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    均質(zhì)圓盤熱傳導(dǎo)問題的新解法1)

    2021-12-31 07:47:58李翔宇袁江宏沈火明李映輝
    力學(xué)與實(shí)踐 2021年6期
    關(guān)鍵詞:虛部實(shí)部泊松

    李翔宇 袁江宏 沈火明 李映輝

    (西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,成都 610031)

    熱傳導(dǎo)是航空航天、高速鐵路、電子器件等高新領(lǐng)域的關(guān)鍵科學(xué)技術(shù)問題。關(guān)于熱傳導(dǎo)過程中引起的熱應(yīng)力是當(dāng)前學(xué)術(shù)研究的熱點(diǎn)之一。從理工科核心課程數(shù)學(xué)物理方法教學(xué)的角度來看,熱傳導(dǎo)方程是典型的拋物線型二階偏微分方程[1]。若時(shí)間足夠長,均質(zhì)材料/結(jié)構(gòu)中的溫度最終會(huì)達(dá)到穩(wěn)態(tài)。針對(duì)二維問題,在極坐標(biāo)系(ρ,φ)中,穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)T(ρ,φ)需滿足拉普拉斯方程[1]

    此時(shí),偏微分方程為橢圓型方程。

    本文針對(duì)均質(zhì)圓盤中的熱傳導(dǎo)問題,提出一種新的求解方法。這種簡單而優(yōu)雅的解法由復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)所滿足的柯西-黎曼方程并結(jié)合圓域中的泊松公式直接獲得。所得的積分形式解與文獻(xiàn)中提出的傅里葉級(jí)數(shù)解完全一致。這項(xiàng)工作建立了傅里葉級(jí)數(shù)解和積分形式解兩者之間的橋梁,豐富了數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)內(nèi)容,并可為相關(guān)數(shù)學(xué)等式提供物理解釋。

    1 均質(zhì)圓盤熱傳導(dǎo)問題

    如圖1 所示,考慮半徑為a的均質(zhì)圓盤的熱傳導(dǎo)問題,即假設(shè)圓周ρ=a處的溫度為

    其中f(φ) 為已知函數(shù),求圓盤中(ρ≤a) 的穩(wěn)態(tài)溫度分布。顯然,式(1) 和式(2) 構(gòu)成了一個(gè)典型的邊值問題。

    在數(shù)學(xué)物理的經(jīng)典參考書[2]中,給出了該問題的傅里葉級(jí)數(shù)解答。此解答從如下定理出發(fā):若T(ρ,φ) 是定義在圓形區(qū)域(ρ≤a) 內(nèi)的調(diào)和函數(shù),則T(ρ,φ) 可以表示成的傅里葉級(jí)數(shù)[2]為

    即cna|n|為函數(shù)f(φ) 的傅里葉級(jí)數(shù)中的系數(shù)[2-3]。

    將式(5) 代入式(3),便得到了邊值問題(1)和(2) 的解,即用傅里葉級(jí)數(shù)(3) 和(5) 確定了圓盤中的穩(wěn)態(tài)溫度分布。

    2 積分形式解

    這一節(jié)探討邊值問題的積分形式解。它可由復(fù)變函數(shù)中的泊松公式直接獲得。

    現(xiàn)在推導(dǎo)泊松公式。假設(shè)復(fù)變函數(shù)g(ρ,φ) =u(ρ,φ) + iv(ρ,φ) 是定義在復(fù)平面上半徑為a的圓域|z| =ρ≤a內(nèi)的解析函數(shù),其中z=ρeiφ,|z| 為復(fù)數(shù)z的模,且u(ρ,φ) 和v(ρ,φ) 為二元實(shí)變函數(shù)。顯然,作為解析函數(shù)的實(shí)部和虛部,u(ρ,φ)和v(ρ,φ)需滿足柯西-黎曼方程,進(jìn)而滿足二維拉普拉斯方程,即[1]

    對(duì)于圓內(nèi)任意一點(diǎn)z=ρeiφ(ρ <a),由柯西積分公式有[1]

    其中ζ=aeiθ(0 ≤θ <2π)。

    另一方面,對(duì)于圓外一點(diǎn)z1=(a2/ρ)eiφ=ρ1eiφ(即ρ1=a2/ρ),由柯西定理知[1]

    式(7) 減去式(8),可得圓域的泊松公式[1]

    比較式(9) 兩邊的實(shí)部和虛部,可得

    即復(fù)變函數(shù)的實(shí)部(或虛部) 在圓內(nèi)任意一點(diǎn)處的值可由實(shí)部(或虛部) 在圓邊界上的值加權(quán)積分來表達(dá)。

    由于圓盤的溫度場(chǎng)滿足拉普拉斯方程,故可認(rèn)為T是某解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。于是圓盤的溫度場(chǎng)可由邊界的溫度來表示

    3 解的一致性

    在這一節(jié)中,級(jí)數(shù)解(3) 和(5) 將化為積分解(11)。將式(5) 代入式(3) 并交換積分順序(因級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂),可得

    將式(15) 代入式(12),便得到式(11)。這說明級(jí)數(shù)解和積分解是一致和等價(jià)的。

    4 討論

    本節(jié)討論兩類特殊情況。

    情形一:圓盤周邊在點(diǎn)(ρ,φ)=(a,φ0)處有一強(qiáng)度為T0的點(diǎn)熱源,其余地方溫度為0,即T(a,φ)=f(φ)=T0δ(φ-φ0),其中δ(x) 為關(guān)于x的狄拉克δ函數(shù)。由式(11) 可得圓盤中的無量綱溫度分布為

    其中λ(ρ,φ) 在數(shù)學(xué)物理方法中為泊松核,解釋為邊界影響函數(shù)。

    情形二:圓盤周邊保持恒溫,即T(a,φ) =f(φ)=T0。此時(shí),圓盤中每點(diǎn)的溫度必為T(ρ,φ)=T0。由式(12) 可得

    根據(jù)參考文獻(xiàn)[4],式(17) 中的結(jié)果是正確的。事實(shí)上,該積分可化為復(fù)平面上單位圓的圍道積分進(jìn)行計(jì)算[1],也可得到式(17) 的結(jié)果。這樣便為恒等式(17) 賦予了物理含義。

    5 結(jié)論

    本文利用復(fù)變函數(shù)中圓域的泊松公式獲得了均質(zhì)圓盤的穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題的積分解 (11)。該積分解與傅里葉級(jí)數(shù)解(3) 和(5) 是一致的??紤]積分解的兩種特殊情況,從而為泊松核函數(shù)和恒等式(17) 賦予了物理含義。該項(xiàng)工作為傅里葉級(jí)數(shù)解和泊松公式搭建了橋梁,豐富了數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)內(nèi)容。

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