一道新西蘭數(shù)學(xué)奧林匹克賽題的解法探究

浙江省寧波市北侖區(qū)顧國和中學(xué)(315800)沃玲俐

1 試題呈現(xiàn)

試題(2020 年新西蘭數(shù)學(xué)奧林匹克(第一輪)第2 題)正方形ABCD中,X為線段BC上任意一點(diǎn),Y為直線CD上一點(diǎn),滿足BX=Y D,且D在C和Y之間.證明:XY的中點(diǎn)在BD上.

2 證法探究

分析顯然,線段XY與線段BD相交,只有一個(gè)交點(diǎn),設(shè)其交點(diǎn)為E.欲證線段XY的中點(diǎn)在BD上,只需證明點(diǎn)E是線段XY的中點(diǎn)即可.因此,本題的本質(zhì)是證明EX=EY.

思路1 構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形的性質(zhì)證明.

證法1 如圖1,設(shè)線段XY與線段BD相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)X作XF//CD,交BD于點(diǎn)F.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以∠BXF=∠C=90?,∠XBF=45?.所以∠XFB=∠XBF=45?,所以BX=FX.又因?yàn)锽X=Y D,所以FX=Y D.因 為XF//CD,所 以 ∠DY E=∠EXF,∠Y DE=∠EFX.所 以?DEY∽=?FEX,所以EY=EX.所以點(diǎn)E是線段XY的中點(diǎn),即XY的中點(diǎn)在BD上.

圖1

證法2 如圖2,設(shè)線段XY與線段BD相交于點(diǎn)E.過點(diǎn)Y作Y F//BC,交BD的延長線于點(diǎn)F.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以∠FY D=∠C=90?,∠FDY=∠BDC=45?.所以∠F=∠FDY=45?,所以FY=Y D.又因?yàn)锽X=Y D,所以FY=BX.因?yàn)镕Y//BC,所以∠FY E=∠BXE,∠F=∠EBX.所以?FY E∽=?BXE,所以EY=EX.所以點(diǎn)E是線段XY的中點(diǎn),即XY的中點(diǎn)在BD上.

圖2

點(diǎn)評(píng)為證明EX=EY,需將線段EX和EY放置在兩個(gè)三角形中,然后證明這兩個(gè)三角形全等即可.顯然?DEY和?BXE不是全等三角形,故需構(gòu)造全等三角形.圖1 采用了分割法,即在?BXE中分割出了一個(gè)?FEX,得到?DEY∽=?FEX.圖2 采用了擴(kuò)充法,即將?DEY擴(kuò)充為?FY E,從而得到?FY E?BXE.不論采用什么方法,其目的都是為了構(gòu)造全等三角形,然后利用全等三角形的性質(zhì)證明EX=EY.因此,全等三角形是證明線段相等關(guān)系的基本工具,具有普適性.

思路2 構(gòu)造輔助圓,借助圓的有關(guān)性質(zhì)證明.

證法3 如圖3,設(shè)線段XY與線段BD相交于點(diǎn)E.連接AX,AE,AY.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB=AD,∠ABX=∠ADY=90?.又因?yàn)锽X=Y D,所以?ABX=∽ ?ADY.所以AX=AY,∠BAX=∠DAY.從而易知∠XAY=∠BAD=90?,∠AXY=∠ABD=45?.所以A,B,X,E四點(diǎn)共圓.由圓的性質(zhì),易知AE⊥XY.從而可知點(diǎn)E是線段XY的中點(diǎn),即XY的中點(diǎn)在BD上.

圖3

點(diǎn)評(píng)根據(jù)正方形的性質(zhì)及BX=Y D,易證AX=AY,∠XAY=90?,即?AXY是等腰直角三角形,欲證EY=EX,只需證明AE⊥XY.在四邊形ABXE中,∠ABX=90?,所以只需證明A,B,X,E四點(diǎn)共圓即可.由此可以看出,圓的性質(zhì)也是證明線段相等關(guān)系的常用工具.

證法4 如圖4,設(shè)線段XY與線段BD相交于點(diǎn)E.連接AX,AE,AY.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AB=AD,∠ABX=∠ADY=90?.又因?yàn)锽X=Y D,所以?ABX∽=?ADY.所以AX=AY,∠BAX=∠DAY.從而易知∠XAY=∠BAD=90?,又∠BCD=90?,所以A,X,C,Y四點(diǎn)共圓,XY是該圓的直徑.由正方形的性質(zhì),易知AE=CE.從而可知點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上,即點(diǎn)E在直線BD上,所以該圓的直徑也在直線BD上.

圖4

綜上所述,點(diǎn)E是該圓的圓心,從而可知EX=EY.所以點(diǎn)E是線段XY的中點(diǎn),即XY的中點(diǎn)在BD上.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)正方形的性質(zhì)及BX=Y D,易證∠XAY=90?,又∠BCD=90?,所以A,X,C,Y四點(diǎn)共圓,XY是這個(gè)圓的直徑.欲證明EX=EY,只需證明點(diǎn)E是該圓的圓心即可.由正方形的性質(zhì),易知AE=CE.由線段垂直平分線的判定可知點(diǎn)E在線段AC的垂直平分線上,點(diǎn)A和點(diǎn)C又在該圓上,它關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱,從而說明該圓的直徑在直線BD上.根據(jù)據(jù)圓的性質(zhì),圓的兩條直徑所在直線的交點(diǎn)即為該圓的圓心,從而可知EX=EY.

思路3 利用解析法證明.

證法5 如圖5,以AB邊所在直線為x軸,以AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)線段XY與線段BD相交于點(diǎn)E.設(shè)AB=m,BX=n,則B(m,0),D(0,m),X(m,n),Y(?n,m).易知直線BD的表達(dá)式為y=?x+m,直線XY的表達(dá)式為y=即線段XY與線段BD的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,易知點(diǎn)E是線段XY的中點(diǎn),即XY的中點(diǎn)在BD上.

圖5

證法6 如圖5,以AB邊所在直線為x軸,以AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)線段XY與線段BD相交于點(diǎn)E.設(shè)AB=m,BX=n,則B(m,0),D(0,m),X(m,n),Y(?n,m).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,易知線段XY的中點(diǎn)為.易知直線BD的表達(dá)式為y=?x+m.顯然,在直線y=?x+m上.所以XY的中點(diǎn)在BD上.

點(diǎn)評(píng)四邊形ABCD是正方形,可考慮利用解析法解決問題.以AB邊所在直線為x軸,以AD所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系后,直線BD和直線XY的表達(dá)式易求得,然后證明該點(diǎn)是線段XY的中點(diǎn)即可;或先求出線段XY的中點(diǎn)坐標(biāo),然后證明該點(diǎn)在直線BD上即可.

3 解題反思

比較上面6 種證明方法,顯然證法6 的計(jì)算量較小,證明過程更簡潔一些.由此可以看出,解析法也是解決與正方形有關(guān)幾何問題的基本工具.利用解析法解決幾何問題時(shí),一是要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,盡可能減少參數(shù),以方便表示某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo);二是表示出某些關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),求出某些關(guān)鍵直線的表達(dá)式,實(shí)現(xiàn)幾何問題代數(shù)化;三是利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)或有關(guān)代數(shù)方法解決幾何問題.通過對(duì)上述試題多種證法探究,落實(shí)了培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力,提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).