初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)部分學(xué)習(xí)中常見(jiàn)錯(cuò)誤研究

余 興

(重慶市渝北區(qū)悅港中學(xué) 重慶 401120)

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)是學(xué)生之前學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的進(jìn)一步擴(kuò)展，要求培養(yǎng)學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的邏輯思維。二次函數(shù)是教學(xué)重難點(diǎn)，加上二次函數(shù)對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)和生活有很大的影響，所以，教師務(wù)必要重視二次函數(shù)的教學(xué)。在課堂中尊重學(xué)生的主體地位，突出教學(xué)重點(diǎn)，讓學(xué)生充分參與到教學(xué)活動(dòng)中，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。在實(shí)際教學(xué)中，首先要了解學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)情況，然后對(duì)常見(jiàn)問(wèn)題進(jìn)行分析，找到問(wèn)題的關(guān)鍵，幫助學(xué)生理解和掌握二次函數(shù)。

一、二次函數(shù)學(xué)習(xí)的組成部分

（一）概念部分

二次函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用十分廣泛，在不同的領(lǐng)域都能發(fā)揮其應(yīng)用的價(jià)值，不僅可以反映現(xiàn)實(shí)生活中變量之間的數(shù)量關(guān)系，還可以反映變化規(guī)律，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)。一般地，我們把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫作二次函數(shù)，包含二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)以及常數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。在學(xué)習(xí)中需要注意，變量并不代表是未知數(shù)，所以，二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)，這樣的說(shuō)法是錯(cuò)誤的。在二次函數(shù)中，未知數(shù)是一個(gè)具體值未知的數(shù)，就只是一個(gè)數(shù)，而變量是可以在一定范圍內(nèi)進(jìn)行任意取值的。在教學(xué)過(guò)程中，教師可以通過(guò)真實(shí)是案例進(jìn)行，將二次函數(shù)和生活相結(jié)合，提高課堂的教學(xué)效率，幫助學(xué)生掌握知識(shí)重點(diǎn)。

（二）圖像與性質(zhì)

1.圖像

如果我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出二次函數(shù)的圖像時(shí)，就可以通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：二次函數(shù)的圖像是一條永無(wú)止境的拋物線，并且是一條對(duì)稱軸平行與y軸的拋物線，也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是y軸（即直線x=0）。二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖形的開(kāi)口方向和大小，當(dāng)y=ax2(a＞0)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨著x的增大而減小，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x=0時(shí)，y最小=0；當(dāng)y=ax2（a＜0）時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨著x的增大而減少，當(dāng)x=0時(shí)，y最大=0；拋物線y=ax2(a≠0)的形狀是由|a|確定的，一般來(lái)說(shuō)，|a|越大，拋物線的開(kāi)口就越小。

2.性質(zhì)

特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c(a≠0)，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax2+bx+c=0(a≠0)此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。一般，二次函數(shù)分為一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式以及等高式。其中一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，其中坐標(biāo)為（h,k），對(duì)稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開(kāi)口方向與函數(shù)y=ax2的圖像相同。交點(diǎn)式：是指已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)(x1,x2)和拋物線上另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(m,n)，來(lái)求函數(shù)解析式，公式為：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2為常數(shù))。等高式：y=a(x-x1)(x-x2)+m(a≠0，且過(guò)(x1、m)(x2、m)為常數(shù))，x1、x2為二次函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。

（三）應(yīng)用部分

二次函數(shù)在我們生活中的應(yīng)用范圍十分廣泛，教師應(yīng)在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在運(yùn)用中體會(huì)二次函數(shù)的實(shí)際意義[1]。教師要明確教學(xué)目標(biāo)，不僅要讓學(xué)生掌握二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，以及運(yùn)用二次函數(shù)解決生活實(shí)際問(wèn)題，還要讓學(xué)生體驗(yàn)解決的過(guò)程，幫助學(xué)生探索解決的辦法。

在二次函數(shù)應(yīng)用教學(xué)部分，教師要培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生將實(shí)際中求優(yōu)化的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，然后列出函數(shù)等式求最值。其次，還要培養(yǎng)學(xué)生的建模思想，要引導(dǎo)學(xué)生耐心審題，在審題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，然后進(jìn)行抽象化、簡(jiǎn)單化的處理，最后進(jìn)行解決，鍛煉學(xué)生的思維方式和思維過(guò)程，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系解決問(wèn)題，還要讓學(xué)生在圖像中觀察動(dòng)點(diǎn)，確定集合圖形的形狀，提高學(xué)生應(yīng)用能力。

二、二次函數(shù)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤

（一）系數(shù)取值范圍認(rèn)識(shí)不足

在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，看圖像時(shí)切記系數(shù)的取值范圍，在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，確定最值問(wèn)題是非常重要的。很多學(xué)生在求自變量的取值范圍時(shí)，忽略了二次函數(shù)系數(shù)的取值范圍以及實(shí)際生活中的邏輯關(guān)系等，就會(huì)出現(xiàn)一系列的問(wèn)題。學(xué)生對(duì)系數(shù)取值范圍認(rèn)知不足，會(huì)導(dǎo)致在做題的過(guò)程中產(chǎn)生錯(cuò)誤。系數(shù)a的取值不僅決定了二次函數(shù)的開(kāi)口方向和大小，還決定了函數(shù)的值域變化。

例如：已知二次函數(shù)y=2x2-4x+1，當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，求它的最大值和最小值。都忘記確認(rèn)對(duì)稱軸是否自變量的取值范圍內(nèi)，所以就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

（二）對(duì)解析式的理解不到位

二次函數(shù)不僅是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，也是學(xué)生步入高中后的基礎(chǔ)內(nèi)容。在二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中熟練求出二次函數(shù)解析式是解決二次函數(shù)問(wèn)題的重要保證，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)不同的條件，設(shè)出正確的解析式。解析式包括一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式以及對(duì)稱點(diǎn)式，學(xué)生對(duì)這幾種解析式的形式理解不到位，就很難根據(jù)問(wèn)題條件，設(shè)出正確的解析式[2]。

例如：當(dāng)給出條件是拋物線與x軸的交點(diǎn)或者對(duì)稱軸或者與x軸的交點(diǎn)距離時(shí)，本該設(shè)成交點(diǎn)式，學(xué)生卻設(shè)成頂點(diǎn)式，學(xué)生沒(méi)有充分了解和掌握二次函數(shù)解析式的基本形式，導(dǎo)致在求二次函數(shù)時(shí)設(shè)出錯(cuò)誤的解析式。

（三）配方錯(cuò)誤或者公式錯(cuò)誤

在初中二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，二次函數(shù)的配方一直是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，學(xué)生雖然在課堂中記住了教師講解的重點(diǎn)，但是在課后訓(xùn)練時(shí)，仍然會(huì)答錯(cuò)。要么是沒(méi)有提出二次項(xiàng)系數(shù)，要么就是配方時(shí)加上的數(shù)字不對(duì)。配方的步驟很復(fù)雜，且知識(shí)點(diǎn)較多，首先要提公因式，將二次項(xiàng)的系數(shù)變成1之后進(jìn)行配方，然后將前三項(xiàng)組成完全平方式，常數(shù)項(xiàng)算出結(jié)果，進(jìn)行配方。其中涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，所以導(dǎo)致學(xué)生不能完全掌握，在配完全平方時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生在沒(méi)有理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行死記硬背是無(wú)法掌握新知識(shí)的，教師要根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)水平進(jìn)行教學(xué)，提高學(xué)生的實(shí)踐能力，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握知識(shí)點(diǎn)。

例如：在將y=x2+3x+2配方時(shí)，需要對(duì)比完全平方公式a2±2ab+b2＝(a±b)2，但是有的學(xué)生就會(huì)記錯(cuò)公式，所以得不到正確的結(jié)果。

（四）二次函數(shù)圖像繪制錯(cuò)誤

在初中二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，繪制二次函數(shù)圖像也非常重要，二次函數(shù)圖像是研究二次函數(shù)的重要工具，但是很多學(xué)生在繪制二次函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題。會(huì)因?yàn)楹雎宰宰兞康娜≈?，改變二次函?shù)圖形的開(kāi)口方向，導(dǎo)致出錯(cuò)[3]?；蛘卟荒艽_定對(duì)稱軸，這都是影響學(xué)生繪制二次函數(shù)圖像的關(guān)鍵。在繪制圖像時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生首先確定對(duì)稱軸x=-b/2a，然后得到x之后，再把這個(gè)x代入函數(shù)就能求出頂點(diǎn)y的坐標(biāo)。然后設(shè)x=0，可得y軸上的截距，找到這個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，就可以大致畫(huà)出二次函數(shù)圖像了。

（五）二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)錯(cuò)誤

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)是初中二次函數(shù)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，其中包含很多題型，如因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的面積問(wèn)題、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的等腰三角形的問(wèn)題、因動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的相似形問(wèn)題等。這些問(wèn)題對(duì)于大部分學(xué)生都是存在難點(diǎn)的，所以在二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例題：當(dāng)整數(shù)k是何值時(shí)，二次函數(shù)y=(3-k)x2-a(k+1)x+3k-1的圖像與x軸交于橫坐標(biāo)為正數(shù)的兩個(gè)不同點(diǎn)？其中部分同學(xué)會(huì)出錯(cuò)，錯(cuò)誤原因是因?yàn)閤1+x2＞0，且x1x2＞0，但是還不夠使二次函數(shù)圖像與x軸相交于不同的點(diǎn)，所以解題出錯(cuò)。

（六）二次函數(shù)的應(yīng)用不合理

初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)在生活中的應(yīng)用十分廣泛，教師要引導(dǎo)學(xué)生利用二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)去分析生活中的問(wèn)題并解決，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中真正掌握二次函數(shù)的實(shí)際作用。二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的轉(zhuǎn)換過(guò)程，需要在具體的問(wèn)題總結(jié)數(shù)量的變化規(guī)律過(guò)程，運(yùn)用函數(shù)的思想求最值和數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題。在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，通常以“以靜制動(dòng)”的方法，把握具體的精致?tīng)顟B(tài)，然后進(jìn)行觀察和分析，尋找具體的等量關(guān)系，在求最值時(shí)，可用配方法或者公式法，同時(shí)取值時(shí)注意自變量的取值范圍。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)過(guò)程中，教師首先要了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，根據(jù)學(xué)生的具體情況發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，然后針對(duì)性地提出解決的方法，提高初中二次函數(shù)的教學(xué)效率。在初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)系數(shù)取值范圍認(rèn)識(shí)不足、對(duì)解析式的理解不到位、配方錯(cuò)誤或者公式錯(cuò)誤、二次函數(shù)圖像繪制錯(cuò)誤、二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)錯(cuò)誤、二次函數(shù)的應(yīng)用不合理等問(wèn)題，教師要結(jié)合學(xué)生的問(wèn)題進(jìn)行有效教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)建高效的初中數(shù)學(xué)課堂，尊重學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生形成利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力和素質(zhì)的提升。