變速移動(dòng)載荷作用下黏彈性地基梁動(dòng)力響應(yīng)1)

彭伯倫 江 杰， 任浩熙 陳思達(dá)，

*(中國(guó)建筑第八工程局有限公司，南寧 530000)

?(廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，南寧 530004)

**(工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

??(廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004)

在研究公路路面、機(jī)場(chǎng)道面和列車(chē)軌道的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題上，通常將其視為移動(dòng)載荷作用下的黏彈性地基梁或地基板模型，很多學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題做了大量的研究工作[1-4]。Kenney[5]較早地對(duì)Winkler地基模型上的Euler–Bernoulli 梁進(jìn)行了研究，得到勻速移動(dòng)集中載荷作用下梁撓度的解析解，并得出了無(wú)限長(zhǎng)梁速度和阻尼的臨界值。Sun[6]運(yùn)用Fourier變換和留數(shù)定理推導(dǎo)得到了黏彈性地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)封閉解，并研究了不同速度和阻尼情況下梁撓度的變化規(guī)律。Kargarnovin 等[7]和Cao 等[8]進(jìn)行了彈性Pasternak 地基梁在移動(dòng)集中載荷下的振動(dòng)分析，結(jié)果表明在研究梁撓度時(shí)，不能忽略地基剪切模量的影響。時(shí)伉麗等[9]利用二重Fourier 變換和留數(shù)定理，對(duì)黏彈性Pasternak 地基梁的撓度響應(yīng)進(jìn)行求解，最后得到了在復(fù)數(shù)域上的封閉解，并著重分析了地基黏性和剪切力的作用。

以上研究在建立模型時(shí)，都只考慮了處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的載荷，忽視了載荷在變速運(yùn)動(dòng)下的影響。在實(shí)際工程如列車(chē)出入站、飛機(jī)起降和車(chē)輛啟動(dòng)等過(guò)程中的速度都不是恒定的，目前還十分缺少對(duì)于路面結(jié)構(gòu)在速度變化的載荷作用下的動(dòng)力響應(yīng)分析。許多研究考慮了加速度的影響，如Niki 等[10]研究了變速移動(dòng)載荷作用下Winkler 地基有限梁的動(dòng)力響應(yīng)，并對(duì)單軸和雙軸車(chē)輛載荷進(jìn)行了參數(shù)化分析。Edmond 等[11]則利用在空間上Fourier 變換和在時(shí)域上Laplace 變換的方法，得到了變速載荷作用下黏彈性地基梁一般解，研究結(jié)果表明加速度和初速度的增大導(dǎo)致了梁撓度的減小。陳上有等[12]用變速移動(dòng)載荷模擬車(chē)輛變速通過(guò)橋梁，將車(chē)輛載荷化簡(jiǎn)為兩種變速移動(dòng)載荷，研究表明橋梁的撓度受到載荷初速度、加速度大小的影響。王少欽等[13]通過(guò)振型疊加原理，建立了勻變速移動(dòng)載荷通過(guò)簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)力平衡微分方程，并對(duì)車(chē)橋共振的現(xiàn)象進(jìn)行了分析。上述變速移動(dòng)載荷的研究中，模型的建立采用的是Winkler 地基，忽視了土體的剪切作用，誤差會(huì)有所增大[14]。

本文基于以上研究，采用了能夠反映土體彈簧剪切相互作用的Pasternak 地基模型。首先建立了位于Pasternak 黏彈性地基上有限長(zhǎng)梁振動(dòng)微分控制方程。然后基于振型疊加法得到了在變速載荷作用下梁撓度的表達(dá)式，最后采用Gauss–Legendre 求積公式對(duì)梁的撓度進(jìn)行求解，接著對(duì)移動(dòng)載荷的加速度、初速度及地基梁參數(shù)進(jìn)行分析，得出其對(duì)梁撓度的影響。

1 基本控制方程及其解

假設(shè)一個(gè)位于黏彈性Pasternak 地基上的Euler–Bernoulli 有限長(zhǎng)梁，在其表面受到一個(gè)變速移動(dòng)的集中載荷P(x，t)，載荷以某一速度v(t) 沿著x正方向移動(dòng)，如圖1 所示。其中，EI為梁的抗彎剛度，m為單位長(zhǎng)度質(zhì)量，k為地基的彈性模量，c為地基的阻尼系數(shù)，Gp為地基的剪切力。

圖1 黏彈性地基梁模型

令t時(shí)刻梁上x(chóng)處的撓度為w(x，t)。根據(jù)經(jīng)典彈性地基梁理論，在笛卡爾坐標(biāo)系下的動(dòng)力控制方程可寫(xiě)成[9]

為了得到式(1) 的解，采用振型疊加法進(jìn)行相應(yīng)地變換，最后轉(zhuǎn)換成廣義坐標(biāo)下的動(dòng)力平衡方程，根據(jù)文獻(xiàn)[15]，w(x，t) 解的假設(shè)形式為

式中，Xi(x) = sin(iπx/l)(i= 1，2，···，n) 表示振型函數(shù)，Ti(t) 為對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

將式(2) 代入式(1) 后得

式中P(x，t) 為作用在梁表面的移動(dòng)載荷，可表示為

式中δ(·)為單位脈沖函數(shù)，又稱(chēng)為Dirac 函數(shù)，有以下性質(zhì)定義

式(4) 中x0表示載荷作用的位置，基于本文的假設(shè)，將載荷的速度看成是隨時(shí)間變化的函數(shù)，即當(dāng)初速度為v0、加速度為a時(shí)，載荷作用位置可表示為

將式(3)兩端乘以Xn(x)，并對(duì)x進(jìn)行積分，根據(jù)振型函數(shù)的正交性化簡(jiǎn)，可以得到有限長(zhǎng)梁的第n階振型的運(yùn)動(dòng)方程

式中βn和ξn表達(dá)式分別為

式(7) 的解可由Duhamel 積分形式表示為

采用MATLAB 對(duì)式(10) 進(jìn)行數(shù)值積分，通過(guò)自適應(yīng)步長(zhǎng)的Gauss–Legendre 求積公式進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算得到的Tn(t) 代入式(2) 就可以得到撓度的數(shù)值解。為了提高計(jì)算精度，在本文計(jì)算中取n=100。

2 算例對(duì)比驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文的正確性，當(dāng)加速度退化為0 時(shí)，將本文計(jì)算得到的結(jié)果與文獻(xiàn)[16] 進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算參數(shù)如下：梁彈性模量E= 201× 109Pa，截面的慣性矩I= 3.05× 10-5m4，單位長(zhǎng)度質(zhì)量m= 60.37 kg/m，文獻(xiàn)[17] 指出當(dāng)有限長(zhǎng)梁長(zhǎng)度為50 m 時(shí)可以近似等同于無(wú)限長(zhǎng)梁，即取l= 50 m，地基彈性模量k= 3.5×107Pa，地基阻尼系數(shù)c=1.73×106N/(m/s)，地基剪切力Gp=6.67×107N，移動(dòng)載荷速度v0=50 m/s，載荷幅值P=6.5×104N。圖2 可以看出本文的退化結(jié)果與文獻(xiàn)[16] 的計(jì)算結(jié)果吻合較好，從而驗(yàn)證了本文解的正確性。

圖2 本文結(jié)果和文獻(xiàn)[16] 結(jié)果的比較

3 參數(shù)研究

前述驗(yàn)證了變速移動(dòng)載荷作用下地基梁撓度解的正確性，從式(1) 可以看出地基梁撓度與載荷加速度、初速度以及地基參數(shù)有關(guān)，在此著重研究上述影響因素對(duì)地基梁撓度的影響。假設(shè)載荷從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，向著x正方向移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方式為變速運(yùn)動(dòng)。取載荷幅值P= 100 kN，梁采用的是UIC260鋼軌模型[14]，其參數(shù)為EI=6.12×106N·m2，m=60.34 kg/m，在實(shí)際工程中，無(wú)限長(zhǎng)梁能夠更好地模擬實(shí)際路況，取l= 50 m，假設(shè)地基彈性模量Es= 50 MPa，泊松比ν= 0.3，地基阻尼系數(shù)c=1.73×106N/(m/s)，土層厚度H=10 m，Pasternak地基模型的參數(shù)可以通過(guò)簡(jiǎn)化彈性空間法[14]得到，計(jì)算公式為

3.1 不同位置處撓度變化

圖3 為移動(dòng)集中載荷在加速度a=10 m/s2，初速度v0= 10 m/s 時(shí)，黏彈性地基梁在x= 10， 25，40 m 處的撓度隨時(shí)間變化曲線。圖中豎虛線表示的是移動(dòng)載荷作用在x=10， 25， 40 m 上的時(shí)刻，可以發(fā)現(xiàn)梁撓度最大值并不是發(fā)生在載荷作用時(shí)刻，而是出現(xiàn)在移動(dòng)載荷離開(kāi)該點(diǎn)后的某一刻，這個(gè)現(xiàn)象稱(chēng)為時(shí)間滯后現(xiàn)象。這三點(diǎn)處的撓度隨時(shí)間變化曲線類(lèi)似，僅僅是幅值不同。

圖3 不同位置處撓度隨時(shí)間變化曲線

3.2 初速度影響

圖4 計(jì)算的是梁上一點(diǎn)在移動(dòng)集中載荷加速度為a= 10 m/s2的情況下，初速度對(duì)梁撓度變化的影響。從數(shù)值上進(jìn)行觀察，通過(guò)將初速度從10 m/s增大到100 m/s，梁撓度的最大值相對(duì)減少了大約72.66%，可見(jiàn)初速度變化對(duì)梁撓度的影響十分顯著。圖5 為對(duì)應(yīng)的載荷作用時(shí)刻，梁上各點(diǎn)撓度的變化規(guī)律，可以看出，速度的改變并沒(méi)有對(duì)滯后現(xiàn)象造成影響，撓度最大值仍舊出現(xiàn)在載荷作用的后方。

圖4 不同初速度下?lián)隙入S時(shí)間變化規(guī)律

圖5 不同初速度下載荷作用時(shí)刻梁上各點(diǎn)的撓度

3.3 加速度影響

圖6 表示了在初速度為10 m/s 的情況下，不同加速度對(duì)梁撓度變化規(guī)律的影響。與初速度的影響近似，通過(guò)賦予移動(dòng)載荷不同的加速度，載荷通過(guò)加速移動(dòng)到達(dá)梁上一點(diǎn)時(shí)，梁的撓度呈現(xiàn)先增大后減少的現(xiàn)象，并且撓度大小最后會(huì)趨于0。從梁撓度數(shù)值上看，通過(guò)將加速度從0 增大到100 m/s2，梁撓度最大值相對(duì)減小了大約39.5%，可見(jiàn)載荷加速度對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)的影響同樣不可忽視。圖7 為對(duì)應(yīng)的載荷作用時(shí)刻梁上各點(diǎn)撓度的變化規(guī)律，可以看出，加速度的改變并沒(méi)有對(duì)滯后現(xiàn)象造成影響，撓度最大值仍舊出現(xiàn)在載荷作用的后方。

圖6 不同加速度下?lián)隙入S時(shí)間的變化

圖7 不同加速度下載荷作用時(shí)刻梁上各點(diǎn)的撓度

3.4 地基剪切力影響

圖 8 計(jì)算了移動(dòng)集中載荷在初速度v0=10 m/s、加速度a= 10 m/s2的情況下，地基剪切力對(duì)梁撓度變化規(guī)律的影響。圖上清楚地展現(xiàn)出地基剪切力對(duì)梁撓度變化有著較大影響，地基剪切力從0(退化為Winkler 地基模型)增大到12.8×107N時(shí)，梁的撓度最大值減少了40.61%，并且當(dāng)不考慮剪切力時(shí)，梁還會(huì)出現(xiàn)一定的負(fù)撓度，地基剪切力增大后，梁的動(dòng)撓度會(huì)變小。造成這種情況的原因是，Pasternak 地基模型考慮了土體彈簧之間剪切相互作用的影響，這種相互作用可以有效地抑制梁的振動(dòng)，所以從最后的計(jì)算結(jié)果上看，在考慮了地基剪切力影響的Pasternak 地基模型計(jì)算結(jié)果要比在Winkler 地基模型的計(jì)算結(jié)果小。由此可知，在計(jì)算黏彈性地基梁的動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，不能夠忽略地基剪切力的影響。此外，從圖上還可以看出，地基剪切力的增大，使得梁撓度變化曲線整體向左偏移，即地基剪切力對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的滯后有一定影響。

圖8 不同剪切力下?lián)隙入S時(shí)間的變化規(guī)律

3.5 地基彈性模量影響

圖 9 顯示了移動(dòng)集中載荷在初速度v0=10 m/s、加速度a=10 m/s2的情況下，地基彈性模量對(duì)梁撓度變化規(guī)律的影響，地基彈性模量的取值有2.5，5，7.5，10 MPa。從圖上可以看出，地基彈性模量對(duì)梁的動(dòng)撓度有著十分明顯的影響，但彈性模量在不同范圍的影響不同。當(dāng)?shù)鼗鶑椥阅Ａ繌?.5 MPa增大到5 MPa 時(shí)，梁撓度減少了大約15.96%，而當(dāng)彈性模量從7.5 MPa 增大到10 MPa 時(shí)，梁撓度只減少了大約9.49%。此外，隨著地基彈性模量的改變，梁撓度變化曲線的總體趨勢(shì)沒(méi)有改變，說(shuō)明動(dòng)力響應(yīng)的滯后現(xiàn)象與彈性模量沒(méi)有關(guān)系。

圖9 不同彈性模量下?lián)隙入S時(shí)間的變化規(guī)律

3.6 地基阻尼影響

關(guān)于不同初速度下阻尼對(duì)地基梁動(dòng)力響應(yīng)影響方面的研究已有學(xué)者做了相關(guān)工作[18]，在此本文僅對(duì)不同加速度情況進(jìn)行研究。圖10 顯示了移動(dòng)集中載荷在初速度為v0= 10 m/s，加速度分別為a=10 m/s2，a=50 m/s2的情況下，阻尼對(duì)地基梁撓度變化規(guī)律的影響。比較兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)鼗枘釓?.73×105N/(m/s)增大到3.64×106N/(m/s)，在加速度為10 m/s2時(shí)梁撓度最大值減少了44.96%，在加速度為50 m/s2時(shí)梁撓度最大值減少了65.88%，加速度較大時(shí)地基阻尼的影響更為顯著。此外，隨著地基阻尼的增大，梁撓度曲線明顯向右偏移，即梁撓度最大值出現(xiàn)的時(shí)間發(fā)生了滯后。當(dāng)?shù)鼗枘彷^小時(shí)，梁撓度變化曲線是關(guān)于載荷作用時(shí)刻對(duì)稱(chēng)的，而隨著阻尼的增大，梁撓度變化曲線的不對(duì)稱(chēng)性愈發(fā)明顯，因此阻尼是導(dǎo)致動(dòng)力響應(yīng)發(fā)生延遲的原因。

圖10 不同阻尼下?lián)隙入S時(shí)間的變化規(guī)律

為更近一步研究地基阻尼對(duì)梁撓度最大值的影響，圖11 顯示了在不同載荷加速度的情況下，地基阻尼對(duì)地基梁撓度最大值的影響規(guī)律。從圖上可以發(fā)現(xiàn)，在無(wú)地基阻尼和較低地基阻尼情況下(c ＜260 kN/(m/s))，移動(dòng)載荷的加速度越大，產(chǎn)生的梁撓度最大值就越大，而當(dāng)?shù)鼗枘彷^大時(shí)(c ＞260 kN/(m/s))，移動(dòng)載荷的加速度越大，產(chǎn)生的梁撓度最大值就越小。此外還可以得出，移動(dòng)載荷的加速度較小時(shí)，地基梁撓度最大值隨地基阻尼的增大衰減較慢，而當(dāng)移動(dòng)載荷的加速度較大時(shí)，地基梁撓度最大值隨地基阻尼的增大衰減較快。

圖11 撓度最大值與地基阻尼的關(guān)系

4 結(jié)論

本文對(duì)Pasternak 黏彈性地基上有限長(zhǎng)梁在變速移動(dòng)載荷作用下的梁撓度進(jìn)行了解析推導(dǎo)，得到了梁撓度的積分表達(dá)式，從中得出以下幾個(gè)結(jié)論：

(1) 其他條件相同時(shí)，載荷初速度從0 增大到100 m/s 時(shí)，梁的撓度最大值減小了大約72.66%，加速度從0 增大到100 m/s2時(shí)，梁撓度最大值減小了大約35.9%。

(2) 梁撓度與彈性模量、地基剪切力密切相關(guān)。增大彈性模量可以有效抑制梁的振動(dòng)；對(duì)于地基剪切力，地基剪切力從0 增大到12.8×107N 時(shí)，梁的撓度幅值相對(duì)減少了40.61%。地基彈性模量不影響動(dòng)力響應(yīng)的滯后現(xiàn)象，而地基剪切力增大，梁撓度曲線向左偏移，說(shuō)明地基剪切力對(duì)滯后現(xiàn)象有削弱的作用。

(3) 當(dāng)?shù)鼗枘釓?.73× 105N/(m/s) 增大到3.64×106N/(m/s) 時(shí)，在加速度為10 m/s2時(shí)梁撓度最大值減少了44.96%，在加速度為50 m/s2時(shí)梁撓度最大值減少了65.88%，加速度較大時(shí)地基阻尼的影響更為顯著。

(4)在研究不同加速度下，地基阻尼對(duì)梁撓度最大值影響時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)鼗枘嵝∮?60 kN/(m/s)，梁撓度最大值會(huì)隨著載荷加速度的增大而增大，而當(dāng)?shù)鼗枘岽笥?60 kN/(m/s)，梁撓度最大值會(huì)隨著載荷加速度的增大而減小。