基于參考壓縮線的砂土壓縮模型?

張民生，申志聰，王振豪，孔令明

(1. 北京航空航天大學交通科學與工程學院，北京 100191；2. 中國海洋大學環(huán)境科學與工程學院，山東 青島 266100；3. 北京建筑大學土木與交通工程學院，北京 100044)

砂土是一種結(jié)構(gòu)簡單但在高壓下易顆粒破碎的散粒組合體，其基本力學特性主要有壓硬性、摩擦性及剪脹性。由于顆粒間結(jié)構(gòu)松散，極易擾動，制備土樣孔隙比變化較大，導致砂土有許多壓縮線，這是砂土區(qū)別于粘土的特征之一。砂土顆粒間接觸面積極小，壓縮過程中應力大于顆粒強度，從而產(chǎn)生顆粒破碎現(xiàn)象，這一力學特征也是砂土區(qū)別于粘土的顯著標志。

在寬應力變化范圍內(nèi)，砂土的等向壓縮具有以下特征：低壓條件下，砂土壓縮性較差，幾乎不可壓縮，體積變化主要以顆粒間的彈性變形為主，在V-lgp空間內(nèi)壓縮曲線變化緩慢；隨著壓力增加，砂土的壓縮性顯著增大，在一定應力區(qū)間壓縮曲線斜率變化明顯，該區(qū)間被認為是土顆粒破損或破碎的標志；在高應力區(qū)，不同密實度的試樣壓縮曲線趨向歸并為同一條曲線[1-5]。

現(xiàn)有模型在描述砂土壓縮時主要采用單對數(shù)方法、雙對數(shù)方法、冪次方法及非線性函數(shù)方法。單對數(shù)方法假設(shè)孔隙比與壓力的對數(shù)呈線性關(guān)系，這種方法對于粘土有很好的適用性，劍橋模型及修正劍橋模型[6]均采用該方法，雖然一些學者也采用此方法描述顆粒材料[7-8]，但該方法在描述低應力時存在一定的局限性。而且，單對數(shù)方法中孔隙比與固結(jié)(壓縮)壓力呈對數(shù)關(guān)系，當壓力足夠大時，孔隙比出現(xiàn)負值，這不符合試驗規(guī)律。為克服單對數(shù)方法無法真實反映物理試驗現(xiàn)象的問題，一些學者[2,9-10]提出了雙對數(shù)法描述粘土固結(jié)特性，而Sheng等[2]利用該方法很好地描述了砂土低應力下的非線性壓縮特性及臨界狀態(tài)線。冪次方法起初基于砂土彈性模量與壓縮壓力或垂直壓力的冪次方呈正比[11]。由于砂土彈性模量的冪次表達方法在工程中受到廣泛認可，且真實砂土臨界狀態(tài)線也符合冪次規(guī)律[5]，因此建立一個基于冪次變化規(guī)律的壓縮曲線將對本構(gòu)模型的建立提供極大方便。同時冪次函數(shù)用于描述低應力下砂土壓縮特性[12]也具有一定的適用性，而且基于冪次函數(shù)描述砂土等向壓縮特性已取得了一定的效果[1,3-4,13-16]。

本文在分析砂土的等向壓縮特征基礎(chǔ)上，依托臨界狀態(tài)線建立砂土等向壓縮參考線，并通過塑性修正方法獲取其它壓縮線的斜率。建立的模型能夠同時考慮塑性變形與彈性模量。利用已有砂土試驗數(shù)據(jù)對模型進行驗證。

1 砂土壓縮模型

1.1 高壓下砂土的極限孔隙比

常壓下制備砂土存在最小孔隙比，隨著壓力增加最小孔隙比也會逐漸減小，極高壓力下砂土顆粒發(fā)生破碎形成多個細小顆粒，導致顆粒間接觸空間減小。當顆粒破碎到一定程度時不再發(fā)生破碎，接觸空間也不再減小，從而形成了高壓下的極限孔隙比。由于顆粒力學特性不同，不同的砂土破碎后形成的粒徑大小及形狀各不相同，因此高壓下的極限孔隙比沒有統(tǒng)一值。通過分析已有關(guān)于高壓下不同砂土壓縮試驗[17]及剪切試驗[18-19](試驗壓力大于50 MPa，見圖1)，可以看出試驗停止時，孔隙比主要在0.05～0.2區(qū)間內(nèi)分布，即使在1 000 MPa下砂土的極限孔隙比仍然不為0，因此描述砂土壓縮規(guī)律時應參考極限孔隙比影響。

圖1 極限孔隙比隨壓力分布Fig.1 Limited void ratio vary with pressure in V-lgp

1.2 砂土參考壓縮線

飽和粘土的正常固結(jié)線是描述其在不同應力歷史下固結(jié)特性的參考線。由于粘土顆粒的物理化學作用，正常固結(jié)線相對較為穩(wěn)定且唯一，即土的應力狀態(tài)與土的孔隙比之間存在著唯一性關(guān)系，而且這種關(guān)系可以通過粘土的等向固結(jié)試驗獲取。

而砂土顆粒構(gòu)成則較為簡單，容易擾動，導致低應力下制備的試樣孔隙比變化較大，進而使得砂土的壓縮線不唯一，也就是土的應力狀態(tài)與砂土孔隙比之間唯一性關(guān)系不成立，從而增加了砂土壓縮特性數(shù)學描述的困難。因此，尋找合適的等向壓縮線作為參考線是有效描述砂土等向壓縮特性關(guān)鍵，本文將該曲線稱為參考壓縮線。通過砂土的等向壓縮試驗可以發(fā)現(xiàn)不同孔隙比的砂土等向壓縮線在高壓下最終均會匯聚于同一條線[1]。參考壓縮線作為其中的一條等向壓縮線，最終也會與其它等向壓縮線在高壓下相匯聚。同時，Javanmardi等[20]與Sheng等[2]認為在雙對數(shù)空間內(nèi)同樣存在一條參考狀態(tài)線,該線與臨界狀態(tài)線(CSL)在壓力為1 kPa時相交，并且在壓力無限大時與臨界狀態(tài)線近似平行。姚仰平等[21]認為在壓力為0時，粘土的固結(jié)狀態(tài)與臨界狀態(tài)應該為同一狀態(tài)，這意味著兩者在壓力為0時相交。基于前人的研究基礎(chǔ)[2,20-21]，本文建議砂土參考壓縮線特征：在壓力為0時與臨界狀態(tài)線相交，在高壓時與其它壓縮線匯聚。

砂土等向壓縮線及臨界狀態(tài)線(CSL)在V-lgp空間內(nèi)的非線性變化特征促使學者尋找更好的數(shù)學函數(shù)來描述其壓縮規(guī)律。為考慮極限孔隙比對等向壓縮影響，本文采用V體積(V=1+e)對數(shù)與壓力的冪次關(guān)系來描述砂土臨界狀態(tài)線和參考壓縮線。以Toyoura[22]砂為例，采用以下公式擬合砂土CSL線為：

(1)

式中:p為壓縮壓力；Vc為p對應的背景狀態(tài)體積；Vmin為高壓下的極限體積；Vc0為臨界狀態(tài)線上p為0時的體積；λc為曲線斜率；ξ為材料常數(shù),對于Toyoura砂取值2/3。從式(1)可以看出CSL線在ln(V-Vmin)-(p/pa)ξ空間內(nèi)為直線段且斜率為λc。從圖2中可以看出利用式1擬合的Toyoura砂臨界狀態(tài)線數(shù)據(jù)離散性較低，擬合效果較為理想。

根據(jù)假設(shè)，砂土的參考壓縮線與臨界狀態(tài)線在0點相交，且數(shù)學表達方式與臨界狀態(tài)線相似，因此參考壓縮線的表達式可表示為：

(2)

式中:Vr為參數(shù)壓縮線上p對應的體積；Vr0為參考壓縮線上壓力為0時的體積；且Vr0=Vc0；λr為曲線斜率。如圖2，取等體積下臨界狀態(tài)線和壓縮線上A點和B點對應的壓力pA與pB，分別代入式(1)與式(2)，并聯(lián)立可得

(3)

圖2 V-lgp空間內(nèi)臨界狀態(tài)線及參考壓縮線變化規(guī)律[22]Fig.2 The critical state line and reference compression curve in V-lgp space[22]

由式3可見，參考壓縮線與CSL線在任意體積下所對應的壓力比值恒定，這與粘土的性質(zhì)是完全一致，說明用對數(shù)-冪次函數(shù)描述砂土壓縮線具有合理性。圖3為參考壓縮線在V-lgp空間內(nèi)分布規(guī)律。從圖中可以看出：低壓時曲線斜率接近于0，體積隨壓力變化極??；隨著壓力增加曲線斜率急劇變化后并在一定壓力范圍內(nèi)保持相對穩(wěn)定；在較大高壓階段曲線又逐漸變?yōu)榫徠?，此時已趨近臨界體積。

圖3 V-lgp平面內(nèi)參考壓縮線變化規(guī)律

根據(jù)參考壓縮線與臨界狀態(tài)線之間的關(guān)系，在臨界狀態(tài)線已知條件下，可確定臨界狀態(tài)在壓力為0時的體積Vc0。制備體積為Vc0的砂土進行等向壓縮即可得到參考壓縮線。此外，根據(jù)參考壓縮線的定義，可根據(jù)不同壓縮線在高壓下匯聚于一條線這一基本試驗規(guī)律而進行擬合得到。圖4為Cambria砂[23]的壓縮試驗及三軸剪切試驗結(jié)果。在假定Vmin為0.17，ξ為2/3前提下，利用公式1對臨界狀態(tài)線進行擬合得到Vc0，然后利用公式2調(diào)整參考壓縮線斜率λr使與其在高壓下與壓縮曲線匯聚，從而得到λr的確定值。砂土在高壓下會發(fā)生顆粒破碎，圖中Cambria砂的臨界狀態(tài)和等向壓縮試驗均包含了砂土的顆粒破碎，本文建立的參考壓縮線函數(shù)基于等向壓縮試驗和三軸剪切試驗，因此曲線函數(shù)已將顆粒破碎及壓縮作為一個整體來考慮。從對比結(jié)果可以看出參考壓縮線在描述包含砂土顆粒破碎時仍然具有適用性。

圖4 Cambria砂的臨界狀態(tài)線及參考壓縮線[23]

1.3 其它壓縮線

對于其它壓縮線的變化規(guī)律，本文采用增量形式表達，其思想是通過狀態(tài)參量來修正參考壓縮線。對式(2)進行微分可得：

(4)

假設(shè)砂土的彈性變形同樣符合式(2)變化規(guī)律，則參考壓縮線上當前體積對應的彈性增量可表示為：

(5)

式中κ為ln(V-Vmin)-(p/pa)ξ空間內(nèi)的砂土彈性變形系數(shù)。式5表明砂土的彈性變形不僅與壓力有關(guān)而且與孔隙比有關(guān)。Pestana等[1]及Chang等[24]采用過類似的方式來描述砂土的彈性變形。本文進一步考慮了極限體積的影響。砂土塑性變形可表示為：

(6)

由式6可以看出參考壓縮線上塑性變形的增量同樣與壓力和體積有關(guān)。其它體積下砂土的塑性變形可利用塑性修正函數(shù)來修正，即：

(7)

式中：kn為恒大于0的材料參數(shù)；ψ為e-lgp空間內(nèi)當前體積到參考壓縮線的豎直距離(如圖3所示)，即：

ψ=V-Vr。

(8)

將式7代入式6可得

(9)

最終得到不同體積下的壓縮增量表達式為：

(10)

砂土體積應變增量則可表示為：

(11)

式中采用塑性修正方法求取其它體積下的壓縮增量具有明顯優(yōu)勢。式10中，exp(knψ)>0，λr-κ>0，則exp(knψ)(λr-κ)>0，這就保證了修正后的壓縮曲線斜率恒大于κ，從而避免了數(shù)值計算過程中壓縮變形呈現(xiàn)負增長的情形，保證數(shù)值計算穩(wěn)定性。當前孔隙比位于參考壓縮線上方時ψ>0，由于kn為恒大于0則exp(knψ)>1，(λr-κ)exp(knψ)+κ>λr，說明壓縮線向參考壓縮線趨近。當前孔隙比位于參考壓縮線上方時ψ<0，exp(knψ)<1，(λr-κ)exp(knψ)+κ<λr，則等向壓縮線相對于參考壓縮線較為平緩。

1.4 彈性模量

(12)

則體積彈性模量K及剪切模量G則可表示為：

(13)

(14)

雖然假設(shè)砂土彈性變形在ln(V-Vmin)-(p/pa)ξ空間內(nèi)只與壓縮壓力有關(guān)，但式13已體現(xiàn)出體積對體積彈性模量K的影響。從式13可以看出體積彈性模量K不僅隨壓縮壓力升高而增加，也隨著體積的減小而增加，很好地反映了砂土的壓硬性及彈性模量的密實度相關(guān)性。

1.5 模型參數(shù)

建立的砂土壓縮模型包括6個參數(shù)，Vmin、Vr0、λr、κ、ξ及kn。其中ξ為材料常數(shù)，當材料為粘土時取值為1[25]，對于各向同性壓縮的顆粒材料，ξ趨近于2/3[1,24]，有些學者將ξ取值于0.7[5]或1/2[3,26]，本文取2/3。Vmin可取200 MPa壓力對應的體積，對于Toyoura砂本文取值為1.2(見表1)。

表1 模型參數(shù)列表

κ為回彈曲線斜率，可在ln(V-Vmin)-(p/pa)ξ空間內(nèi)利用砂土回彈曲線及最密壓縮線擬合得到(如圖5)。通過對Toyoura砂[22]壓縮試驗回彈曲線及最密壓縮線的擬合得到曲線斜率分別為0.005、0.004 6及0.005 9(見圖5)，本文取0.005 3。

Vr0與λr為參考壓縮線所對應的初始體積和斜率，結(jié)合Toyoura砂臨界狀態(tài)線等向壓縮試驗，確定λr為0.013，Vr為1.944。

參數(shù)kn的數(shù)值可由姚仰平等[27]的硬化參量及Dafalias等[28]提出的狀態(tài)參量確定。kn=4(nf-nd)，由文獻nf為3.5，nd為-1.7，得到kn為20.8。

圖5 κ標定結(jié)果

2 模型驗證

圖6為Toyoura砂土的壓縮試驗結(jié)果與模型預測對比，試驗數(shù)據(jù)來源于Verdugo等[22]的飽和砂土的等向壓縮試驗，初始孔隙比分別為0.6、0.81、0.9及1.02對應的初始體積分別為1.6、1.81、1.9及2.02。從圖6中可以看出，當前體積位于參考壓縮線上時，壓縮曲線斜率大于參考壓縮線并向參考壓縮線趨近。當前體積位于參考壓縮下之下時，曲線相對于參考壓縮線較為平緩，當前體積與參考壓縮線的豎直距離越大則曲線平緩程度越高。模型預測的不同體積所對應的壓縮線最終都匯聚于參考壓縮線。從圖中可以看出。預測體積變化趨勢與試驗結(jié)果也較為吻合，說明模型能夠很好地描述不同體積和壓力下砂土的壓縮特性。

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圖6 Toyoura砂壓縮試驗結(jié)果與預測對比[22]

圖7為Miura 等[29]開展的Toyoura砂的三軸壓縮試驗。試驗砂土比重為2.64，最大顆粒直徑為0.25 mm，不均勻系數(shù)為1.5，最大孔隙比為0.92，最小孔隙比為0.58，試驗試樣初始孔隙比與體積分別為0.83和1.83。整個試驗進行了3次加載和2次卸載過程：首先由300 kPa的起始壓力加載至10 MPa(體積約為1.728)，然后卸載至200 kPa(體積約為1.77)；繼續(xù)加載至17 MPa(體積約為1.666)，再次卸載至488 kPa(體積約為1.71)；最后再次加載至20 MPa。本文預測了3次加載過程，從圖中可以看出由于初始體積位于參考壓縮線之下，加載時壓縮線斜率相對較為平緩，當前體積距參考壓縮線越大，則曲線越平緩。圖7顯示模型預測結(jié)果與砂土壓縮試驗結(jié)果較為一致，同樣很好地反映了砂土的壓縮特性。

圖7 Toyoura砂加卸載試驗結(jié)果與模型預測對比[29]

現(xiàn)有彈性模量試驗手段除壓縮試驗外，還有彎曲元試驗、共振柱試驗及現(xiàn)場剪切波速試驗，這些方法均屬于小變形范疇。而本文所采用的砂土模量是基于中等變形范疇的壓縮試驗規(guī)律得到的。由于砂土的彈性模量與其應變水平相關(guān)，應變越小彈性模量越大，并且彈性模量隨著應變水平的增加呈現(xiàn)規(guī)律變化。為驗證體積對彈性模量變化趨勢影響，分別采用應變因子FRC(γ)=3和FBE(γ)=3.85對共振柱試驗(RC)與彎曲元(BE)試驗數(shù)據(jù)進行歸一化處理。圖8為預測Toyoura砂的剪切模量與彎曲元及共振柱試驗數(shù)據(jù)[30]對比。試驗數(shù)據(jù)采用圍壓為100、200和500 kPa時Toyoura砂的共振柱和彎曲元試驗結(jié)果，通過試驗數(shù)據(jù)可以看出在相同圍壓下剪切模量隨著體積的減小呈非線性增加，而預測的剪切模量變化趨勢與實測模量變化趨勢較為一致，說明本文提出的壓縮模型同樣能夠較為可靠地預測砂土彈性變形趨勢。

圖8 Toyoura砂土剪切模量與體積變化關(guān)系[30]

通過分析模型特點以及模型預測與試驗對比結(jié)果，基于體積的對數(shù)與壓力的冪次關(guān)系構(gòu)建的砂土壓縮模型，不僅表現(xiàn)了砂土在低應力段的小變形特征及高壓下的近似線性關(guān)系，而且能夠表現(xiàn)出極限體積附近的低壓縮性特征，能夠很好地描述砂土全壓力下的壓縮特性。與現(xiàn)有單對數(shù)函數(shù)描述的砂土壓縮曲線相比，模型在低壓下的變形特征及極限體積附近的變形特征描均具有明顯優(yōu)點。同時，在該關(guān)系函數(shù)框架下建立的彈性模量表達式能夠很好地描述體積彈性模量隨體積變化趨勢。

相對來說，利用CSL線來確定參考壓縮線進而描述砂土等向壓縮特性的工作稍顯復雜，且砂土CSL線的建立需要一定數(shù)量的高質(zhì)量三軸剪切試驗數(shù)據(jù)。但從參考壓縮線的建立過程可以看出，本文已經(jīng)建立CSL線與參考壓縮線的相關(guān)關(guān)系，這是建立砂土二維本構(gòu)模型最為重要的工作之一，因此建立的CSL線與參考壓縮線的相關(guān)關(guān)系不僅適用于砂土等向壓縮描述，而且能夠為砂土二維模型建立提供理論依據(jù)。從長遠角度，這種復雜的工作還是值得去探索的。

3 結(jié)論

砂土等向壓縮線不唯一且在e-lgp空間內(nèi)非線性變化及為砂土的數(shù)學描述帶來很大的困難，為解決這一問題，本文基于臨界狀態(tài)提出了砂土參考壓縮線的數(shù)學函數(shù)，主要研究成果可以概括為以下幾個方面：

(1) 通過分析砂土等向壓縮特性及力學特性，建立了與臨界狀態(tài)線相關(guān)的砂土的參考壓縮線，并采用ln(V-Vmin)-(p/pa)ξ空間內(nèi)線性函數(shù)進行描述。

(2) 利用基于當前體積與參考壓縮線的狀態(tài)參量建立修正函數(shù)以獲取其它體積下的壓縮曲線斜率；修正函數(shù)僅對砂土塑性變形進行修正以保證數(shù)學計算穩(wěn)定性。

(3) 構(gòu)建的壓縮模型共6個參數(shù)且均能夠通過物理試驗或簡單數(shù)學擬合獲得。

(4) 基于Toyoura砂土的等向壓縮試驗、循環(huán)壓縮試驗與模型預測結(jié)果，提出的砂土壓縮模型能夠很好地反映砂土的壓縮特性；基于模型預測的剪切模量與彎曲元和共振柱試驗結(jié)果對比，模型同樣能夠較為可靠地預測砂土彈性變形規(guī)律。