利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則同構(gòu)變形巧解函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

廣東廣雅中學(xué)(510160)徐廣華

筆者研究發(fā)現(xiàn),在既含ex又含lnx的混合型不等式恒成立或函數(shù)的最值、零點(diǎn)問(wèn)題中,可以利用指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則對(duì)其進(jìn)行同構(gòu)變形,然后通過(guò)整體換元、構(gòu)造函數(shù)或放縮法解之,這比常規(guī)的分類討論方法要簡(jiǎn)便很多.

1 處理指數(shù)和對(duì)數(shù)混合題型的常用同構(gòu)變形方法

2 放縮法解決不等式恒成立問(wèn)題常用的重要不等式

ex≥x+1(x ∈R),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0 時(shí)成立;ex≥ ex(x ∈R),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)成立;(ex≥x+1 中的x用x ?1 代,得ex?1≥x ?ex≥ex),≤lnx≤x ?1(x>0),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)成立.

3 同構(gòu)變形與放縮法在函數(shù)不等式中的應(yīng)用舉例

3.1 巧解函數(shù)的最值問(wèn)題

評(píng)注求這類含有自然指數(shù)和自然對(duì)數(shù)的混合型復(fù)雜函數(shù)的最值問(wèn)題,同構(gòu)變形后,靈活利用重要不等式ex≥x+1(x ∈R)合理放縮求之,顯得非常簡(jiǎn)捷.

3.2 巧解函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

分析(1) 由f(x0)=0,得=2?lnx0,兩邊取自然對(duì)數(shù),得2 lnx0+x0?2=ln(2?lnx0),同構(gòu)變形為lnx0+x0=ln(2?lnx0)+(2?lnx0).構(gòu)造函數(shù)F(t)=lnt+t,則有F(x0)=F(2?lnx0),顯然F(t)是增函數(shù),故x0=2?lnx0,即lnx0=2?x0,則=x0,故

(2)由ea=,得a=ln 2?lna,即

由b(lnb ?1)=2e,兩邊取自然對(duì)數(shù),得

觀察①②兩式,構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx,則f(a)=f(lnb ?1)=ln 2.顯然f(t)是增函數(shù),故a=lnb ?1,代入①,得lna+lnb=1+ln 2,即ln(ab)=ln(2e),故ab=2e.

評(píng)注乘積指數(shù)型函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,可嘗試兩邊取自然對(duì)數(shù),同構(gòu)變形后,構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性求解.

例3 已知函數(shù)f(x)=2xex ?ax ?alnx(a ∈R).

(1) 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1,f(1)) 處的切線l過(guò)點(diǎn)(0,?2e?1),求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

評(píng)注自然指數(shù)和自然對(duì)數(shù)混合型函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,可嘗試同構(gòu)變形,然后換元,再數(shù)形結(jié)合求解.

3.3 巧解不等式恒成立參數(shù)的取值范圍問(wèn)題

例4 (1)已知函數(shù)f(x)=ex?1+xlnx ?x2?ax,若f(x)≥0 恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

(2)(2021 四川資陽(yáng)高三月考)若不等式xex ?a(x+2)?alnx≥0 恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

例6 (2020 全國(guó)新高考I 卷第21 題) 已知函數(shù)f(x)=aex?1?lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e 時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)≥1,求a的取值范圍.

分析(1)略.(2)f(x)≥1 同構(gòu)變形為elna+x?1?lnx+lna≥1?elna+x?1+(lna+x ?1)≥x+lnx=elnx+lnx.構(gòu)造函數(shù)F(t)=et+t,則F(t)在R上單調(diào)遞增,則

恒成立,轉(zhuǎn)化為lna≥g(x)max.易知g(x)max=g(1)=0,則lna≥0,故a≥1 為所求.

例7 (1)若不等式2ae2x ?lnx+lna≥0 恒成立,則實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)___.

恒成立,轉(zhuǎn)化為lna >g(x)max.易知g(x)max=g(?1)=1,則lna>1,故a ∈(e,+∞)為所求.

評(píng)注不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,有時(shí)為了化為同構(gòu)模型,需要在不等式兩邊同時(shí)加上某個(gè)變量(如: 兩邊同時(shí)加上x(chóng)或2x),然后構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性求解.

例8 (2021 福州質(zhì)量檢測(cè)第22 題)已知f(x)=x2ex?1.

(1)判斷f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;

(2)若f(x)≥a(2 lnx+x),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析(1)略.(2)解法一不等式可化為e2lnx+x ?1 ≥a(2 lnx+x).換元: 令t=2 lnx+x,則轉(zhuǎn)化為

評(píng)注不等式恒成立求參數(shù)取值范圍問(wèn)題,同構(gòu)變形后,分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求含有自然指數(shù)和自然對(duì)數(shù)的混合型復(fù)雜函數(shù)的最值,可嘗試?yán)弥匾坏仁絜x≥x+1(x ∈R)或ex≥ex(x ∈R)放縮法求之.

3.4 巧證函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

以上例子告訴我們,在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而達(dá)到復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、難解問(wèn)題容易化、抽象問(wèn)題具體化的目的,這種化歸轉(zhuǎn)化思想非常重要.縱觀近些年的高考試題,絕大部分要考查到化歸轉(zhuǎn)化思想.同構(gòu)變形、整體換元、構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù)等思想和方法,更是解決不等式恒成立或函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的常用手段.在解題教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生注意觀察,善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系,尋找結(jié)構(gòu)形式上的相似點(diǎn),唯有“套路”得人心,大道至簡(jiǎn),培養(yǎng)學(xué)生的求簡(jiǎn)意識(shí),提升核心素養(yǎng).