碰撞阻尼器中顫振發(fā)生的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間研究

杜妍辰，張洪源，林俊文

(上海理工大學 醫(yī)療器械與食品學院，上海 200093)

碰撞阻尼屬于振動的被動控制技術(shù)，它利用振動過程中自由質(zhì)量與主系統(tǒng)的碰撞來控制主系統(tǒng)的響應(yīng)。目前，碰撞阻尼的研究成果通常采用每周期兩次對稱碰撞作為碰撞阻尼器的典型的運動模式[1-2]。通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)：碰撞阻尼在減振效果較好情況下，其運動軌跡中存在顫振和黏滯的現(xiàn)象，即顫振和黏滯有可能是碰撞阻尼器取得良好減振效果的新的有效途徑[3]。所謂顫振，是指自由質(zhì)量在短時間內(nèi)與主系統(tǒng)之間發(fā)生很多次甚至無窮次碰撞的情況。關(guān)于顫振方面的研究,Budd等[4]對一類單自由度沖擊振蕩器在周期激勵下的顫振和黏滯運動進行系統(tǒng)的研究，推導(dǎo)出了該系統(tǒng)周期顫振行為的存在以及周期的顫振行為與混沌運動的關(guān)系。Toulemonde等[5]在對諧和激勵的碰撞振子的動力學行為進行研究時，發(fā)現(xiàn)了黏滯運動，并對單自由度和多自由度中的周期黏滯運動進行了研究。Wagg等[6-9]研究了諧和激勵的二自由度碰撞振動系統(tǒng)中存在的周期運動、混沌顫振運動和黏滯運動，在顫振和黏滯運動的研究中發(fā)現(xiàn)了滑動分岔和“隆起”現(xiàn)象，并以雙側(cè)約束的碰撞系統(tǒng)為例討論了黏滯現(xiàn)象出現(xiàn)的條件。Demeio等[10]研究了倒立擺碰撞中顫振持續(xù)時間的近似計算方法，研究表明，顫振持續(xù)時間主要與振幅有關(guān)，與激振頻率和阻尼比關(guān)系不大。Alzate等[11]利用試驗和數(shù)值的方法，對一類基于齒輪傳動系統(tǒng)的碰撞模型引發(fā)的顫振行為進行了研究。Nordmark等[12]通過引入局部非連續(xù)映射的算法，對碰撞系統(tǒng)中顫振行為的穩(wěn)定性及分岔進行了研究。Quintana等[13]對工業(yè)和學術(shù)研究中關(guān)于顫振的研究進展與方法分類進行了總結(jié)。H?s等[14]研究了減壓閥碰撞模型，討論了該模型存在的分岔、顫振行為及由分岔到顫振的路徑。楊智春等[15]采用等效線化法和數(shù)值仿真法對利用碰撞阻尼器抑制機翼顫振問題進行了研究，提出了“模態(tài)轉(zhuǎn)移抑顫”的概念。Yin等[16]研究了一根懸臂梁與一根鋼棒碰撞的問題，發(fā)現(xiàn)了顫振和黏滯現(xiàn)象。Luo等[17]對帶有剛性約束的兩自由度碰撞振動系統(tǒng)進行了研究，低頻時發(fā)現(xiàn)了顫振和黏滯現(xiàn)象的存在。馮進鈴等[18]以典型的Duffing單邊碰撞系統(tǒng)為例，通過引入彗尾映射的概念和有效的數(shù)值方法，研究了系統(tǒng)中的完全顫振和不完全顫振現(xiàn)象，同時分析了系統(tǒng)的顫振分岔。李飛等[19]對一類多約束碰撞振動系統(tǒng)的黏滯運動進行了分析。張惠等[20]對一類兩自由度含間隙和預(yù)緊彈簧的碰撞振動系統(tǒng)動力學模型建立了Poincaré映射，推導(dǎo)出了映射的Jacobian矩陣。蘇芳等[21]推導(dǎo)了一類兩自由度單邊剛性約束碰撞系統(tǒng)周期運動的解析解和Poincaré映射，并分析了系統(tǒng)周期運動的穩(wěn)定性及系統(tǒng)在適當參數(shù)下發(fā)生分岔現(xiàn)象與混沌演化。王小斌等[22]引入一種不連續(xù)拉回映射的方法對一類雙自由度碰撞振動系統(tǒng)的完全顫振進行了研究，得到了其碰撞運動的顫振完成點及其顫振時間。朱喜鋒等[23-24]利用數(shù)值仿真法對兩自由度彈性碰撞系統(tǒng)的顫振運動及轉(zhuǎn)遷規(guī)律進行了研究。

目前國內(nèi)外對振動沖擊系統(tǒng)的動力學研究大多是基于固定約束的多自由度系統(tǒng)，未見對無固定約束的非線性系統(tǒng)顫振和以恢復(fù)系數(shù)控制的變化規(guī)律的研究。由于碰撞阻尼器中的約束是一個自由質(zhì)量，需要采用無固定約束的模型，因此本文關(guān)于碰撞阻尼器中的顫振研究與現(xiàn)有的研究有較大的不同。本文建立了非固定約束碰撞振動系統(tǒng)的動力學模型，以恢復(fù)系數(shù)為主要控制參數(shù)分析了系統(tǒng)周期運動及其分岔區(qū)域，揭示了系統(tǒng)的顫振運動特性。得到了在不同質(zhì)量比和頻率比條件下，碰撞阻尼器發(fā)生顫振現(xiàn)象的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間。

1 系統(tǒng)力學模型和運動微分方程

圖1為一個碰撞阻尼器的力學模型。圖1中對部件相同的力學性能進行合并，并以力學符合給予表示，其中：M1為腔體和外部支撐的質(zhì)量；M2為自由質(zhì)量，K為系統(tǒng)剛度；C為系統(tǒng)阻尼；F為系統(tǒng)的激勵力；X為M1的位移；Y為M2的位移。M2是位于M1其中的，當F作用于M1時，M1與M2會發(fā)生相對碰撞，碰撞表示以它們之間的位移差確定。K與C作用于M1，對M1的運動施加控制力。能量交換在CKM1M2之間相互出現(xiàn)，塑性變形的能量消耗發(fā)生與M1與M2之間，C消耗了部分能量。

圖1 兩自由度動約束碰撞振動系統(tǒng)

為方便計算，采用以下幾個基本假設(shè)：

(1)自由質(zhì)量(沖擊器)只沿腔體進行水平運動，摩擦因數(shù)f=0；

(2)M1與地面摩擦因數(shù)f=0;

(3)自由質(zhì)量此時視為質(zhì)點；

(4)碰撞過程由恢復(fù)系數(shù)r決定，且碰撞為瞬時的。

在不發(fā)生碰撞情況時，振子M1的運動微分方程為

(1)

對方程進行無量綱化處理為

(2)

小球在未發(fā)生碰撞時視為勻速直線運動

y(t)=y0+v0t

(3)

式中：y(t)為小球的位移；y0，v0分別為小球的初始位移和初始速度(或碰撞后小球速度)。

(4)

當|y-x|=δ/2時，振子與小球發(fā)生碰撞，且碰撞被理想化為一個不連續(xù)的過程，根據(jù)動量守恒定律及碰撞恢復(fù)系數(shù)r的定義，可得

(5)

(6)

由式(5)和式(6)可求得碰撞后速度的解析表達式

(7)

(8)

在振子與小球組成的碰撞阻尼模型中，由于兩次碰撞間振子的運動方程式(2)為一個非齊次的二階常系數(shù)線性微分方程，因此，方程式(2)的解應(yīng)該由相應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程的特解兩部分組成，即

x(t)=x1(t)+x2(t)

(9)

式中，x1(t)為系統(tǒng)有阻尼的自由振動，在小阻尼情況下

x1(t)=e-ξωnt(c1cosωdt+c2sinωdt)

(10)

式中：ωn=K/M1；ωd為振子有阻尼振動的固有頻率；c1，c2由振子的初始位移和初始速度決定；x1(t)為衰減振動，稱為瞬態(tài)振動或瞬態(tài)響應(yīng)。

式(11)中x2(t)為系統(tǒng)有阻尼的受迫振動，設(shè)為

x2(t)=Bsin(ωt-θ)

(11)

式中：B為響應(yīng)振幅；θ為相位差。將式(11)代入式(2)中解方程得到

(12)

(13)

式中：ω為激勵力的頻率；λ=ω/ωn為頻率比；σ為阻尼比。式(2)所表示的總運動形式是間歇運動，而式(9)說明運動由兩部分組成，這兩部分都是間歇運動，其中：x1(t)為自由振動；x2(t)為強迫振動，即帶有激勵的振動，它的角頻率即是激勵力的角頻率，當激勵頻率與系統(tǒng)固有頻率接近的時候，就是進入了共振點附近的區(qū)域，此時會發(fā)生共振現(xiàn)象，振幅顯著增大。而自由振動相對強迫振動在一個較長的時間軸上，不斷衰弱，強迫振動因為能量的輸入持續(xù)保持或增大振幅，故在這里，對自由振動的部分可忽略不計，即x1(t)在一定程度上不作考慮。

在碰撞發(fā)生前，振子與沖擊小球的運動狀況即方程所示，但碰撞發(fā)生，則運動情況就會改變，因此定義碰撞前后時間即可，例如t0=t+。對于所建模型的位移和速度的初始條件定義，及碰后時刻的狀態(tài)，都由恢復(fù)系數(shù)r確定。碰撞的持續(xù)時間很難量化，但對于顫振的研究，作為顫振持續(xù)時間來說，這個過程必須量化。所以在方程的解式(10)中設(shè)其經(jīng)過了很小的一段時間Δt，經(jīng)過這段時間后，碰撞再次發(fā)生，這個方法解決了碰撞間隔問題，其中，每次的碰撞都符合式(7)和式(8)的恢復(fù)系數(shù)速度變化條件，通過這些辦法，我們就可以求出位移與速度的變化，繼而得到碰撞的變化情況，以此來求解系統(tǒng)的碰撞規(guī)律。

2 系統(tǒng)的分岔運動分析

碰撞振動系統(tǒng)往往是一個多參數(shù)系統(tǒng)，當某個參數(shù)或幾個參數(shù)變化至某個臨界值時，周期解的個數(shù)及穩(wěn)定性將發(fā)生變化，產(chǎn)生所謂的分岔現(xiàn)象，這種現(xiàn)象只能通過計算機數(shù)值計算觀察。通過無數(shù)次的分岔，系統(tǒng)可能進入混沌狀態(tài)。恢復(fù)系數(shù)作為在碰撞過程中的控制參數(shù)，在計算過程中簡化了許多問題，將碰撞過程由恢復(fù)系數(shù)決定，速度與能量的變化會產(chǎn)生一個跳躍，則會對分岔與顫振產(chǎn)生極大的影響。

設(shè)置參數(shù)，μm=0.050，μm=0.001,ω=1,δ=0.005,r∈(0,1)，通過對r進行連續(xù)變化，研究恢復(fù)系數(shù)分岔的規(guī)律。

圖2與圖3是不同質(zhì)量比的全局分岔圖。由圖2和圖3可以發(fā)現(xiàn)，在r=0.5之后系統(tǒng)普遍發(fā)生了大面積分岔，分岔面積不斷擴大。

圖2 當μm=0.050時r的分岔圖

圖3 當μm=0.001時r的分岔圖

為了更清晰地觀察分岔發(fā)生的情況，在圖4和圖5中繪制了相平面圖與Poincare映射圖，選取分岔前后的各一個點，r=0.2與r=0.8的兩面，分別可以看出在r=0.5前后系統(tǒng)的分岔明顯有較大差異，在r=0.2時系統(tǒng)處于周期或擬周期運動，在r=0.5之后則會進入混沌運動。顫振現(xiàn)象多發(fā)于分岔較為集中的區(qū)域，下面將在分岔區(qū)間進行顫振行為的研究。

圖4 r為分岔參數(shù)時的分岔規(guī)律(μm=0.050)

圖5 r為分岔參數(shù)時的分岔規(guī)律(μm=0.001)

3 系統(tǒng)的顫振運動分析

第2章已經(jīng)對雙邊動態(tài)約束系統(tǒng)的分岔現(xiàn)象進行了深入地分析，本章將研究恢復(fù)系數(shù)對顫振的影響。顫振現(xiàn)象是非光滑動力系統(tǒng)學的一個分支，也是非光滑系統(tǒng)的一個常見現(xiàn)象。在碰撞振動系統(tǒng)中發(fā)生顫振，沖擊器必須保持一系列的低速碰撞運動，如果這一系列的碰撞運動的速度最后趨近于零，與約束保持相對靜止，則就從顫振進入黏滯。當系統(tǒng)相對碰撞超過5次(包含5次)，即判定為顫振發(fā)生。顫振后有黏滯現(xiàn)象的出現(xiàn)為完全顫振，反之為不完全顫振。設(shè)置參數(shù)，μm=0.250，μm=0.100，μm=0.050，μm=0.001,δ=0.005,r∈(0,1)，在ω=1，3，4條件下通過對r進行連續(xù)變化，繪制振動系統(tǒng)不同恢復(fù)系數(shù)的時域圖。

圖6～圖8為質(zhì)量比為0.250時不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。

圖6 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.250，ω=1)

圖7 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.250，ω=3)

圖8 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.250，ω=4)

圖6為ω=1條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。由圖可以看出，圖6(a)～圖6(e)都以單周期1～2次的碰撞為主，故未發(fā)生顫振。碰撞結(jié)束后，系統(tǒng)處于長期黏滯狀態(tài)，之后進入下一周期運動。隨著恢復(fù)系數(shù)增大，初次碰撞相對位移有增大趨勢。

圖7為ω=3條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。由圖7(a)～圖7(e)發(fā)現(xiàn)，恢復(fù)系數(shù)增大使初始碰撞位移增大且連續(xù)碰撞次數(shù)增多。圖7(c)中，在t=1.75處，發(fā)生了單周期內(nèi)5次的連續(xù)碰撞，此時判定發(fā)生顫振，并且在顫振發(fā)生后有短暫的黏滯發(fā)生，為完全顫振。圖7(d)中，在t=0.25，t=1.25，t=2.25處均發(fā)生了5次以上的連續(xù)碰撞且伴隨黏滯，為完全顫振。圖17(e)中，在t=0.25處發(fā)了顫振現(xiàn)象并伴隨黏滯，為完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.7,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.7,0.9)。

通過函數(shù)調(diào)用，將上市公司全稱與境外投資企業(yè)名稱進行精確匹配；處理上市公司名稱，刪除 “集團”、“股份”、“控股”、“有限”、“公司”等字樣，再一次進行模糊匹配；進一步利用關(guān)聯(lián)交易文件確定上市公司與對外直接投資企業(yè)間是否存在關(guān)聯(lián)關(guān)系。本文認為其母子公司或同一集團控股子公司間接參與對外直接投資活動，符合本文研究上市公司對外直接投資活動對整個企業(yè)集團績效影響的初衷。

圖8為ω=4條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。由圖8(a)～圖8(e)發(fā)現(xiàn)，恢復(fù)系數(shù)增大使初始碰撞位移增大且連續(xù)碰撞次數(shù)增多。圖8(a)～圖8(c)以單周期2次碰撞為主。圖8(d)～圖8(e)以單周期3次碰撞為主。故此條件下的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間均未發(fā)生顫振現(xiàn)象。

圖9～圖11為質(zhì)量比為0.1時不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。

圖9 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.100，ω=1)

圖10 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.100，ω=3)

圖11 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.100，ω=4)

圖9為ω=1條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖9(a)和圖9(b)中，碰撞次數(shù)不斷增多，初始碰撞位移不斷增大，單周期碰撞次數(shù)為1～4次，均未發(fā)生顫振。圖9(c)中，在t=0.2，t=1.2處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖9(d)中，在t=0.3，t=1.3處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖9(e)中，在t=0.3，t=1.3處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.7,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.7,0.9)。

圖10為ω=3條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖10(a)～圖10(e)中，碰撞次數(shù)不斷增多，初始碰撞位移不斷增大。圖10(a)～圖10(c)中，以單周期1～4次的碰撞為主，未發(fā)生顫振。圖10(d)在t=0.3，t=0.6，t=1.1，t=1.3，t=2.1，t=2.3處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖10(e)中，在t=0.5，t=0.8，t=1.1，t=1.4，t=1.7，t=2.1，t=2.4處發(fā)生了5次以上的碰撞未伴隨黏滯，在碰撞后直接進入下一個周期，為不完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.8,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r=0.8附近。

圖11為ω=4條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖11(a)～圖11(e)中，碰撞次數(shù)最多為單周期3次，初始碰撞位移隨恢復(fù)系數(shù)增大而增大。故在此條件下未發(fā)生顫振。

圖12～圖14為質(zhì)量比為0.05時不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。

圖12 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.050，ω=1)

圖13 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.050，ω=3)

圖14 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.050，ω=4)

圖12為ω=1條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖12(a)中，在t=0.2，t=1.2處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖12(c)中，在t=0.3，t=1.3處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖22(d)中，在t=0.5，t=1.5處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖22(e)中，在t=1.0，t=3.0處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.6,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.6,0.9)。

圖13為ω=3條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖13(a)中，以單周期1～4次的碰撞為主，未發(fā)生顫振。圖13(b)中，在t=0.2，t=0.5，t=1.2，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖13(c)中，在t=0.2，t=0.5，t=1.2，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖13(d)在t=0.6，t=1.2，t=1.6，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖13(e)中，在t=0.5，t=1.1，t=1.6，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞未伴隨黏滯，在碰撞后直接進入下一個周期，為不完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.6,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.6,0.8)。

圖14為ω=4條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖14(a)中，碰撞次數(shù)最多為單周期3次，初始碰撞位移隨恢復(fù)系數(shù)增大而增大。圖14(b)中，在t=0.2，t=0.5，t=0.8，t=1.3，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖14(c)中，在t=0.5，t=0.8，t=1.3，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖14(d)中，在t=0.5，t=1.0，t=1.3，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞但未伴隨黏滯，為不完全顫振。圖14(e)中，只在t=0.5，t=1.3處發(fā)生了5次碰撞，則未發(fā)生顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.6,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.6,0.7)。

圖15～圖17為質(zhì)量比為0.001時不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。

圖15 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.001，ω=1)

圖16 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.001，ω=3)

圖17 不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖(μm=0.001，ω=4)

圖15為ω=1條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖15(a)圖中，在t=1.2處發(fā)生了5次碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖15(b)中，在t=0.3，t=1.3處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖15(c)中，在t=0.5，t=1.5處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖15(d)中，在t=1.5處發(fā)生5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖15(e)中，在t=1.5處發(fā)生5次以上的碰撞未伴隨黏滯，為不完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.5,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.5,0.8)。

圖16為ω=3條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖16(a)～圖16(e)中，碰撞次數(shù)不斷增多，初始碰撞位移不斷增大。圖16(a)中，在t=0.2，t=0.5，t=1.2，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖16(b)中，在t=0.5，t=1.2，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖16(c)在t=0.5，t=1.2，t=1.6，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞未伴隨黏滯，為不完全顫振。圖16(d)中，發(fā)生5次碰撞并未伴隨黏滯，為不完全顫振。圖16(e)中，發(fā)生5次碰撞并未伴隨黏滯，為不完全顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.5,0.9)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.5,0.6)。

圖17為ω=4條件下不同恢復(fù)系數(shù)下的時域波形圖。圖17(a)中，在t=0.2，t=0.5，t=0.8，t=1.3，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞并伴隨黏滯，為完全顫振。圖17(b)中，在t=0.5，t=1.2，t=1.7，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞未伴隨黏滯，為不完全顫振。圖17(c)在t=0.5，t=0.8，t=1.2，t=1.6，t=2.2處發(fā)生了5次以上的碰撞未伴隨黏滯，為不完全顫振。圖17(d)中，在t=0.8處發(fā)生了5次碰撞未伴隨黏滯，為不完全顫振。圖17(e)中，未發(fā)生5次以上的碰撞，無顫振。故顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r∈(0.5,0.8)，完全顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間為r=0.5附近。

根據(jù)上述分析所得到的發(fā)生顫振的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間，列于表1。通過表1可以看出在不同質(zhì)量比和頻率比條件下，發(fā)生顫振的恢復(fù)系數(shù)在0.5～0.9，所以大恢復(fù)系數(shù)容易發(fā)生顫振現(xiàn)象，由于大部分碰撞材料的恢復(fù)系數(shù)位于0.5～0.9，所以碰撞阻尼器中顫振是經(jīng)常發(fā)生的現(xiàn)象。而且小質(zhì)量比容易發(fā)生顫振。

表1 顫振現(xiàn)象恢復(fù)系數(shù)區(qū)間表

4 結(jié) 論

本文通過建立非固定約束碰撞振動系統(tǒng)的力學模型，通過連續(xù)改變恢復(fù)系數(shù)的參數(shù)值得到了全局分岔圖，并以此得出在各個恢復(fù)系數(shù)下的相位圖、Poincare映射圖、時域圖，得到了在不同質(zhì)量比和頻率比條件下，碰撞阻尼器發(fā)生顫振現(xiàn)象的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間。結(jié)論如下：

(1)根據(jù)恢復(fù)系數(shù)分岔圖可以看出，恢復(fù)系數(shù)大于0.5時系統(tǒng)發(fā)生了明顯的分岔現(xiàn)象，且分岔面積不斷擴大。

(2)通過分析不同恢復(fù)系數(shù)下的系統(tǒng)位移時域圖，表明發(fā)生顫振的恢復(fù)系數(shù)在0.5～0.9，且隨著質(zhì)量比減小，顫振發(fā)生的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間擴大；隨著頻率比增大，顫振發(fā)生的恢復(fù)系數(shù)區(qū)間縮小。

(3)碰撞阻尼器中采用大恢復(fù)系數(shù)材料在小質(zhì)量比條件下容易發(fā)生顫振。