施,其中的航天器編隊(duì)飛行不僅突破了體積和質(zhì)量的限制,而且提高了整體系統(tǒng)功能、結(jié)構(gòu)靈活性和可替代性,近年來引起各國航天界極大的關(guān)注。編隊(duì)衛(wèi)星擁有不受基線限制、多星協(xié)同工作、控制靈活等特點(diǎn),有著非常廣闊的應(yīng)用前景。常見的衛(wèi)星定位功能通常由多個衛(wèi)星協(xié)同工作完成,如美國的“白云”系列海洋監(jiān)視衛(wèi)星、我國的“北斗一號”定位系統(tǒng)。

    以海洋定位衛(wèi)星為例,可以滿足對沿海、商業(yè)海域和重點(diǎn)海域的觀察,重難點(diǎn)在于對目標(biāo)的定位,但影響定位效果的因素眾多,如受目標(biāo)源位置影響、編隊(duì)構(gòu)型約束、衛(wèi)星高度約束等。本文對三星定位的時差測量定位原理進(jìn)行分析,將傳統(tǒng)上評價衛(wèi)星定位精度的水平精度因子(Horizontal Dilution of Precision,HDOP)與最小二乘迭代法相結(jié)合,對定位衛(wèi)星的定位方程進(jìn)行了解算,同時從定位精度和解算時長兩個方面進(jìn)行更直觀的描述。在此基礎(chǔ)上,分析了影響定位性能的若干條件給出了仿真驗(yàn)證結(jié)果,并以此對海洋定位衛(wèi)星的參數(shù)設(shè)定提供建議。

    1 三星定位編隊(duì)定位計(jì)算模型

    到達(dá)時間差(Time Difference of Arrival,TDOA)技術(shù)是采用比較廣泛的技術(shù)。根據(jù)目標(biāo)源的輻射信號到達(dá)衛(wèi)星的時間,利用幾何關(guān)系進(jìn)行定位求解。在相同的測量誤差條件下,時差越大,測量誤差所占比例越小,誤差造成的影響越小。對上述定位方法進(jìn)行量化計(jì)算,聯(lián)立方程得

    式中:前兩式為利用時差測量來確定2 張滿足候選目標(biāo)源位置的雙曲面;

    d

    、

    d

    d

    分別為3顆衛(wèi)星到目標(biāo)源的距離;

    c

    為電磁波傳遞速度;Δ

    t

    、Δ

    t

    為接受到目標(biāo)源信號的時間差;

    f

    (

    x

    y

    ,

    z

    )為地球表面簡化表達(dá)形式,地固坐標(biāo)系下存在表示目標(biāo)源位置3個未知量(

    x

    ,

    y

    ,

    z

    )。

    2 三星定位誤差分析模型

    2.1 定位方程的最小二乘解算

    對于式(1)中的

    f

    (

    x

    ,

    y

    z

    ),地固坐標(biāo)系中的(

    x

    y

    ,

    z

    )轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(

    L

    B

    ,

    H

    )的轉(zhuǎn)換方程為

    式中:

    N

    為地球曲率半徑;

    H

    為目標(biāo)高度;

    L

    為目標(biāo)經(jīng)度;

    B

    為目標(biāo)緯度;

    e

    為地球橢圓的偏心率。對于海洋定位衛(wèi)星,

    H

    可取0,消去(

    L

    ,

    B

    ),可得

    故三星時差定位方程改寫為

    式中:(

    x

    ,

    y

    z

    )為3 顆衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系中的位置。

    常用的解算方法有解析法、牛頓迭代法、最小二乘迭代法等。最小二乘迭代法具有平方收斂速度,可快速得到解算結(jié)果。

    首先構(gòu)建模函數(shù)

    Q

    (

    X

    ),將問題化為求解模函數(shù)最小值的問題:

    設(shè)

    F

    (

    X

    )=[

    f

    f

    f

    ],若

    F

    (

    X

    )可微,則模函數(shù)變化為

    式中:

    設(shè)

    X

    F

    (

    X

    )=0 的一組近似根,將

    F

    (

    X

    )在

    X

    處泰勒展開略去高階項(xiàng):

    由最小二乘迭代可知,迭代誤差Δ

    X

    可表征為

    迭代步驟如下:

    步驟1

    取星下點(diǎn)為迭代初值

    X

    ;

    步驟2

    將前一次求得的目標(biāo)位置坐標(biāo)

    X

    (

    x

    ,

    y

    ,

    z

    )代入定位方程,求出

    F

    (

    X

    )和

    F′

    (

    X

    );

    步驟3

    X

    (

    x

    ,

    y

    ,

    z

    )入迭代式,求出目標(biāo)位置

    X

    (

    x

    ,

    y

    z

    );

    步驟4

    以此類推,直到若干次迭代得

    X

    (

    x

    ,

    y

    ,

    z

    )與

    X

    (

    x

    ,

    y

    ,

    z

    )的距離小于某個無窮小的數(shù)

    ε

    。即設(shè)

    當(dāng)

    D

    <

    ε

    時迭代終止,求得極小點(diǎn)的近似值也就是目標(biāo)位置的估計(jì)值。

    采用上述解算方法將定位方程進(jìn)行解算,如圖1所示,初始概略位置選定在距離目標(biāo)源1 310 km 處的位置,總定位誤差隨著迭代次數(shù)的增加迅速減小。

    圖1 迭代效果與定位誤差Fig.1 Iteration effect and positioning error

    2.2 定位方程的精度因子分析

    由定位衛(wèi)星的定位原理可知,在允許的范圍內(nèi),如果目標(biāo)源傳遞信號所到達(dá)不同衛(wèi)星的時間差越大,定位效果越理想。如圖2 左所示,理想情況下,以圓形為測量衛(wèi)星測出目標(biāo)源可能的位置(實(shí)線圈),以三角為測量衛(wèi)星測出目標(biāo)源可能的位置(虛線圈),兩圈的交點(diǎn)即為目標(biāo)源的位置(這里假設(shè)2 個交點(diǎn)中右側(cè)的為目標(biāo)源真實(shí)位置)。

    而實(shí)際情況中誤差是不可避免的,因此在測量時得到是圓環(huán),2 個圓環(huán)的重疊處為目標(biāo)源概略位置,如圖2 中重疊的灰色區(qū)域。當(dāng)2 顆衛(wèi)星構(gòu)型不理想時,如圖2 右重疊的灰色區(qū)域面積過大,定位效果十分不理想。將式(4)中雙曲面的表達(dá)式記為

    圖2 相對位置對定位精度的影響Fig.2 Effects of the relative position on the positioning accuracy

    假設(shè)目標(biāo)源在地固坐標(biāo)系下的概略位置為

    S

    (

    x

    ,

    y

    ,

    z

    ),則將式(11)在

    S

    處展開,可得

    定位誤差的協(xié)方差矩陣為

    利用轉(zhuǎn)換矩陣

    M

    轉(zhuǎn)化為建立在目標(biāo)源當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系協(xié)方差矩陣Δ

    S

    故目標(biāo)源當(dāng)?shù)氐恼`差協(xié)方差矩陣

    C

    S

    )可表示為

    2.3 定位誤差影響因素分析

    2.3.1 目標(biāo)源相對衛(wèi)星位置的影響

    為驗(yàn)證定位精度與目標(biāo)源相對衛(wèi)星幾何位置之間的關(guān)系,對我國東部海域上的一塊矩形區(qū)域進(jìn)行覆蓋仿真分析。選取的3 顆衛(wèi)星位于2 個軌道上,將其真近點(diǎn)角進(jìn)行了調(diào)整構(gòu)成一個三角形。衛(wèi)星場景分布如圖3 所示。

    圖3 衛(wèi)星場景分布Fig.3 Satellite scene

    定位衛(wèi)星的星下區(qū)域內(nèi)的HDOP 值如圖4 所示。圖中可見:在此三星構(gòu)型的定位衛(wèi)星中,當(dāng)目標(biāo)源在三星星下三角形之中時,HDOP 值較??;當(dāng)目標(biāo)源在三星星下三角形之外時,HDOP 值較高。

    圖4 HDOP 分布情況Fig.4 Distribution of HDOP

    2 個不同目標(biāo)源的誤差變化情況如圖5 所示。圖中可見:位于星下點(diǎn)三角形內(nèi)的點(diǎn)的距離誤差很快就由初始誤差迅速下降到零附近;而位于星下點(diǎn)三角形外的點(diǎn)距離誤差下降緩慢,多次迭代內(nèi)未達(dá)到理想誤差精度。

    圖5 不同目標(biāo)源定位誤差比較Fig.5 Comparison of positioning errors of different target sources

    星下點(diǎn)和目標(biāo)源的距離對迭代解算時間的影響如圖6 所示。圖中可見:隨著目標(biāo)源遠(yuǎn)離星下點(diǎn),迭代解算次數(shù)逐漸增加,解算時間變長,性能變差。

    圖6 目標(biāo)源距離對迭代解算次數(shù)的影響Fig.6 Effect of the target distance on the iteration time

    綜合利用HDOP 和最小二乘迭代方法,對矩形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行定位精度和迭代時長的分析,如圖7所示。圖中:綠色表示處于星下點(diǎn)三角形內(nèi)的目標(biāo)源,可以看出,其HDOP 值較低,意味著定位精度較高,且其定位解算時間較短,具有快速性和準(zhǔn)確性;紅色表示處于矩形邊界的目標(biāo)源,其HDOP 值較高,且解算迭代時間較長;此外,還存在一部分處于星下三角形周圍的點(diǎn)(藍(lán)色),其定位精度也較高,但是迭代其解算時間相對較長,定位效果不如星下三角形內(nèi)的點(diǎn)。因此,從定位精度和解算時間上綜合考慮,目標(biāo)源位于星下三角形內(nèi)時,定位性能更強(qiáng)。

    圖7 不同目標(biāo)源定位精度和迭代解算次數(shù)比較Fig.7 Positioning accuracy and iteration times of different target sources

    2.3.2 衛(wèi)星高度影響

    取上述衛(wèi)星場景,保證3 顆定位衛(wèi)星的星下點(diǎn)構(gòu)型不變化,只改變其高度,分析衛(wèi)星高度的影響。衛(wèi)星場景如圖8 所示。

    圖8 衛(wèi)星場景圖Fig.8 Satellite scene

    衛(wèi)星高度和星下點(diǎn)三角形區(qū)域內(nèi)HDOP 的變化關(guān)系如圖9 所示。圖中:下方虛線表示在對應(yīng)高度下星下點(diǎn)三角形區(qū)域中的最小HDOP 的值;上方虛線表示在對應(yīng)高度下該區(qū)域中的最大HDOP 的值;實(shí)曲線表示該區(qū)域中的平均HDOP 的值。圖中可見:在一定范圍內(nèi),隨著衛(wèi)星高度越高,其對于地面上同一目標(biāo)源的HDOP 越大;而衛(wèi)星高度越低,對于地面上同一目標(biāo)源的HDOP 越小。

    圖9 衛(wèi)星高度變化對HDOP 的影響Fig.9 Effect of the satellite altitude change on the HDOP

    2 組不同高度定位衛(wèi)星的基于定位方程的迭代次數(shù)與距離誤差之間的關(guān)系如圖10 所示。圖中可見,在解算過程中,盡管經(jīng)過若干次迭代,定位誤差逐漸降低,達(dá)到了理想的精度,但是在解算過程中,該場景下當(dāng)衛(wèi)星軌道半長軸為6 800 km 時,定位解算的迭代次數(shù)較多、時間較長,相對而言該場景下當(dāng)衛(wèi)星軌道半長軸為7 500 km 時,定位解算的迭代次數(shù)較少、時間較短。這與HDOP 變化相反,從迭代解算時間上比較,7 500 km 更優(yōu)。

    圖10 多次迭代后不同高度定位誤差比較Fig.10 Comparison of the position error on different altitude

    而對不同高度編隊(duì)衛(wèi)星而言,其迭代解算時間亦不同,將軌道半長軸范圍設(shè)定在6 700~8 500 km,與之對應(yīng)的迭代解算次數(shù)如圖11 所示??梢钥闯觯S著編隊(duì)衛(wèi)星高度的增加,迭代時間逐漸減小,在軌道半長軸為7 000 km 時達(dá)到最小,而后迭代時間隨著高度增加逐漸增大。由此,從迭代解算時間分析,并不是軌道高度越低越好。

    圖11 不同高度對迭代次數(shù)的影響Fig.11 Effect of the satellite altitude on the iteration time

    利用HDOP 和最小二乘迭代方法對不同高度的衛(wèi)星進(jìn)行定位精度和迭代時長的分析,如圖12 所示。圖中可見:在衛(wèi)星高度很低時,雖然HDOP 值越小,但是其迭代解算時間較長;隨著衛(wèi)星軌道高度逐漸升高,迭代解算時間呈現(xiàn)先減少后增加的趨勢。因此,從定位精度和解算時間上綜合考慮,定位衛(wèi)星的高度并不是越低越好,應(yīng)該在綜合考慮對地觀察面積、定位精度和迭代解算效率,選擇適用于不同任務(wù)目標(biāo)的衛(wèi)星參數(shù)。

    圖12 不同高度衛(wèi)星定位精度和迭代解算次數(shù)的比較Fig.12 Comparison of positioning accuracy and iteration times of different altitude

    2.3.3 幾何構(gòu)型的影響

    在分析星下點(diǎn)三角形底邊高的影響時,選取對應(yīng)構(gòu)型對該區(qū)域內(nèi)的平均HDOP 和定位誤差進(jìn)行比較分析。保持星下點(diǎn)三角形左側(cè)的邊不變,調(diào)整三角形右下方頂點(diǎn)的位置,使得三角形左側(cè)底邊上的高逐漸變大,衛(wèi)星場景如圖13 所示。

    圖13 改變星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊的高Fig.13 Change of the left base height of the triangle

    星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊的高和該區(qū)域內(nèi)HDOP 的變化關(guān)系如圖14 所示。圖中:上方虛線表示在對應(yīng)高下星下點(diǎn)三角形區(qū)域中的最大HDOP的值;下方虛線表示在對應(yīng)高下該區(qū)域中的最小HDOP 的值;實(shí)曲線表示該區(qū)域中的平均HDOP 的值。圖中可見,在一定范圍內(nèi),隨著星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊上的高變長,其對于地面上同一目標(biāo)源區(qū)域的HDOP 越小,反之越大。

    圖14 三角形高的變化對HDOP 的影響Fig.14 Effect of the triangle height on the HDOP

    2 組星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊高不相等的定位衛(wèi)星的距離誤差如圖15 所示。對兩者的定位精度進(jìn)行比較,由圖可知,在定位精度方面,星下點(diǎn)底邊高較長的衛(wèi)星的定位精度較高。在實(shí)際定位過程中,衛(wèi)星之間的基線不宜過長,需要在保證編隊(duì)可控的情況下進(jìn)行基線的最優(yōu)化。

    圖15 多次迭代后定位誤差比較Fig.15 Comparison of positioning errors after several iterations

    星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊高的變化對迭代解算時間的影響如圖16 所示。圖中可見,在其有限的變化范圍內(nèi),平均迭代次數(shù)未發(fā)生明顯改變,星下點(diǎn)三角形高的變化不是影響迭代結(jié)算時間的主要因素。

    圖16 底邊的高對解算時長的影響Fig.16 Effect of the triangle height on the iteration time

    利用HDOP 和最小二乘迭代方法對所構(gòu)成不同三角形底邊高進(jìn)行定位精度和迭代時長的分析,如圖17 所示。圖中可見:在一定范圍內(nèi),三角形底邊高越長,其HDOP 值越小;但從迭代解算時間來看,在一定范圍內(nèi)其迭代時間變化不大,這是由于衛(wèi)星編隊(duì)的星間距離不宜過長從而限制底邊高的最大值所導(dǎo)致的。因此,從定位精度和解算時間上綜合考慮,在工作允許的范圍內(nèi),定位衛(wèi)星星下三角形底邊的高越長,定位性能更強(qiáng)。

    圖17 不同底邊高的定位精度和解算迭代次數(shù)的比較Fig.17 Positioning accuracy and iteration times with different triangle heights

    綜上分析,在此三星構(gòu)型的定位衛(wèi)星中,當(dāng)目標(biāo)源在三星星下點(diǎn)構(gòu)成的三角形之中時,定位精度較高、解算時間較短,衛(wèi)星的性能比較理想;當(dāng)目標(biāo)源在三星星下點(diǎn)構(gòu)成的三角形之外時,定位精度較差、解算時間較長,衛(wèi)星定位性能不夠理想。同時,在一定范圍內(nèi),衛(wèi)星高度越高,對地面上同一目標(biāo)源的定位精度越差,但迭代解算時間隨著高度的增加呈現(xiàn)先減少后增加的趨勢,因此,a 衛(wèi)星性能和衛(wèi)星高度呈非線性的關(guān)系,應(yīng)綜合考慮對地觀察面積、定位精度和迭代解算效率,選擇適用于不同任務(wù)目標(biāo)的衛(wèi)星參數(shù)。此外,在構(gòu)建三星位置構(gòu)型時需要注意,在允許范圍內(nèi),隨著星下點(diǎn)三角形一邊的高不斷變大,對區(qū)域的定位精度逐漸變高,解算時間改變較少,綜合衛(wèi)星性能亦逐漸增強(qiáng)。

    3 結(jié)束語

    本文在時差測量定位的基礎(chǔ)上分析了三星定位誤差的產(chǎn)生,通過定位方程的求解對定位精度和迭代次數(shù)進(jìn)行了分析,在此基礎(chǔ)上,以水平方向衰減因子HDOP 與迭代解算時間作為指標(biāo),對三星定位衛(wèi)星進(jìn)行定位性能評價。驗(yàn)證了在進(jìn)行衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)時,需要盡可能地將目標(biāo)源包括在星下點(diǎn)三角形之中,定位衛(wèi)星的高度在允許范圍內(nèi)適當(dāng)降低,星下點(diǎn)三角形底邊上的高在允許范圍內(nèi)盡可能大。此外,在應(yīng)對突發(fā)情況需要對航天器進(jìn)行機(jī)動操作時,為保證機(jī)動之后的工作效率,可以利用本文作為參考,設(shè)計(jì)航天器的機(jī)動轉(zhuǎn)移軌道,這樣才能保證海洋定位衛(wèi)星的定位精度。

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