2021年高考數(shù)學(xué)“開放性”數(shù)列問題探析及教學(xué)啟示
——以2021年全國(guó)數(shù)學(xué)理科甲卷第十八題為例

趙榮榮

(貴州省遵義市第一中學(xué) 貴州 遵義 563000)

2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)理科甲卷穩(wěn)中求新，適度“開放”，聚焦學(xué)科素養(yǎng)，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重關(guān)鍵能力，堅(jiān)持開放創(chuàng)新。縱觀2021年全國(guó)數(shù)學(xué)理科甲卷的諸多亮點(diǎn)與創(chuàng)新題型，最為“光鮮靚麗，奪人眼目”之一當(dāng)數(shù)第十八題的“開放性”數(shù)列問題，該題型與地方卷及新高考對(duì)接，打破常規(guī)數(shù)列試題的考查方式，首次在舊版高考試題中考查“結(jié)構(gòu)不良試題”，在適度開放創(chuàng)新方面表現(xiàn)非凡。該試題給考生充分的選擇空間，是一道非常有特色的題目，對(duì)于沒有接觸過這類考題的考生來說是一個(gè)不小的挑戰(zhàn)，讓考生耳目一新的感覺，同時(shí)也暗含了高考對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法及核心素養(yǎng)的較高要求，克服“大量機(jī)械刷題”的刻板現(xiàn)象。

1.真題呈現(xiàn)

解析：若選擇條件①②，則證明③成立

∴d=2a1,∴a2=a1+d=3a1，∴證明③成立

若選擇條件①③，則證明②成立

若選擇條件②③，則證明①成立

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=(n-1)2a1② ，由①②得：an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1，當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1也符合該式。

∴an+1-an=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1(為常數(shù))n∈N* ∴數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，以2a1為公差的等差數(shù)列，∴證明①成立。

2.“開放性”數(shù)列問題這一新題型對(duì)教學(xué)啟示

2.1 根據(jù)試題考查內(nèi)容及形式確定教學(xué)側(cè)重點(diǎn)。根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》對(duì)數(shù)列部分的基本要求，學(xué)生能了解數(shù)列概念及表示方法；理解等差、等比數(shù)列的概念，掌握前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式。高考數(shù)列試題的設(shè)置基于課標(biāo)基本要求，以數(shù)列概念、求通項(xiàng)公式、求前n項(xiàng)和這些基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能為考查熱點(diǎn)，即注重“雙基”的考查，起點(diǎn)相對(duì)不高。在考生達(dá)到基本要求之后，數(shù)列題目還關(guān)注知識(shí)的綜合運(yùn)用及同其他模塊知識(shí)的融會(huì)貫通(例如同函數(shù)單調(diào)性、最值、周期性、不等式證明放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、分析法等綜合考查)。與此同時(shí)，數(shù)列問題還滲透著多種數(shù)學(xué)思想，如方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、歸納推理思想等，考查學(xué)生綜合能力素養(yǎng)。近些年，地方卷及新高考對(duì)開放創(chuàng)新思維的重視，“開放性”數(shù)列問題悄然而生，教學(xué)中在重點(diǎn)夯實(shí)數(shù)列相關(guān)概念等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，關(guān)注數(shù)列與其他模塊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，點(diǎn)滴滲透，逐步拔高與鞏固，通過對(duì)綜合知識(shí)的運(yùn)用和積累，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。重視以基礎(chǔ)知識(shí)為依據(jù)，從多方位、多角度尋求解題方案，在練習(xí)中改編舊題目，創(chuàng)設(shè)“開放性”新情景，培養(yǎng)創(chuàng)新思維、發(fā)展創(chuàng)新能力。

2.2 根據(jù)考題要求確定數(shù)列課程教學(xué)模式?；凇伴_放性”數(shù)列問題的出現(xiàn)，如何有效挖掘?qū)W生的創(chuàng)造潛能，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，發(fā)展創(chuàng)新能力，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率，這一系列問題似乎成為應(yīng)對(duì)和解決“開放性”問題探索和學(xué)習(xí)的關(guān)鍵。那么，課堂是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要“載體”，建立有效的課堂教學(xué)模式，可以幫助我們切實(shí)解決這一系列困惑。

俗語說“心病”還需“心藥”醫(yī)，那么，“創(chuàng)新問題”也必然需要“創(chuàng)新課堂”才能“對(duì)癥”解決。如今，翻轉(zhuǎn)課堂這種教學(xué)模式已經(jīng)顛覆了以往傳統(tǒng)課堂對(duì)知識(shí)傳授、知識(shí)內(nèi)化的具體過程，學(xué)生變成知識(shí)的構(gòu)建者，可以掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)。通過翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)，學(xué)生需直接面對(duì)新情境、新問題和新內(nèi)容，老師結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況和能力設(shè)計(jì)詳細(xì)導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自主學(xué)習(xí)，多方位、多角度探究與思考?，F(xiàn)以2021年全國(guó)數(shù)學(xué)理科甲卷18題為例，設(shè)計(jì)詳細(xì)導(dǎo)學(xué)案：

(1)課前任務(wù)與問題：

(各小組課前分組準(zhǔn)備，構(gòu)建結(jié)構(gòu)性知識(shí)，注重知識(shí)要點(diǎn)，課堂匯報(bào))

任務(wù)一：請(qǐng)同學(xué)們思考等差數(shù)列的定義？如何判定或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列呢？(包括文字描述、符號(hào)描述和注意要點(diǎn))

任務(wù)二：等差數(shù)列的“靈魂”通項(xiàng)公式an等于什么呢？等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的公式有哪幾個(gè)？

任務(wù)三：有趣的“心連心”型，即已知Sn求an類型題目，我們之前是如何解決的呢？

請(qǐng)同學(xué)們對(duì)新問題談?wù)勛约旱母惺芘c想法，如何解讀新問題？有了新想法和新思路，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手實(shí)施自己的方案。任務(wù)五：設(shè)計(jì)一道變式，或查找資料，完成變式訓(xùn)練。

(2)課堂展示與分組討論(合作交流)

活動(dòng)一：展示與交流：(各小組展示題目及變式)

活動(dòng)二：其他小組提問與質(zhì)疑：(討論)

試圖從不同路徑解決問題，集思廣益，給學(xué)生“柳暗花明又一村”的感受。

活動(dòng)三：對(duì)比與評(píng)估多種思維與方法，你覺得哪一種最適合你，談?wù)勀忝鎸?duì)新問題的感受與解決新問題的“小經(jīng)驗(yàn)”。

(3)收獲與分享(點(diǎn)滴感受，心得，思維導(dǎo)圖，小文章，設(shè)計(jì)變式題目)

整個(gè)設(shè)計(jì)流程，環(huán)環(huán)相扣，逐步引導(dǎo)學(xué)生從課前自主學(xué)習(xí)，到探究創(chuàng)新思考，課堂分組展示，再到課堂交流討論，思維的碰撞，靈光的閃現(xiàn)，最后到收獲與分享，做好知識(shí)自主學(xué)習(xí)與積極探索，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性，切實(shí)有效開展課堂教學(xué)活動(dòng)，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

2.3 根據(jù)“開放性”考題特點(diǎn)尋求考試對(duì)策。課堂教學(xué)的目的主要是為了幫助學(xué)生如何靈活應(yīng)對(duì)紛繁復(fù)雜的考題。對(duì)于“開放性”數(shù)列新題型，同學(xué)們?cè)谙到y(tǒng)學(xué)習(xí)與探索之后，需要總結(jié)出一套行之有效的考場(chǎng)策略。這類題目本身難度不大，但有一定的自主選擇性，學(xué)生們處于青春期，生活和經(jīng)驗(yàn)閱歷尚且不足，面對(duì)諸多選擇性問題總是“優(yōu)柔寡斷，難以抉擇”。存在“選擇困難”問題，不僅浪費(fèi)大量考試時(shí)間，還會(huì)降低答題的信心，影響考試分?jǐn)?shù)。還有部分同學(xué)選擇了一種方案，進(jìn)行不下去了，再回過頭來，選擇第二個(gè)方案重新開始解題，做了很多“無用功”，也大大浪費(fèi)解題時(shí)間。面對(duì)的這樣的狀況，建議同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)課堂訓(xùn)練多練習(xí)、多思考的同時(shí)，積累解題經(jīng)驗(yàn)，考試時(shí)憑借解題經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)確解讀條件和問題的深層含義，有效運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想。由深層含義找到解決問題最適合自己的切入點(diǎn)，由此“順藤摸瓜”一步步得出問題的結(jié)論。試題另一個(gè)難點(diǎn)就是題目為字母化運(yùn)算，相比數(shù)字化運(yùn)算更為抽象，同時(shí)還要注意證明結(jié)果要替換掉中間變量，回歸為題目已知量來進(jìn)行表示。