布爾代數(shù)的猶豫模糊點(diǎn)子代數(shù)

姜曼

(西安交通工程學(xué)院公共課部, 陜西 西安 710300)

0 引言

美國科學(xué)家Zadeh在1965年提出了模糊集[1]，自然界中很多事物的表述并不是絕對的，恰恰相反，我們遇到的大多數(shù)問題是模糊的，解決方法也并不是唯一的，也是模糊的.因此模糊集的提出對認(rèn)識自然有很重要的意義.模糊集已經(jīng)應(yīng)用到很多方面,現(xiàn)階段,學(xué)者們主要研究的是模糊集以及由模糊集得到的拓展—直覺模糊集[2]、區(qū)間值模糊集[3]、雙極值模糊集[4]、猶豫模糊集[5]等理論.然而僅研究模糊集及其拓展，對模糊集的認(rèn)識并不深刻,因此我們把模糊集及其拓展和代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合，由于不同代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)不同，因此這種結(jié)合方法就很有意義.現(xiàn)階段，對于布爾代數(shù)的子代數(shù)的研究也有很多結(jié)論，比如，王豐效[6]把布爾代數(shù)與模糊集相結(jié)合，給出了(λ,μ)模糊子代數(shù)的概念并討論其性質(zhì)；張瑜[7]等給出了布爾代數(shù)的Superior子代數(shù)的定義研究它的等價(jià)刻畫，更多關(guān)于布爾代數(shù)研究的結(jié)論可見文獻(xiàn)[8-10].本研究把猶豫模糊集和布爾代數(shù)相結(jié)合，研究布爾代數(shù)上的猶豫模糊點(diǎn)子代數(shù)以及它的基本性質(zhì)，證明了布爾代數(shù)的猶豫模糊點(diǎn)子代數(shù)的交，同態(tài)像及同態(tài)逆像的不變性.

1 預(yù)備知識

定義1.1[11]具有兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算+，·的代數(shù)系統(tǒng)〈R;+,·,0,1〉稱為布爾代數(shù)，如果R至少含有兩個(gè)不同元，且?a,b，c∈R，下面公理成立：

1) 交換律a+b=b+a,ab=ba，其中ab為a·b；

2) 分配律a(b+c)=ab+ac，a+(bc)=(a+b)(a+c)；

3) 結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)；

4) 0-1律 ?0，1∈R,a+0=a，a1=a；

布爾代數(shù)〈R;+,·,0,1〉也記為〈R;+,·,-,0,1〉.

若無特殊說明，布爾代數(shù)〈R;+,·,-,0,1〉簡記為R，布爾代數(shù)〈R′;+,·,-,0′,1′〉簡記為R′.

定理1.1[11]設(shè)〈R;+,·,0,1〉為布爾代數(shù)，?a,b∈R，有：

1)a0=0，a+1=1，aa=a，a+a=a；

定理1.2[11]布爾代數(shù)R與R′的直積R×R′仍為布爾代數(shù).

定義1.3[11]設(shè)映射f:R→R′稱為從代數(shù)系統(tǒng)R到R′的同態(tài)映射，如果f保持代數(shù)系統(tǒng)的所有代數(shù)運(yùn)算，即映射f滿足下列條件：

1)?a,b∈R，f(a+b)=f(a)+f(b)；

2)?a,b∈R，f(ab)=f(a)f(b)；

說明：上述定義1.1～1.3和定理1.1～1.2，在文獻(xiàn)[11]中的第三章，本章系統(tǒng)介紹了布爾代數(shù)的定義與基本性質(zhì)，子代數(shù)、直積，同態(tài)與同構(gòu)定理.

定義1.4[10]設(shè)μ:R→[0,1]是R的模糊子集，如果對?a,b∈R，下面條件成立：

則稱μ是R的模糊子代數(shù).

定義1.5[5]設(shè)X是一個(gè)非空經(jīng)典集合，一個(gè)X上的猶豫模糊集F的定義如下：

F:{(x,hF(x))|x∈X},

其中hF(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個(gè)不同值構(gòu)成的集合，表示X中的元素x屬于集合F的若干種可能隸屬度.

設(shè)F為X中的猶豫模糊集，P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集，稱集合

X(F,γ):={x∈X|γ?hF(x)}

為F的猶豫水平集，其中γ?P([0,1]).記X中的猶豫模糊集為HF(X).

定義1.6[5]對于F∈HF[X]，猶豫模糊元hF(x)的下界和上界分別定義如下：

下界:hF-(x)=minhF(x),上界:hF+(x)=maxhF(x).

猶豫模糊集的三個(gè)基本運(yùn)算補(bǔ)、并和交分別定義如下：

1) 補(bǔ)：對于F∈HF[X]，它的補(bǔ)元Fc定義為：

補(bǔ)運(yùn)算滿足對合律，即(Fc)c=F.

2) 并：F,G∈HF[X]，F(xiàn)和G的并F∪G定義為：?x∈X，

hF∪G(x)=hF(x)∪hG(x)={h∈hF(x)∪hG(x)|h≥max(hF-(x),hG-(x))}.

3) 交：F和G的交F∩G定義為：

hF∩G(x)=hF(x)∩hG(x)={h∈hF(x)∩hG(x)|h≤min(hF+(x),hG+(x))}.

定義1.7[12]設(shè)X和Y是兩個(gè)集合，f：X→Y是X到Y(jié)的映射，A:={(x,hA(x))|x∈X}和B:={(y,hB(y))|y∈Y}是兩個(gè)分別定義在X，Y的猶豫模糊子集，x∈X，y∈Y，定義：

且hf-1(B)(x)=hB(f(x))，則f(A)，f-1(B)分別是X和Y的猶豫模糊集，稱f(A)為A的像，f-1(B)為B的原像.

2 主要結(jié)論

本文中若無特殊說明，均用R表示布爾代數(shù).

定義2.1設(shè)μ:R→P([0,1])∈HF[R]，如果對?a,b∈R，下面條件成立：

1)hμ(a+b)?hμ(a)∩hμ(b)，

2)hμ(ab)?hμ(a)∩hμ(b)，

則稱μ是R的猶豫模糊子代數(shù).記R上的猶豫模糊子代數(shù)的全體為HFS[R].

定義2.2設(shè)μ:R→P([0,1])∈HF[R]，若對?a,b∈R，下面條件成立：

1)hμ(a+b)?hμ(a)hμ(b)，

2)hμ(ab)?hμ(a)hμ(b)，

則稱μ是R的猶豫模糊點(diǎn)子代數(shù).記R上的猶豫模糊點(diǎn)子代數(shù)的全體為HFDS[R].

定理2.1如果μ∈HFS[R]，則μ∈HFDS[R].

定理2.1的證明設(shè)μ∈HFS[R]，對?a,b∈R則有：

hμ(a+b)?hμ(a)∩hμ(b)?hμ(a)hμ(b)，hμ(ab)?hμ(a)∩hμ(b)?hμ(a)hμ(b).

因此，μ∈HFDS[R].

根據(jù)定理2.1可得，布爾代數(shù)的猶豫模糊點(diǎn)子代數(shù)是布爾代數(shù)的猶豫模糊子代數(shù)的拓展.我們可以簡化定義2.1中的條件，這樣可以方便后面的證明.

定理2.2設(shè)μ∈HF[R]，則μ∈HFDS[R]當(dāng)且僅當(dāng)定義2.2中的條件1)和3)成立.

定理2.2的證明(1)必要性，易證.

(2)充分性.現(xiàn)在我們需要證明定義2.2中的條件2)成立.對?a,b∈R有：

因此定義2.2中2)成立.

定理2.3設(shè)μ∈HF[R]，則μ∈HFDS[R]當(dāng)且僅當(dāng)定義2.2中的條件2)和3)成立.

定理2.3的證明(1)必要性.易證.

(2)充分性.現(xiàn)在我們需要證明定義2.2中的條件1)成立.對?a,b∈R有：

因此定義2.2中1)成立.

定理2.4設(shè)μ∈HFDS[R]，則對?a∈R，下列結(jié)論成立：

2)[hμ(a)]2?hμ(0).

定理2.5設(shè)μ∈HFDS[R]，則U={a∈R|hμ(a)=1}≠?是R的子代數(shù).

定理2.6設(shè)μ∈HFDS[R]，ν∈HFDS[R]，則μ∩ν∈HFDS[R].

定理2.6的證明?a,b∈R，則

hμ∩ν(a+b)=hμ(a+b)∩hν(a+b)

?(hμ(a)hμ(b))∩(hν(a)hν(b))

?(hμ(a)∩hν(a))(hμ(b)∩hν(b))

=hμ∩ν(a)hμ∩ν(b),

所以，μ∩ν∈HFDS[R].

推論2.1的證明同定理2.6,故省略.

定理2.7設(shè)f:R→R′是同態(tài)滿射，若ν∈HF[R′]，則ν∈HFDS[R′]當(dāng)且僅當(dāng)f-1(ν)∈HFDS[R]，并且hf-1(ν)(a)=hν(f(a))，?a∈R.

定理2.7的證明1)必要性.因?yàn)棣汀蔋FDS[R′]，所以對?a,b∈R，有

hf-1(ν)(ab)=hν(f(ab))=hν(f(a)f(b))?hν(f(a))hν(f(b))=hf-1(ν)(a)hf-1(ν)(b).

因此，f-1(ν)∈HFDS[R].

2)充分性.已知f-1(ν)∈HFDS[R].

對?a′,b′∈R′，由于f:R→R′是同態(tài)滿射，所以?a,b∈R，有f(a)=a′，f(b)=b′.因此

hν(a′b′)=hν(f(a)f(b))=hν(f(ab))=hf-1(ν)(ab)

?hf-1(ν)(a)hf-1(ν)(b)

=hν(f(a))hν(f(b))=hν(a′)hν(b′)

所以，ν∈HFDS[R′].

定理2.8的證明因?yàn)閒:R→R′是同態(tài)滿射，所以?a′,b′∈R′，?a,b∈R，使得f(a)=a′，f(b)=b′.因此：

=hf(μ)(a′)hf(μ)(b′)，

所以，f(μ)∈HFDS[R′].

定理2.9設(shè)δ∈HF[R]，μδ∈HF[R×R]，并且hμδ(a,b)=hδ(a)hδ(b)，?a,b∈R，則δ∈HFDS[R]當(dāng)且僅當(dāng)μδ∈HFDS[R×R].

hμδ[(a,a′)+(b,b′)]=hμδ(a+b,a′+b′)=hδ(a+b)hδ(a′+b′)

?[hδ(a)hδ(b)][hδ(a′)hδ(b′)]=[hδ(a)hδ(a′)][hδ(b)hδ(b′)]

=hμδ(a,a′)hμδ(b,b′)，

故μδ∈HF[R×R].

2)充分性.已知μδ∈HF[R×R]，于是?a,b∈R，有

[hδ(a+b)]2=hδ(a+b)hδ(a+b)=hμδ(a+b,a+b)=hμδ[(a,b)+(b,a)]

?hμδ(a,b)hμδ(b,a)=[hδ(a)hδ(b)][hδ(b)hδ(a)]

=[hδ(a)hδ(b)]2.

因此hδ(a+b)?hδ(a)hδ(b).

于是，δ∈HFDS[R].

定理2.10設(shè)μ∈HFDS[R],ν∈HFDS[R′]，則μ×ν∈HFDS[R×R′]，其中對?(a,a′)∈R×R′，hμ×ν(a,a′)=hμ(a)hν(a′).

定理2.10的證明?(a,a′),(b,b′)∈R×R′，則有：

hμ×ν[(a,a′)+(b,b′)]=hμ×ν(a+b,a′+b′)

=hμ(a+b)hν(a′+b′)

?[hμ(a)hμ(b)][hν(a′)hν(b′)]

=[hμ(a)hν(a′)][hμ(b)hν(b′)]

=hμ×ν(a,a′)hμ×ν(b,b′),

故μ×ν∈HFDS[R×R′].