從空間到時(shí)間1)
—— 張量的協(xié)變微分學(xué)及協(xié)變性思想的拓展

殷雅俊

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院工程力學(xué)系，北京 100084)

標(biāo)題顯示出了三個(gè)關(guān)鍵詞：空間域上的協(xié)變微分學(xué)，時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)，協(xié)變性思想。其中，空間域上的協(xié)變微分學(xué)成熟于里奇學(xué)派。其核心思想，亦即協(xié)變性思想，是里奇學(xué)派的偉大創(chuàng)見。三個(gè)關(guān)鍵詞中，只有時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)是個(gè)新詞匯。

讀者也許會(huì)問：“時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)，與空間域上的協(xié)變微分學(xué)，有何區(qū)別和聯(lián)系？”本文嘗試給出回答。

本文包括如下內(nèi)容：(1)類比張量的空間協(xié)變微分概念，引入張量的時(shí)間協(xié)變微分概念；(2) 類比張量的空間廣義協(xié)變微分概念，引入張量的時(shí)間廣義協(xié)變微分概念；(3)類比空間域上張量的協(xié)變微分學(xué)和廣義協(xié)變微分學(xué)，展示時(shí)間域上張量的協(xié)變微分學(xué)和廣義協(xié)變微分學(xué)；(4)揭示空間域上與時(shí)間域上張量的協(xié)變微分學(xué)之間的對(duì)稱性，以及廣義協(xié)變微分學(xué)之間的對(duì)稱性。

1 從歷史的天空看張量微分學(xué)中的協(xié)變性思想

文獻(xiàn)[1-4] 曾指出，張量的微分概念不具有協(xié)變性。確切地說，張量分量的微分，不再是張量分量。里奇學(xué)派敏銳地意識(shí)到了張量的微分概念的局限性，他們拓展了協(xié)變性思想，定義了張量的協(xié)變微分概念。

歷史地看，協(xié)變微分是里程碑性的新概念––它是協(xié)變微分學(xué)誕生的標(biāo)志，不僅為新學(xué)科奠定了基礎(chǔ)，而且為其發(fā)展開辟了新道路。

協(xié)變微分學(xué)的“運(yùn)氣”可謂好得出奇：一經(jīng)問世，就大放異彩–– 攜手黎曼幾何學(xué)，為廣義相對(duì)論奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。廣義相對(duì)論著名的公設(shè)之一，是協(xié)變不變性公設(shè)?？梢?，在愛因斯坦心目中，協(xié)變性思想居于多么崇高的地位。不僅如此，廣義相對(duì)論場(chǎng)方程的關(guān)鍵項(xiàng)之一，就是里奇張量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。顯然，沒有協(xié)變微分學(xué)，就沒有廣義相對(duì)論。

歷史給予我們啟示：協(xié)變性思想的任何拓展，都可能具有恒久價(jià)值。幸運(yùn)地是，這樣的拓展之路，竟然確鑿無疑地存在。拓展之路的起點(diǎn)，仍然是修復(fù)對(duì)稱性破缺的概念以及理論。確切地說，是修復(fù)空間與時(shí)間之間的對(duì)稱性破缺–– 空間域上，協(xié)變性思想無處不在；時(shí)間域上，協(xié)變性思想無影無蹤。具體地講，協(xié)變性思想起源于空間域，并在空間域上大放異彩。但在時(shí)間域上，似乎難覓其蹤跡。強(qiáng)烈的反差引起了筆者的注意，由此開啟了彌補(bǔ)對(duì)稱性破缺的進(jìn)程?，F(xiàn)就其中的探索和感悟與讀者分享。

2 張量分析學(xué)中的對(duì)稱性破缺

文獻(xiàn)[1-2] 已經(jīng)證實(shí)：張量的空間微分與張量的時(shí)間微分是對(duì)稱的概念?；谇罢?，可發(fā)展空間域上張量的微分學(xué)；基于后者，可發(fā)展時(shí)間域上張量的微分學(xué)。而空間域上張量的微分學(xué)與時(shí)間域上張量的微分學(xué)，是完全對(duì)稱的理論。

然而，優(yōu)美的對(duì)稱性沒能得到延續(xù)：

(1) 我們有“張量的空間協(xié)變微分” 概念，但沒有“張量的時(shí)間協(xié)變微分” 概念。顯然，概念上存在對(duì)稱性破缺。

(2)我們有空間域上張量的協(xié)變微分學(xué)，但沒有時(shí)間域上張量的協(xié)變微分學(xué)。顯然，理論上存在對(duì)稱性破缺。

我們借助關(guān)聯(lián)圖將上述對(duì)稱性和對(duì)稱性破缺進(jìn)行羅列，如圖1 所示。

圖1 對(duì)稱性和對(duì)稱性破缺

為便于讀者理解，再就關(guān)聯(lián)圖做更細(xì)致的類比和解說。

先做縱向類比：歷史上，先驅(qū)們將張量的空間微分?jǐn)U展成了空間協(xié)變微分，將空間域上張量的微分學(xué)發(fā)展成了張量的協(xié)變微分學(xué)。可以追問：與張量的時(shí)間微分形影相隨，能否擴(kuò)展出張量的時(shí)間協(xié)變微分？與時(shí)間域上張量的微分學(xué)相生相伴，能否發(fā)展出時(shí)間域上張量的協(xié)變微分學(xué)？

再做橫向類比：與張量的空間微分對(duì)應(yīng)，對(duì)稱地存在張量的時(shí)間微分；與空間域上張量的微分學(xué)對(duì)應(yīng)，對(duì)稱地存在著時(shí)間域上張量的微分學(xué)。可以追問：與張量的協(xié)變微分對(duì)應(yīng)，是否對(duì)稱地存在張量的時(shí)間協(xié)變微分？與空間域上張量的協(xié)變微分學(xué)對(duì)應(yīng)，是否對(duì)稱地存在時(shí)間域上張量的協(xié)變微分學(xué)？

科學(xué)史上有這樣的范例：偉大先驅(qū)們一旦捕捉到對(duì)稱性破缺現(xiàn)象，便緊追不舍，匠心獨(dú)具地彌補(bǔ)破缺，孜孜以求地修復(fù)對(duì)稱。而新的對(duì)稱性，最終都毫無例外地助產(chǎn)了新的理論?，F(xiàn)在，我們?cè)趶埩糠治鰧W(xué)中發(fā)現(xiàn)了更多的對(duì)稱性破缺。問題是，能否彌補(bǔ)破缺的對(duì)稱性？能否構(gòu)建新的對(duì)稱性？能否引出新的理論？答案是肯定的。

偉大先哲告誡后人：“歷史時(shí)常有驚人的相似之處，但決不會(huì)簡(jiǎn)單地重復(fù)”。“驚人的相似之處”，意味著我們總能從歷史中獲得借鑒?！皼Q不會(huì)簡(jiǎn)單地重復(fù)”，意味著我們必須有所創(chuàng)造。

3 修復(fù)對(duì)稱性破缺的切入點(diǎn)—— 對(duì)稱性基因及其遺傳

拉格朗日描述下，文獻(xiàn)[1-2] 已經(jīng)成對(duì)列出了對(duì)稱性概念–– 場(chǎng)函數(shù)(·) 對(duì)拉格朗日坐標(biāo)xm的微分d(·)(即空間微分) 和對(duì)時(shí)間t的微分dt(·) (即時(shí)間微分)

其中，?(·)/?xm是場(chǎng)函數(shù)(·)對(duì)拉格朗日坐標(biāo)xm的偏導(dǎo)數(shù)(即空間導(dǎo)數(shù))，dt(·)/dt是場(chǎng)函數(shù)(·) 對(duì)時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)(亦即物質(zhì)導(dǎo)數(shù)或時(shí)間導(dǎo)數(shù))。兩個(gè)定義式在表觀形式上是對(duì)稱的，在解析結(jié)構(gòu)上也是對(duì)稱的。由于兩個(gè)概念非常基本，因此，它們就像兩顆對(duì)稱的種子，內(nèi)含對(duì)稱的基因。令對(duì)稱基因持續(xù)不斷地遺傳下去，便可彌補(bǔ)破缺的對(duì)稱性。

拉格朗日坐標(biāo)線嵌入在物體內(nèi)且隨之一起變形，構(gòu)成隨體(或拖帶) 坐標(biāo)系。沿坐標(biāo)線，基矢量可借助矢徑r=r(xm，t) 定義為gm=?r/?xm。為方便起見，隨體的gm被稱為拉格朗日基矢量?？臻g域上，拉格朗日基矢量的空間導(dǎo)數(shù)由克里斯托菲爾公式給出[5]

聯(lián)立式(1) 和式(3)，可寫出基矢量的空間微分

其中，?ivk是速度分量vk對(duì)坐標(biāo)xi的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。式(3) 與式(5)，式(4) 與式(6)，在表觀形式上是對(duì)稱的，在解析結(jié)構(gòu)上也是對(duì)稱的。

以上述對(duì)稱性為基礎(chǔ)，空間域和時(shí)間域上對(duì)稱化的協(xié)變微分學(xué)，就可以拉開序幕了。下面，我們以二階張量為例，展開對(duì)稱化進(jìn)程。

拉格朗日描述下，二階張量場(chǎng)函數(shù)T的分解式為

為簡(jiǎn)單起見，式(7) 中只列出了張量的混變分量。

4 空間域上的協(xié)變微分學(xué)

空間域上的協(xié)變微分學(xué)[5-7]是里奇學(xué)派的杰作。歷史地看，空間協(xié)變導(dǎo)數(shù)和空間協(xié)變微分，是空間域上協(xié)變微分學(xué)的標(biāo)志性概念。筆者注意到，先驅(qū)們?cè)谝隹臻g協(xié)變導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，選擇了非常平易的出發(fā)點(diǎn)–– 張量對(duì)坐標(biāo)的空間偏導(dǎo)數(shù)。式(7) 對(duì)坐標(biāo)xm求偏導(dǎo)數(shù)。借助于式(3)，可以導(dǎo)出

組合系數(shù)是dxm。

至此，空間域上協(xié)變微分學(xué)的邏輯基礎(chǔ)成型了。隨后，我們看到了空間域上美輪美奐的建筑–– 奠定在協(xié)變微分概念基礎(chǔ)之上的協(xié)變微分學(xué)。

5 時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)

空間域上，從張量的經(jīng)典微分學(xué)到協(xié)變微分學(xué)，先驅(qū)們精彩紛呈的探索之路，深深地吸引了筆者；先驅(qū)們深邃的協(xié)變性思想，深深地啟發(fā)了筆者。2014年，筆者逐漸意識(shí)到，協(xié)變性思想的探索，應(yīng)該有兩條平行的道路：先驅(qū)們走過的協(xié)變性之路，是空間域上的協(xié)變性道路。與之相對(duì)稱，還存在著一條平行之路，即時(shí)間域上的協(xié)變性道路[7-9]。沿著這條對(duì)稱之路，可以從時(shí)間域上張量的微分學(xué)，走向時(shí)間域上張量的協(xié)變微分學(xué)。

式(14) 與式(9) 之間的對(duì)稱性，式(15) 與式(10) 之間的對(duì)稱性，清晰可見。優(yōu)雅的對(duì)稱性，被完整地遺傳了下來。

當(dāng)然，“時(shí)空的協(xié)變性”，僅僅是作者的個(gè)人感知，其真理性遠(yuǎn)未得到檢驗(yàn)。盡管如此，作者確信，協(xié)變性是時(shí)空的本征性質(zhì)?；蛘哒f，協(xié)變性是大自然的本征性質(zhì)。

進(jìn)一步可研究張量場(chǎng)函數(shù)的時(shí)間協(xié)變

式(16) 與式(11) 之間的對(duì)稱性，式(17) 與式(12) 之間的對(duì)稱性，清晰可見。對(duì)稱性的遺傳，穩(wěn)定且精準(zhǔn)。

正如時(shí)間微分與時(shí)間導(dǎo)數(shù)成正比(式(2))，時(shí)間協(xié)變微分與時(shí)間協(xié)變導(dǎo)數(shù)也成正比

至此，時(shí)間域上協(xié)變微分學(xué)的邏輯基礎(chǔ)齊備了。我們看到了時(shí)間域上富麗堂皇的建筑––奠定在時(shí)間協(xié)變微分概念基礎(chǔ)之上的協(xié)變微分學(xué)。

同時(shí)，理論的對(duì)稱性破缺得以彌補(bǔ)–– 時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)大廈，與空間域上的協(xié)變微分學(xué)大廈，構(gòu)成了對(duì)稱的建筑群，如圖2 所示。

圖2

6 從空間協(xié)變微分到空間廣義協(xié)變微分

然而，二者的對(duì)稱性沒有遺傳下去。協(xié)變性思想確保了?mui有定義，但?mui的定義誘發(fā)了對(duì)稱性破缺

也就是說，空間域上的協(xié)變微分學(xué)內(nèi)部，存在對(duì)稱性破缺現(xiàn)象。這不是個(gè)別現(xiàn)象，類似的對(duì)稱性破缺現(xiàn)象在空間域內(nèi)普遍存在。要彌補(bǔ)破缺的對(duì)稱性，必須以合適的方式定義?mgi，以便建立起?mui～?mgi對(duì)稱

要定義?mgi，僅有協(xié)變性觀念是不夠的，必須發(fā)展廣義協(xié)變性觀念[2，10-13]。

廣義協(xié)變性是一個(gè)新觀念。發(fā)展新觀念，需突破老觀念。突破形式有兩類，第一類是內(nèi)部突破，第二類是外部突破。

不同于內(nèi)部突破，外部突破意味著，從老觀念出發(fā)引不出新觀念，即必須從外部引入新的邏輯基礎(chǔ)。更一般地說：?jiǎn)栴}是在A 學(xué)科中提出來的，而解決問題的方案卻在A 學(xué)科之外(或B 學(xué)科之內(nèi))。例如，“怎樣定義基矢量的空間協(xié)變導(dǎo)數(shù)?mgi？怎樣定義并基的空間協(xié)變導(dǎo)數(shù)?m(gigj)？” 這類問題，是從空間域上的張量協(xié)變微分學(xué)內(nèi)部提出來的，但答案卻不在其內(nèi)部而在其外部。

筆者的解決方案，是以新概念為導(dǎo)引，以公理為基礎(chǔ)，將廣義協(xié)變性觀念[10-13]，從外部賦予空間域上張量的協(xié)變微分學(xué)。其具體內(nèi)涵如下。

(1) 抽象出了一個(gè)更具一般性的新概念–– 廣義分量：

拉格朗日空間域上，滿足里奇變換的量，被稱為拉格朗日廣義分量。

(2) 提煉出了一條極具基礎(chǔ)性的公設(shè)–– 空間域上的協(xié)變形式不變性公設(shè)。

拉格朗日空間域上，公設(shè)表述如下：

拉格朗日廣義分量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(或空間廣義協(xié)變微分)，與拉格朗日分量的空間協(xié)變導(dǎo)數(shù)(或空間協(xié)變微分)，在表觀形式上具有完全的一致性。

表觀形式的一致性，就是對(duì)稱性。因此可以說，協(xié)變形式不變性公設(shè)，就是對(duì)稱性公設(shè)。公設(shè)規(guī)定了?mgi與?mui表觀形式的一致性。這樣，就補(bǔ)齊了?mui～?mgi對(duì)稱性。

隨著空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 概念的定義，新的概念對(duì)稱性破缺出現(xiàn)了，如圖3 所示。

圖3

下一節(jié)我們將彌補(bǔ)概念上的對(duì)稱性破缺。

7 從時(shí)間協(xié)變微分到時(shí)間廣義協(xié)變微分

可見，時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)內(nèi)部，也存在對(duì)稱性破缺現(xiàn)象。這也不是個(gè)別現(xiàn)象，類似的對(duì)稱性破缺現(xiàn)象在時(shí)間域上普遍存在。要補(bǔ)全破缺的對(duì)稱性，也必須發(fā)展時(shí)間域上的廣義協(xié)變性觀念。

時(shí)間域上的廣義協(xié)變性觀念[2，8-9，14]，不可能從時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)內(nèi)部產(chǎn)生，需借助于公理化思想從外部引入。于是有拉格朗日時(shí)間域上的協(xié)變形式不變性公設(shè)：

拉格朗日廣義分量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(或時(shí)間廣義協(xié)變微分)，與拉格朗日分量的時(shí)間協(xié)變導(dǎo)數(shù)(或時(shí)間協(xié)變微分)，在表觀形式上具有完全的一致性。

注意到，式(21)、式(22) 與式(19)、式(20) 完全對(duì)稱。這樣，概念上的對(duì)稱性破缺被補(bǔ)齊了，如圖4 所示。

圖4

8 空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)

“概念+公設(shè)”，就構(gòu)成了公理化系統(tǒng)的基本要素。拉格朗日空間域上的公理化系統(tǒng)，就是拉格朗日空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)[2，10-13]。

這個(gè)線性變換，可以推廣到任意廣義分量。

張量T是特殊的廣義分量。其空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)?mT和空間廣義協(xié)變微分DT，可以按照公設(shè)定義，并可以證實(shí)有

這是賞心悅目的結(jié)果。式(24)結(jié)合式(9)和式(11)，可知

至此，空間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的輪廓，清晰化了。

然而，理論上新的對(duì)稱性破缺又出現(xiàn)了，如圖5所示。

圖5

下一節(jié)我們將彌補(bǔ)理論上的對(duì)稱性破缺。

9 時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)

彌補(bǔ)理論上新的對(duì)稱性破缺并不困難：既然公理化思想能將空間域上的協(xié)變微分學(xué)拓展為廣義協(xié)變微分學(xué)，那么，公理化思想也能將時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)拓展為廣義協(xié)變微分學(xué)[8-9，14]。

這個(gè)比例變換，可以推廣到任意廣義分量。

對(duì)于張量T，其時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)?tT和時(shí)間廣義協(xié)變微分DtT，可按照公設(shè)定義，且可以證實(shí)有

式(27) 結(jié)合式(14) 和式(16)，可知

至此，時(shí)間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的輪廓，清晰化了。

注意到，式(26)～式(28)與式(23)～式(25)完全對(duì)稱?？梢哉f，時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，與空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，完全對(duì)稱。形象地講，時(shí)間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的大廈，與空間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的大廈，構(gòu)成了完美對(duì)稱的建筑群，如圖6所示。

圖6

再?gòu)恼w上鳥瞰一下：從左到右，我們看到了平行對(duì)稱的三組建筑群：第一組是空間域上的張量微分學(xué)與時(shí)間域上的張量微分學(xué)；第二組是空間域上的協(xié)變微分學(xué)與時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)；第三組是空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)與時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)。本文按順序依次描繪了三組對(duì)稱建筑群的構(gòu)建歷程，井然有序，一氣呵成，順暢自然。然而，筆者必須坦誠(chéng)地告訴讀者：真實(shí)的探索過程遠(yuǎn)非如此輕松愉快。恰恰相反，一路磕磕絆絆，曲折反復(fù)，多次功敗垂成。讀者也許會(huì)質(zhì)疑：本文中的構(gòu)建進(jìn)程完全異于真實(shí)的探索過程，是否有“篡改歷史”的嫌疑？

筆者聯(lián)想到學(xué)生時(shí)代的經(jīng)歷。當(dāng)年學(xué)習(xí)麥克斯韋方程組，深為其優(yōu)美、莊嚴(yán)、深刻所折服。然而，查閱歷史后才發(fā)現(xiàn)，教科書中的描述，與麥克斯韋真實(shí)的探索過程，完全不是一回事。教科書中的麥克斯韋方程組，是千錘百煉后的完美形態(tài)，與其誕生時(shí)的初始形態(tài)相比，自然有面目全非之感。然而，我們并不能指責(zé)教科書偽造了歷史。

筆者引用高斯的名言做注腳：“漂亮的大廈建成了，誰還會(huì)留下腳手架？”

10 空間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的可計(jì)算性

空間域上，要使廣義協(xié)變微分學(xué)具有可計(jì)算性，必須澄清基矢量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)和空間廣義協(xié)變微分[2，10-13]。本節(jié)同時(shí)關(guān)注一個(gè)問題：透過廣義協(xié)變性思想的透鏡看空間，能看到什么？

拉格朗日基矢量gi的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)?mgi，可根據(jù)公設(shè)，仿照矢量分量ui的空間協(xié)變導(dǎo)數(shù)?mui，定義成

仿照矢量分量ui的空間協(xié)變微分Dui，拉格朗日基矢量的空間廣義協(xié)變微分可定義為

基于上述定義，可以從空間廣義協(xié)變性的角度，研究空間的性質(zhì)。立即發(fā)現(xiàn)，基矢量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為0，即

一旦基矢量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 可計(jì)算，空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，就具有了可計(jì)算性。

前期的研究中，式(31) 和式(32) 被稱為“空間域上的協(xié)變微分變換群”。這一變換群下的不變性質(zhì)，就構(gòu)成了空間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的核心內(nèi)容。

基矢量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 恒為0，其物理意義，已經(jīng)在前期的綜述論文中得到闡釋：融入基矢量的觀察者(簡(jiǎn)稱“隨基觀察者”) 看到的基矢量的空間變化率，就是基矢量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)。由于觀察者隨著基矢量的伸長(zhǎng)而伸長(zhǎng)，隨著基矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，他根本感受不到基矢量的空間變化率，或者說，他感受到基矢量的空間變化率恒為零。

這里引用前輩力學(xué)家武際可先生的觀點(diǎn)：“基矢量的協(xié)變導(dǎo)數(shù)恒為零，是隨基觀察者牽連運(yùn)動(dòng)的必然結(jié)果?！?筆者將武先生的觀點(diǎn)稱為“運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)”–– 觀察者站在基矢量上，隨之一起運(yùn)動(dòng)，這是牽連運(yùn)動(dòng)。由于隨基觀察者完全融入了基矢量，因此，他看到的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就恒為零。筆者認(rèn)為，這是非常漂亮的思想，完美地把數(shù)學(xué)與力學(xué)融成了一體。這是影響廣泛的命題?？梢酝浦?，由基矢量的乘法運(yùn)算生成的任何廣義分量，其空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為零。下面是滿足命題的例子。

度量張量分量的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為0

度量張量是空間長(zhǎng)度度量的“刻度”。其空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 為零，正是隨基觀察者看到的結(jié)果。

度量張量的雜交分量[2，15]的空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)和空間廣義協(xié)變微分均恒為0度量張量雜交分量就是坐標(biāo)變換系數(shù)。它不僅是空間長(zhǎng)度度量的“刻度”，而且是坐標(biāo)變換的“擔(dān)當(dāng)者”。其空間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 恒為0，正是隨基觀察者看到的圖像。

我們?cè)撊绾卫斫饪臻g域上的“0” 結(jié)果？作者認(rèn)為，“0”結(jié)果表明，空間具有協(xié)變性?？梢源竽懲茢啵簠f(xié)變性是空間的本征性質(zhì)。

沒有空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，我們感知不到空間的協(xié)變性。這涉及到一個(gè)“詭異” 的問題：空間的協(xié)變性，是客觀實(shí)在，還是人為的塑造？筆者傾向于認(rèn)為，盡管空間廣義協(xié)變微分是人造的概念，但由其刻畫的空間協(xié)變性，是客觀的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的。

特別要指出的是，大量的“0”結(jié)果，使得空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，變得致精致簡(jiǎn)。

11 時(shí)間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的可計(jì)算性

時(shí)間域上，要使廣義協(xié)變微分學(xué)具有可計(jì)算性，必須澄清基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)和時(shí)間廣義協(xié)變微分[7-9]。本節(jié)同時(shí)關(guān)注一個(gè)問題：透過廣義協(xié)變性思想的透鏡看時(shí)間，能看到什么？

按照公設(shè)，拉格朗日基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)?tgi，仿照矢量分量ui的時(shí)間協(xié)變導(dǎo)數(shù)?tui，可定義成

依據(jù)公設(shè)，仿照矢量分量ui的時(shí)間協(xié)變微分Dtui，拉格朗日基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變微分可定義為

注意到，式(39)、式(40) 與式(29)、式(30) 完全對(duì)稱。在這樣的定義下，就可以從時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分)的角度，研究時(shí)間的性質(zhì)。立即發(fā)現(xiàn)，基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 恒為0，即

一旦基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 可計(jì)算，拉格朗日時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，就具有了可計(jì)算性。式(41)和式(42)被稱為時(shí)間域上的協(xié)變微分變換群。這一變換群下的不變性質(zhì)，就構(gòu)成時(shí)間域上廣義協(xié)變微分學(xué)的核心內(nèi)容。

基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 恒為0，其物理意義，可以這樣闡釋：隨基觀察者看到的基矢量的時(shí)間變化率，就是基矢量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分)。他隨著基矢量的伸長(zhǎng)而伸長(zhǎng)，隨著基矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，他根本感受不到基矢量的時(shí)間變化率，或者說，他感受到了0值。

請(qǐng)讀者再次回顧一下武際可先生運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)。注意到，式(41)、式(42) 與式(31)、式(32) 完全對(duì)稱。

如下命題自然成立：基矢量的乘法運(yùn)算給出的任何廣義分量，其時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 均恒為0。滿足命題的案例如下。度量張量分量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分) 恒為0，即

隨基觀察者感覺不到度量張量的時(shí)間變化率。注意到，式(43)、式(44) 與式(33)、式(34) 完全對(duì)稱。

作為坐標(biāo)變換系數(shù)，度量張量的雜交分量的時(shí)間廣義協(xié)變導(dǎo)數(shù)(微分)[2，15]恒為0，即

我們?cè)撊绾卫斫鈺r(shí)間域上的“0”結(jié)果？“0”結(jié)果意味著，時(shí)間具有協(xié)變性。大膽推測(cè)：協(xié)變性是時(shí)間的本征性質(zhì)。

沒有時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，我們感知不到時(shí)間的協(xié)變性。這涉及到一個(gè)“詭異” 的問題：時(shí)間的協(xié)變性，是客觀實(shí)在，還是人為的塑造？筆者傾向于認(rèn)為，盡管時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分是人造的概念，但由其刻畫的時(shí)間協(xié)變性，是客觀的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的。

特別要指出的是，大量的“0”結(jié)果，使得時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，變得致精致簡(jiǎn)。

12 時(shí)空的協(xié)變性

如上所述，空間具有協(xié)變性，時(shí)間也具有協(xié)變性。聯(lián)合起來，就可以說，時(shí)空具有協(xié)變性?；蛘哒f，協(xié)變性是時(shí)空的本征特性。

當(dāng)我們談及場(chǎng)函數(shù)，一般都是指外加在空間域上的函數(shù)，例如，應(yīng)力張量場(chǎng)函數(shù)，應(yīng)變張量場(chǎng)函數(shù)，等。實(shí)際上，空間域自身也有場(chǎng)函數(shù)，例如，基矢量場(chǎng)函數(shù)，度量張量場(chǎng)函數(shù)，等?？臻g域自身的場(chǎng)函數(shù)，刻畫的是空間自身的本征性質(zhì)，因此，可稱之為空間的本征場(chǎng)函數(shù)。

協(xié)變性思想，雖然是從外加張量場(chǎng)函數(shù)引出來的觀念，但也適用空間的本征場(chǎng)函數(shù)。時(shí)空上的“0”結(jié)果，正是協(xié)變性思想與空間本征場(chǎng)函數(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物?！?” 結(jié)果，是本征場(chǎng)函數(shù)的空間協(xié)變微分不變性質(zhì)，也是本征場(chǎng)函數(shù)的時(shí)間協(xié)變微分不變性質(zhì)。也可以說，“0” 結(jié)果，是時(shí)空的協(xié)變不變性質(zhì)。沒有廣義協(xié)變性思想的透鏡，不可能看見如此抽象的不變性質(zhì)。

時(shí)空，是力學(xué)研究永恒的參照“背景”。理解時(shí)空的本性，是力學(xué)探索者永恒的使命。筆者曾經(jīng)認(rèn)為，力學(xué)發(fā)展到今天，對(duì)時(shí)空的理解，已臻完美無缺。然而，隨著協(xié)變性思想的拓展，筆者改變了看法：時(shí)空仍然是力學(xué)中有待深入理解的對(duì)象之一。

力學(xué)研究物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，而任何運(yùn)動(dòng)都發(fā)生在特定的時(shí)空，都要受到時(shí)空的約束。這樣的約束，必然體現(xiàn)在刻畫運(yùn)動(dòng)的自然規(guī)律中：因?yàn)闀r(shí)空具有協(xié)變性，因此，自然規(guī)律必然具有協(xié)變性。于是，我們有一般性命題：正是時(shí)空的協(xié)變不變性，決定了自然規(guī)律的協(xié)變不變性。

由此看來，廣義相對(duì)論將“協(xié)變不變性”提升到至高無上的公理地位，絕對(duì)是無與倫比的高明之舉。

透過廣義協(xié)變性思想的透鏡，我們看到了美麗、對(duì)稱、協(xié)變的時(shí)空！

13 結(jié)論

空間域上的協(xié)變微分學(xué)是先驅(qū)們的經(jīng)典之作，極大地推動(dòng)了物理學(xué)和力學(xué)的發(fā)展。筆者期待，時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)，能夠像空間域上的協(xié)變微分學(xué)一樣，成為物理學(xué)和力學(xué)探索者開疆拓土的利器。

對(duì)稱性貫穿本文始終?？臻g域上的協(xié)變微分學(xué)與時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)，概念是對(duì)稱的，概念的解析結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，理論體系是對(duì)稱的。當(dāng)然，空間和時(shí)間也是對(duì)稱的。對(duì)稱性，大都表現(xiàn)為解析結(jié)構(gòu)的相似性，以及代數(shù)結(jié)構(gòu)的一致性。

空間域上的協(xié)變微分學(xué)與時(shí)間域上的協(xié)變微分學(xué)的對(duì)稱性，是偶然的巧合嗎？筆者的答案是否定的。如此精致的對(duì)稱性，昭示著某種客觀性和必然性。當(dāng)然，要刻畫空間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)和時(shí)間域上的廣義協(xié)變微分學(xué)，人為塑造的概念必不可少。雖然人為塑造的概念是主觀意志的產(chǎn)物，但人造概念揭示出的廣義協(xié)變性和對(duì)稱性，卻是客觀實(shí)在。