美式期權(quán)定價(jià)的有限差分跳點(diǎn)格式研究

張艷萍

山西工程職業(yè)學(xué)院， 山西 太原 030009

期權(quán)是一種能讓持有人在將來某一時(shí)刻以提前商定的價(jià)格購(gòu)進(jìn)或售出某種標(biāo)的金融資產(chǎn)的合約[1].在將來某個(gè)時(shí)刻以敲定價(jià)購(gòu)進(jìn)標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)稱為看漲期權(quán)，售出某標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)則稱為看跌期權(quán).按照合約是否可以提前執(zhí)行，期權(quán)分為歐式期權(quán)與美式期權(quán)兩種.期權(quán)實(shí)際上賦予了其持有者一種權(quán)利，持有者不一定必須行使該權(quán)利，而獲得這項(xiàng)權(quán)利所付的金額即為期權(quán)的價(jià)格.在實(shí)際的交易市場(chǎng)中，由于其強(qiáng)大的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的功能而被越來越多的投資者所青睞，對(duì)期權(quán)進(jìn)行合理定價(jià)成為了一個(gè)非常重要的金融研究方向.

由Black和Scholes于1973年提出的歐式期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes模型[2]，被認(rèn)為是現(xiàn)代金融學(xué)的一座里程碑，其基本思想是通過預(yù)計(jì)股價(jià)的波動(dòng)來假設(shè)未來股價(jià)變化服從某種隨機(jī)過程，通過建立無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合再貼現(xiàn)獲得期權(quán)價(jià)格.在基本假設(shè)下，歐式期權(quán)的定價(jià)問題，實(shí)質(zhì)上為一個(gè)拋物型偏微分方程的邊值問題，但是其解析公式太過復(fù)雜，甚至有可能不存在滿足邊值條件的解，而美式期權(quán)由于其提前行權(quán)的可能性，再加之Black-Scholes模型的假設(shè)比較嚴(yán)格，往往無法求得解析解，需要采用數(shù)值方法來求解.目前，主要使用的算法有二叉樹法、Monte Carlo法、有限差分法等[3].有限差分法是一類廣泛使用的離散方法，常見的有傳統(tǒng)顯示格式、隱式格式、C-N格式等.顯式格式形式簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，但是穩(wěn)定性較差，隱式格式的穩(wěn)定性好，但是計(jì)算繁瑣[4].目前將顯式格式與隱式格式結(jié)合的研究已有很多，如閆俐等[5]利用隱-顯和顯-隱交替算法來求解美式看跌期權(quán)，張德飛等[6]使用加權(quán)差分格式計(jì)算美式期權(quán).此外還有半差分格式[7]、指數(shù)擬合差分方法[8]等.本文將引入有限差分跳點(diǎn)格式[9，10]來求解美式看跌期權(quán)定價(jià)模型，并通過數(shù)值算例驗(yàn)證跳點(diǎn)格式的有效性.

1 美式看跌期權(quán)定價(jià)模型

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型建立的基本假設(shè)有：股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且股價(jià)的波動(dòng)率r為常數(shù)；無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)且對(duì)所有的到期日都相同；不支付紅利；市場(chǎng)不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；市場(chǎng)證券交易是連續(xù)的，允許賣空，而且所有證券都是無限可分的.設(shè)標(biāo)的股票在時(shí)刻t的價(jià)格是S，期權(quán)(或其他衍生證券)價(jià)格記為V(S,t)，基于這些假設(shè)，構(gòu)建一個(gè)包含期權(quán)以及標(biāo)的股票頭寸的無風(fēng)險(xiǎn)組合，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，根據(jù)It引理，得到期權(quán)價(jià)格滿足的偏微分方程

(1)

此方程就是著名的Black-scholes方程[2]，其中σ為標(biāo)的股票價(jià)格波動(dòng)率，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率.

這是一個(gè)拋物型的偏微分方程，方程有無數(shù)個(gè)解，但對(duì)于一個(gè)特定的期權(quán)價(jià)格，還應(yīng)該滿足到期日和邊界條件.對(duì)于美式看跌期權(quán)，在到期日T，如果股票價(jià)格S低于行權(quán)價(jià)格K，則選擇執(zhí)行期權(quán)，收益為K-S，如果股票價(jià)格S高于行權(quán)價(jià)格K，則選擇不執(zhí)行期權(quán)，收益為零，因此到期日的期權(quán)價(jià)格為

V(S,T)=max{K-S,0} 0

(2)

而在到期日之前的任何時(shí)刻都可執(zhí)行，因此邊界條件為

V(0,t)=K0

(3)

(4)

式(2)～式(4)即為美式看跌期權(quán)滿足的定解條件.顯然，方程(1)是一個(gè)非線性的偏微分方程，為了求解方便，設(shè)x=lnS，τ=T-t，對(duì)方程以及終止條件和邊界條件進(jìn)行恒等變換，則可將方程(1)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性偏微分方程，將倒向時(shí)間問題轉(zhuǎn)換為正向時(shí)間問題，對(duì)V=V(x,τ),有

(5)

并設(shè)標(biāo)的股票變化是有界的，邊界及初始條件為

V(x,0)=V(lnS,0)=max(K-ex,0) 0V(0,τ)=K0<τV(Smax,τ)=0 0<τ

2 有限差分跳點(diǎn)格式

由于美式期權(quán)可以在到期日之前的任何時(shí)刻執(zhí)行，上面我們所建立的偏微分方程定解問題沒有解析解，我們采用數(shù)值方法來求解.有限差分法的基本思想是將求解的區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，把方程中的微分用差分來近似代替，得到差分方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為矩陣或者線性方程組問題，求解得到原方程在離散網(wǎng)格上的近似值，然后利用插值方法求解整個(gè)區(qū)域上的近似解.下面我們介紹該問題的有限差分跳點(diǎn)格式.

2.1 網(wǎng)格剖分

Vi,j=V(xi,τj)=V(iΔx,jΔτ)i=0,1,...,Mj=0,1,...,N

初值條件及邊界條件離散為

Vi,0=max(K-eiΔx,0)i=0,1,...,M

(6)

V0,j=Kj=0,1,2...,N

(7)

VM,j=0j=0,1,2...,N

(8)

2.2 跳點(diǎn)格式的構(gòu)造

先把網(wǎng)格點(diǎn)(xi,τj)按i+j=奇數(shù)或偶數(shù)分為兩組，分別稱為奇數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)與偶數(shù)網(wǎng)格點(diǎn).從第j個(gè)時(shí)間層推進(jìn)到第j+1個(gè)時(shí)間層時(shí)，

(1) 在偶數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)(xi,τj+1)上構(gòu)建顯式格式

根據(jù)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開，用如下的向前差分逼近對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)

分別用中心差分、二階中心差分逼近對(duì)S的一階偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)

則方程(5)化為差分方程

(9)

整理可得

Vi,j+1=aVi-1,j+(1-b)Vi,j+cVi+1,ji+j+1=偶數(shù)

(10)

其中

由第j個(gè)時(shí)間層推進(jìn)到第j+1個(gè)時(shí)間層時(shí)，式(10)提供了逐個(gè)計(jì)算偶數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)(xi,τj+1)處函數(shù)取值的表達(dá)式，因此這是一個(gè)顯示的差分格式.再結(jié)合式(6)中的初始值Vi,0，首先對(duì)時(shí)間層j=1上的偶數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)用式(10)計(jì)算，依次按時(shí)間推進(jìn)，直到算出最后一個(gè)時(shí)間層上偶數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)的函數(shù)值.

(2)在奇數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)(xi,τj+1)上構(gòu)建隱式差分格式

根據(jù)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開，用如下差分逼近對(duì)時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)

分別用中心差分、二階中心差分逼近對(duì)S的一階偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)

則方程(5)化為差分方程

(11)

整理可得

Vi,j=-aVi-1,j+1+(1+b)Vi,j+1-cVi+1,j+1i+j+1=奇數(shù)

(12)

因此，在使用跳點(diǎn)格式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，先從第一個(gè)時(shí)間層開始，利用式(10)按照時(shí)間遞推，計(jì)算出每個(gè)時(shí)間層上的偶數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)處的取值，再利用式(12)補(bǔ)算奇數(shù)網(wǎng)格點(diǎn)處的值.

考慮到美式期權(quán)可以被提前執(zhí)行，所以在每一網(wǎng)格點(diǎn)(xi,τj)處，期權(quán)價(jià)值Vi,j最終取值應(yīng)為

Vi,j=max{Vi,j,max{K-iΔx,0}}

其中，等式右邊Vi,j為遞推公式(10)以及(12)計(jì)算的結(jié)果.

3 跳點(diǎn)格式的性質(zhì)討論

以下我們將從理論上對(duì)本文所建立差分格式的性質(zhì)進(jìn)行討論.

3.1 相容性

設(shè)原方程的精確解為v，則v滿足方程(5)，即

(13)

顯式差分格式(10)的截?cái)嗾`差為

(14)

假定v是充分光滑的，進(jìn)行帶余項(xiàng)的Taylor級(jí)數(shù)展開，有

帶入式(14)得，

而v滿足式(13)

因此截?cái)嗾`差為

T(x,τ)=O(Δτ)+O((Δx)2)

從而，顯式差分格式(10)與微分方程(5)是相容的.類似可證隱式差分格式(12)與方程(5)是相容的.

3.2 收斂性

此式可以改寫為

vi,j+1=avi-1,j+(1-b)vi-1,j+cvi+1,j+ΔτT(xi,τj)

(15)

將顯式差分格式(10)與式(15)相減，并記離散誤差為

ei,j=Vi,j-vi,j

(16)

得

ei,j+1=aei-1,j+(1-b)ei,j+cei+1,j-ΔτT(xi,τj)

由截?cái)嗾`差計(jì)算可知，存在正常數(shù)M，使得|T(xi,τj)|≤M(Δτ+(Δx)2)，

則

|ei,j+1|≤|a|·|ei-1,j|+|1-b|·|ei,j|+c|ei+1,j|+δτ|T(xi,τj)|

(17)

Ej+1≤(1-rΔτ)Ej+MΔτ(Δτ+(Δx)2)≤Ej+MΔτ(Δτ+(Δx)2)

由不等式遞推得Ej≤E0+MjΔτ(Δτ+(Δx)2)

由此

Ej≤MjΔτ(Δτ+(Δx)2)

而根據(jù)原方程求解區(qū)域的網(wǎng)格剖分，jΔτ≤NΔτ=T，從而

Ej≤MjΔτ(Δτ+(Δx)2)≤MT(Δτ+(Δx)2)

3.3 穩(wěn)定性

我們利用有限差分格式進(jìn)行計(jì)算時(shí)是按照時(shí)間逐層遞推的，上一個(gè)時(shí)間層計(jì)算時(shí)的舍入誤差會(huì)影響到下一個(gè)時(shí)間層的取值，從而就要分析誤差的傳播情況，希望計(jì)算過程的舍入誤差是可以控制的，這就是所謂的穩(wěn)定性問題.對(duì)于線性的偏微分方程，要證明差分格式的穩(wěn)定性，只要證明差分格式的有界性即可.

對(duì)顯式差分格式(10)，令

當(dāng)空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)的大小滿足a>0,1-b>0,c>0時(shí)

Vi,j+1=aVi-1,j+(1-b)Vi,j+cVi+1,j

≤(1-rΔτ)Vj≤Vj

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1 數(shù)值模擬

圖1以S=50為例，將期權(quán)價(jià)格的計(jì)算結(jié)果與單純使用顯示格式以及隱式格式的計(jì)算結(jié)果作對(duì)比.從圖中可以看出利用顯式差分格式計(jì)算得到的值偏大，隱式差分格式計(jì)算得到的值偏小，而利用本文建立的跳點(diǎn)格式計(jì)算結(jié)果更接近方程的近似精確解.

圖1 當(dāng)S=50時(shí)三種差分格式結(jié)果與近似精確解對(duì)比

另外，根據(jù)前面的分析，如果只使用顯式格式進(jìn)行計(jì)算，可以用直接法來求解，運(yùn)算方便，但是穩(wěn)定性較差；而如果僅使用隱式格式是恒穩(wěn)定的，但是需要將隱式差分格式化為一個(gè)三對(duì)角的線性方程組來求解，運(yùn)算量比較大.我們建立的跳點(diǎn)格式相比單純使用顯式格式穩(wěn)定性更好，同時(shí)克服了隱式格式的計(jì)算復(fù)雜的問題，計(jì)算結(jié)果也更為精確.

4.2 實(shí)證分析

由圖2可知，計(jì)算結(jié)果與市場(chǎng)真實(shí)期權(quán)價(jià)格變化趨勢(shì)整體一致，并且對(duì)比顯式格式與隱式格式，跳點(diǎn)格式的計(jì)算結(jié)果更接近市場(chǎng)真實(shí)價(jià)格，計(jì)算的平均絕對(duì)誤差為0.183，證明了本文模型的有效性.

圖2 三種差分格式結(jié)果與真實(shí)期權(quán)價(jià)格對(duì)比

5 結(jié)論

本文針對(duì)美式看跌期權(quán)的定價(jià)模型，選擇有限差分跳點(diǎn)格式將期權(quán)滿足的偏微分方程進(jìn)行離散，再利用迭代法來求解，并證明了跳點(diǎn)格式的相容性、收斂性和穩(wěn)定性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了該方法的有效性，并且與傳統(tǒng)的顯式格式與隱式格式相比，該方法的計(jì)算誤差較小，計(jì)算量適中，同時(shí)具有較好的穩(wěn)定性.