《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)案例

余興來(lái)

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

[教學(xué)內(nèi)容]

2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章《直線和圓的方程》第五節(jié)《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系》第一課時(shí)《直線與圓的位置關(guān)系》

[課程要求]

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本節(jié)的要求為：探索并了解直線與圓的三種位置關(guān)系，并且要將性質(zhì)加以正確地運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一。

[教材分析]

這一節(jié)的知識(shí)內(nèi)容與前面幾節(jié)知識(shí)點(diǎn)是有著較強(qiáng)聯(lián)系的，這一節(jié)的知識(shí)內(nèi)容是需要學(xué)生結(jié)合直線與圓的方程去探尋幾種位置關(guān)系，并且在這一過(guò)程中還需要借助相關(guān)的圖形來(lái)加以分析，以此也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且學(xué)生在探究過(guò)程中，還需要對(duì)前面所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行遷移及轉(zhuǎn)化運(yùn)用，這無(wú)疑也展現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想。通過(guò)從經(jīng)典例題到一般算法的總結(jié)與分析中，其實(shí)也能夠體現(xiàn)從特殊到一般的思想。

[學(xué)情分析]

學(xué)生在初中的幾何學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過(guò)了直線與圓的位置關(guān)系，本章已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等內(nèi)容。因此，學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課其實(shí)是讓他們對(duì)已學(xué)的知識(shí)內(nèi)容作拓展延伸，是要在他們已有的知識(shí)基礎(chǔ)上來(lái)展開(kāi)實(shí)踐與探究，進(jìn)而進(jìn)行總結(jié)與歸納。因此，在教學(xué)本節(jié)內(nèi)容時(shí)有必要引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系舊知識(shí)，讓他們明晰新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，幫助他們實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移運(yùn)用。

[教學(xué)目標(biāo)]

1、理解并認(rèn)知直線與圓的三種位置關(guān)系;

2、掌握判定直線與圓位置關(guān)系的幾種方法;

3、在例題探究中形成轉(zhuǎn)化思維、數(shù)形結(jié)合思維。

[教學(xué)重難點(diǎn)]

重點(diǎn)：理解并認(rèn)知判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，明晰其內(nèi)在的知識(shí)聯(lián)系;

難點(diǎn)：利用所學(xué)知識(shí)解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題。

[教學(xué)準(zhǔn)備]

多媒體課件

[教學(xué)過(guò)程]

（1）創(chuàng)設(shè)情境

1、直觀情境：教師利用多媒體出示日出的動(dòng)態(tài)圖，引入詩(shī)句“日出江花紅勝火，春來(lái)江水綠如藍(lán)”。讓學(xué)生描繪這首詩(shī)所描繪的景色，最后總結(jié)：同學(xué)們知道嗎？在日出的過(guò)程中，其實(shí)也蘊(yùn)藏著十分有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)。

2、問(wèn)題情境：如果我們將太陽(yáng)看做成一個(gè)“圓”的話，海天交際看做成一條直線的話，請(qǐng)大家思考整個(gè)日出的過(guò)程體現(xiàn)了直線與圓的哪些位置關(guān)系呢？（預(yù)設(shè)問(wèn)題：相交、相離、相切）

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)生活情境、直觀情境及問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，合理導(dǎo)入課堂，讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”的道理。

（2）知識(shí)回顧

1、教師引導(dǎo)：多媒體呈現(xiàn)直線與圓的三種位置關(guān)系圖像，詢(xún)問(wèn)學(xué)生：這三種圖像呈現(xiàn)出來(lái)了哪些幾何特征呢？我們是怎樣去判斷直線與圓的位置關(guān)系的呢

2、學(xué)生回答：（預(yù)設(shè)答案）通過(guò)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷的，兩個(gè)點(diǎn)便是相交，一個(gè)點(diǎn)便是相切，沒(méi)有點(diǎn)便是相離。

3、教師引導(dǎo)：除了觀察公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)之外，我們其實(shí)還能夠發(fā)現(xiàn)他們從相交到相離，這個(gè)距離是在“變遠(yuǎn)”的，那么我們?nèi)绾螐倪@個(gè)角度來(lái)刻畫(huà)直線與圓的位置關(guān)系呢？

4、學(xué)生回答：（預(yù)設(shè)答案）比較圓心到直線的距離...

5、教師引導(dǎo)：通過(guò)以上兩種方法我們能夠從幾何特征來(lái)認(rèn)識(shí)直線與圓的位置關(guān)系，前面我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，那么如果已知直線與圓的方程，如何來(lái)判斷它們的位置關(guān)系呢？接下來(lái)我們便要進(jìn)入實(shí)踐探究環(huán)節(jié)了。

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)知識(shí)回顧，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生作深入思考，進(jìn)而激發(fā)他們探究興致。

（3）探究典例，總結(jié)方法

探究一：已知直線和圓心為C的圓，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系;如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).

1、學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)：通過(guò)畫(huà)圖聯(lián)立方程組，求解，讓學(xué)生探究直線與圓位置關(guān)系的判定方法，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成判斷它們組成的方程組是否有實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)思維轉(zhuǎn)化。

2、學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)：通過(guò)解題實(shí)踐總結(jié)直線與圓位置關(guān)系的判定方法以及求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的方法，具體如下：

（1）直線與圓位置關(guān)系的判定方法為三種：其一，公共點(diǎn)個(gè)數(shù);其二，幾何法，即探索圓心和直線的距離;其三，代數(shù)法。即通過(guò)聯(lián)立一元二次方程得出△值，進(jìn)而判定直線與圓的位置關(guān)系。

（2）直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的方法為兩種（在例題中具體體現(xiàn)）：幾何法、代數(shù)法

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)典例的探究，讓學(xué)生將幾何問(wèn)題代數(shù)化，能夠總結(jié)出直線與圓位置關(guān)系判定的幾種方法。進(jìn)而初步感知數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化及化歸的數(shù)學(xué)思想，激活他們的數(shù)學(xué)思維。

探究二：過(guò)點(diǎn)P（4，2）作圓，存在切線L，求這個(gè)切線的方程。

學(xué)生活動(dòng)預(yù)設(shè)：探究點(diǎn)過(guò)圓的切線方程問(wèn)題，進(jìn)而總結(jié)過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程的方法。分為兩種情況：點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外（學(xué)生展開(kāi)小組合作探究，并嘗試自行變化例題，探究不同的情況及解法。）

[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)典例二的探究，掌握過(guò)某一點(diǎn)圓的切點(diǎn)方程方法。

（4）課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)內(nèi)容：

1、判定直線與圓的位置關(guān)系;

2、求直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng);

3、求過(guò)某一點(diǎn)的圓的切線方程。

[教學(xué)反思]

本節(jié)課的教學(xué)十分注重學(xué)生學(xué)習(xí)能動(dòng)性的體現(xiàn)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境的方式將學(xué)生引入到實(shí)踐探究中，進(jìn)而讓他們通過(guò)經(jīng)典例題的分析總結(jié)知識(shí)及算法，參與知識(shí)形成的過(guò)程，有利于完成他們對(duì)相關(guān)知識(shí)的構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)了高質(zhì)量的課程教學(xué)。當(dāng)然，在這一過(guò)程中筆者缺乏與學(xué)生多效互動(dòng)與溝通，不能及時(shí)感知學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，這是需要在后續(xù)教學(xué)中優(yōu)化與創(chuàng)新的點(diǎn)。