多空溝對彈性波的散射及隔振性能分析：SH波入射

周鳳璽，梁玉旺，劉 佳

(1.蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，蘭州 730050)

近年來，隨著城鎮(zhèn)化建設(shè)的快速發(fā)展，由交通運(yùn)輸，工程施工等人工振動引起的環(huán)境污染問題得到了廣泛的關(guān)注，地基振動及其控制已經(jīng)成為巖土工程領(lǐng)域亟待解決的課題之一?？諟献鳛槌Ｒ姷牟ㄕ现唬捎谑┕ず唵?，造價低廉而廣泛應(yīng)用于隔振工程。國內(nèi)外學(xué)者對空溝的隔振效果也進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究和理論分析。在試驗(yàn)方面：早在1962年，Barkan[1]就通過試驗(yàn)分析了空溝和板樁墻的隔振性能。Woods[2]對空溝的近場隔振和遠(yuǎn)場隔振方面進(jìn)行了一系列的現(xiàn)場原位測試研究，并通過振幅衰減比來評價屏障的隔振效果。Ahmad等[3-4]通過現(xiàn)場試驗(yàn)對屏障尺寸，屏障位置進(jìn)行了設(shè)計(jì)研究，并通過隔振效果提出了一些設(shè)計(jì)原則。Haupt[5]通過室內(nèi)試驗(yàn)研究了混凝土填充溝對激勵荷載的隔振效果，之后，Erkan[6]、Murillo等[7]、Ulgen等[8]也研究了空溝和填充溝對激振荷載的隔振效果，并對激振荷載的頻率、土層參數(shù)、尺寸等參數(shù)進(jìn)行了分析。徐平等[9]通過落錘式彎沉儀(falling weight deflectometer，F(xiàn)WD)試驗(yàn)分析了空溝深度、寬度及空溝-荷載間距對交通沖擊荷載的隔離效果。在數(shù)值模擬方面：Saikia等[10]利用有限元程序PLAXIS對簡諧波載荷作用下的空溝隔振問題進(jìn)行了數(shù)值分析。Shrivastava等[11]考慮不同幾何參數(shù)下，通過三維有限元模型研究了空溝與填充溝屏障對Rayleigh波的隔離效果?；谶吔缭ǎ珽mad等[12]分析了任意形狀二維淺溝的隔振效果，發(fā)現(xiàn)只有在中頻范圍內(nèi)，淺溝可以減少25%的地基擾動，且空溝形狀對隔振效果的影響較小。之后，Beskos等[13-15]采用此方法研究了空溝隔振性能。巴振寧等[16-17]采用2.5維間接邊界元方法(indirect boundary element method，IBEM)研究了空溝對層狀飽和地基中列車移動荷載的隔振性能。Andersen等[18]和Adam等[19]則借助邊界元-有限元耦合法分析了列車荷載作用下空溝尺寸和位置對隔振效果的影響。結(jié)合薄層法和邊界元法，李偉等[20-21]分析了二維和三維黏彈性層狀地基中空溝的隔振效果，結(jié)果表明地基分層參數(shù)對空溝隔振效果影響顯著。在解析分析方面：Cao等[22]采用半解析方法研究了移動荷載作用下飽和土地基中單空溝的隔振效果。徐平等[23-24]將復(fù)變函數(shù)方法應(yīng)用于空溝隔振理論，建立了單空溝對彈性波隔離效果的理論解答。

目前，對空溝的隔振效果的研究成果主要集中在單空溝在不同載荷以及不同地層等條件下。而工程實(shí)踐中由于空溝深度受土體穩(wěn)定性所限，單空溝很難達(dá)到理想的隔振效果，尤其是在低頻激勵情形下。設(shè)置多排空溝是一種有效的隔振措施，可以對振動波的傳播路徑進(jìn)行多次阻斷來達(dá)到理想的隔振效果。Younesian等[25]通過數(shù)值分析研究了單相場地中多溝屏障對列車荷載引起地面振動的屏蔽效果，而且研究發(fā)現(xiàn)對于相同的隔振效果，多溝屏障所需溝深遠(yuǎn)小于單溝。Hwang 等[26]通過試驗(yàn)研究了三個淺溝屏障對沖擊荷載的隔振效果，但是由于溝深較小，并沒有獲得明顯的隔振效果。

基于彈性波散射的基本理論，在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行波函數(shù)展開，由空溝四周自由應(yīng)力的邊界條件，借助保角映射方法和多極坐標(biāo)變換技術(shù)建立了方程組，通過對方程組的求解得到了多空溝對彈性SH波散射的解析解答，最后對多空的隔振效果進(jìn)行了分析。

1 多空溝對SH波散射問題解析解答

圖1 多空溝布置及坐標(biāo)設(shè)置

1.1 波場分析

設(shè)SH波的入射頻率為ω，在全局坐標(biāo)系(x,y)下，入射SH波的位移勢函數(shù)可以表達(dá)為

Wi=W0exp[iks(xcosα+ysinα)]

(1)

式中：上標(biāo)i為入射；W0為入射SH波的幅值;α為入射SH波與水平方向(x軸)的夾角;ks=ω/cs為SH波的波數(shù);cs為SH波的波速。

(2)

(3)

(4)

(5)

通過疊加，觀測點(diǎn)A處總的散射SH波位移場可以表達(dá)為

(6)

1.2 待定復(fù)系數(shù)的求解

由復(fù)變函數(shù)理論，通過保角映射函數(shù)zj=ωj(ζ)可將z平面上任一第j個空溝邊界對應(yīng)映射為ζ平面上第j個單位圓，保角映射后的坐標(biāo)系統(tǒng)如圖2所示，相應(yīng)的保角映射公式[28]為

圖2 保角映射后的坐標(biāo)系統(tǒng)

(7)

c1=cos(2kπ)

(8a)

(8b)

(8c)

(8d)

式中：k取決于空溝的長寬比b/a的系數(shù)，其值可采用試算法計(jì)算；系數(shù)c1～c5僅與k有關(guān)；R為與空溝尺寸相關(guān)的實(shí)數(shù)，由于式(9a)和式(9b)計(jì)算結(jié)果相等，因此R值可由下式中的任何一式進(jìn)行計(jì)算

(9a)

(9b)

(10)

(11)

式中,μ為土體的剪切模量，引入保角映射之后，式(10)和式(11)可進(jìn)一步表達(dá)為

(12)

(13)

空溝邊界上滿足應(yīng)力自由邊界條件

(14)

(15)

將式(3)和式(6)代入式(12)中，由式(14)可得

(16)

其中,

(17a)

(17b)

(18)

其中,

(19a)

(19b)

2 隔振效果分析

2.1 解的正確性驗(yàn)證

對多空溝的隔振效果分析時，限于篇幅，本文僅對雙溝的隔振效果進(jìn)行了算例分析。并引入振幅比|W/W0|(設(shè)置屏障后土體內(nèi)某點(diǎn)由入射波和散射波產(chǎn)生總的位移與未設(shè)置屏障時由入射波單獨(dú)產(chǎn)生的位移之間的比值)來評價雙空溝對SH波的隔振效果，位移比值小于1時說明有隔振效果，且比值越小說明隔振效果越好。

為了驗(yàn)證本文解答收斂性，取級數(shù)項(xiàng)n=5, 剪切波速為cs=100 m/s，SH波入射頻率為75 Hz，空溝間距d12/a=20，寬度a=0.4,長度b=3 m，由圖3給出了雙空溝周邊應(yīng)力分布圖，從圖中可以看出，空溝1(j=1)和空溝2(j=2)周邊應(yīng)力最大值在τθjz=2.5×10-9以內(nèi)，滿足計(jì)算精度要求。

圖3 雙空溝周邊應(yīng)力分布圖

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文解答及計(jì)算程序的正確性，首先，取N=1時將本文公式退化為單空溝公式，與徐平等研究中的公式一致，說明了本文公式推導(dǎo)的正確性；然后，選取土體的剪切波速為cs=100 m/s，固有圓頻率為75 Hz，空溝的寬度取a=0.4 m，長度b=4.0 m，圖4給出了本文計(jì)算結(jié)果與徐平等的研究結(jié)果。從圖4中可以看出，兩者位移比值非常吻合，說明了計(jì)算過程的正確性。

圖4 振幅比|W/W0|對比曲線

2.2 隔振效果分析

為了分析空溝間距d12對隔振效果的影響，取SH波入射頻率為75 Hz，空溝寬度a=0.4 m長度b=3 m，圖5給出了不同空溝間距下地基表面振幅比|W/W0|等值線圖，從圖5中可以看出，隨著空溝間距d12/a和空溝長度的增大，相同|W/W0|等值線所占屏蔽區(qū)域面積明顯增大，并且最佳屏蔽區(qū)域靠近空溝。

圖5 不同空溝間距下振幅比|W/W0|等值線

為了進(jìn)一步分析空溝間距d12的影響，圖6給出了在y/a=8時空溝后地基表面振幅比隨x/a變化曲線，并且與單空溝隔振效果做了對比。從圖6中可以明顯的看出，空溝間距越大隔振效果越好，且雙空溝的隔振效果明顯優(yōu)于單空溝的隔振效果。

圖6 不同空溝間距在y/a=8處振幅比|W/W0|隨x/a的變化曲線

為了分析空溝長度b對隔振效果的影響，取空溝間距d12/a=20，寬度a=0.4時，圖7給出了不同空溝長度取值時對應(yīng)的振幅比|W/W0|等值線圖，從圖7中可以看出，隨著空溝長度的增大，相同|W/W0|等值線所占區(qū)域的面積增大更為顯著。以空溝后側(cè)為研究區(qū)域，空溝長度分別為3 m,4 m和5 m時對SH波隔離效果大于40%的屏蔽區(qū)域面積占比分別為5%,39%和46%。

圖7 不同空溝長度下振幅比|W/W0|等值線

同樣地，為了進(jìn)一步分析空溝長度b的影響，圖8給出了在y/a=8時空溝后地基表面振幅比隨x/a變化曲線。從圖中可以明顯的看出，空溝長度的越大振幅比越小，說明隔振效果越好。

圖8 不同空溝長度在y/a=8處振幅比|W/W0|隨x/a的變化曲線

為了分析入射波頻率(無量綱頻率η=ωa/(πcs))對隔振效果的影響，取空溝長度b=4 m，寬度a=0.4 m，空溝間距d12/a=20，圖9給出了不同入射波頻率的SH波入射下，y/a=0處地基表面振幅比值|W/W0|隨x/a的變化曲線。

圖9 不同入射波頻率在y/a=8處振幅比|W/W0|隨x/a的變化曲線

3 結(jié) 論

基于彈性波散射的基本理論，在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行波函數(shù)展開得到多空溝對平面SH波散射的解析解答。通過公式退化和數(shù)值計(jì)算與已有單溝的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證了本文公式和計(jì)算方法的正確性。通過對雙排空溝的隔振效果進(jìn)行分析，得到了以下主要結(jié)論：

(1)雙空溝的隔振效果明顯優(yōu)于單空溝的隔振效果，并且最佳屏蔽區(qū)域靠近空溝。

(2)隨著空溝長度和空溝間距的增加，屏蔽區(qū)域面積明顯增大，并且空溝長度對隔振效果的影響更為顯著。

(3)隨著入射波頻率的增大，隔振效果越好。