3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

盧帥龍, 楊富富, 陳昆精

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院， 福建 福州 350108)

0 引言

相較于串聯(lián)機(jī)構(gòu)， 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有累積誤差小[1]、 精度較好、 承載能力大等優(yōu)點(diǎn). 其中Gough-Stewart[2]平臺(tái)成為6自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的經(jīng)典機(jī)構(gòu)， 主要用于大負(fù)載的場(chǎng)合， 也是目前應(yīng)用比較廣泛且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的一類(lèi)并聯(lián)機(jī)構(gòu)[3]. 1985年， 瑞士Clavel博士[4]發(fā)明了3 自由度平移并聯(lián)機(jī)器人， 即 Delta機(jī)械手. 因其具有高速、 靈活性強(qiáng)以及整體質(zhì)量輕[5-6]的優(yōu)點(diǎn)， 在快速分揀等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用.

但工作空間小且本體占用空間大的特點(diǎn)在一定程度上也制約著并聯(lián)機(jī)構(gòu)的應(yīng)用[7]. 若在并聯(lián)機(jī)構(gòu)中引入可折疊性能， 將會(huì)對(duì)這些性能進(jìn)行改善并有利于工業(yè)應(yīng)用[8]. 國(guó)內(nèi)外已有一些學(xué)者在這方面做了嘗試. Chung等[9-10]利用剪叉機(jī)構(gòu)的可折疊性研究了一種具有2R1T運(yùn)動(dòng)的新型三自由度可折疊機(jī)構(gòu)， 在搬運(yùn)大型玻璃板以及平板電視調(diào)姿等方面得到了較好的應(yīng)用. Wang 等[11]提出一種新型的可折疊六自由度并聯(lián)機(jī)器人， 通過(guò)在每條支鏈上增加彈簧來(lái)獲得更大的驅(qū)動(dòng)力， 具有較大的垂直折疊能力. Xu等[12]提出一種3UU-3URU可展開(kāi)單元， 并利用其構(gòu)建了可展開(kāi)并聯(lián)機(jī)構(gòu). 房海蓉等[13]利用具有大縮放比的菱形機(jī)構(gòu)作為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的支鏈， 提出一種新型四自由度可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 具有結(jié)構(gòu)緊湊、 工作空間大的優(yōu)點(diǎn). 利用三重對(duì)稱(chēng)Bricard 機(jī)構(gòu)的折疊性能， 成棟良[14]設(shè)計(jì)一種可折疊的 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 極大減小了機(jī)構(gòu)的空間占用， 便于運(yùn)輸以及搬運(yùn). 耿明超等[15]為了實(shí)時(shí)調(diào)整衛(wèi)星相機(jī)的位姿提出一種6-UPRRUS折疊式六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 并對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析.

然而， 以上研究均通過(guò)增加一些機(jī)構(gòu)單元(剪叉機(jī)構(gòu)， 3UU-3URU可展開(kāi)機(jī)構(gòu)， 菱形機(jī)構(gòu)， 三重對(duì)稱(chēng)Bricard 機(jī)構(gòu)等)來(lái)實(shí)現(xiàn)可展性能， 會(huì)使整個(gè)機(jī)構(gòu)的機(jī)械本體結(jié)構(gòu)復(fù)雜、 穩(wěn)定性較差且工作空間較小. 若利用結(jié)構(gòu)自身特點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)折疊， 不僅便于運(yùn)輸及存儲(chǔ)， 還將大大簡(jiǎn)化機(jī)構(gòu)的制造與裝配， 也因此有助于提升系統(tǒng)穩(wěn)定性.

本研究提出一種全新的6自由度3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 并對(duì)其運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行研究. 首先利用螺旋理論對(duì)自由度進(jìn)行分析. 其次， 通過(guò)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程， 推導(dǎo)出其位置正逆解、 速度雅可比矩陣， 并對(duì)機(jī)構(gòu)折疊性進(jìn)行分析. 最后， 通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真， 驗(yàn)證了理論計(jì)算的正確性. 研究結(jié)果表明， 該機(jī)構(gòu)具有良好的折疊性能， 且結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單， 可在一定程度上克服并聯(lián)機(jī)構(gòu)占用空間大的缺點(diǎn)， 具有較好的工程應(yīng)用優(yōu)勢(shì).

1 機(jī)構(gòu)分析以及自由度計(jì)算

1.1 3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)

3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖1所示， 由動(dòng)平臺(tái)(H1H2H3)， 定平臺(tái)(A1A2A3)， 以及3組結(jié)構(gòu)相同的混合支鏈構(gòu)成.每組混合支鏈都由一個(gè)閉環(huán)子鏈和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副串聯(lián)而成， 如△D1H1H3與桿A1D1串聯(lián)成其中一組混合支鏈.該機(jī)構(gòu)的定/動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系如圖1所示， 取定平臺(tái)△A1A2A3中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，Y軸平行于A3A1，Z軸豎直向上， 并按右手定則確定X軸， 建立定平臺(tái)坐標(biāo)系O-XYZ(作為全局坐標(biāo)系).取動(dòng)平臺(tái)△H1H2H3中心為原點(diǎn)O′，Y′軸平行于H2H3方向，Z′軸豎直向上， 并按右手定則確定X′軸， 建立動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′.

3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸入?yún)?shù)為θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3， 其中：θi表示定平臺(tái)上的轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri的轉(zhuǎn)動(dòng)角度(從過(guò)Ri軸線并垂直于OXY的平面轉(zhuǎn)動(dòng)到Ak，Ai，Di點(diǎn)(i=1, 2, 3;j=2, 3, 1;k=3, 1, 2)形成的平面之間的夾角)， 并以圖1(a)箭頭方向?yàn)棣萯的正方向.li表示3個(gè)移動(dòng)副所在桿DiHi的桿長(zhǎng).以動(dòng)平臺(tái)的位姿參數(shù)X1，Y1，Z1，θ4，θ5，θ6作為輸出變量， 其中X1，Y1，Z1為動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O′在全局坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，θ4，θ5，θ6為動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)參數(shù).AiDi與轉(zhuǎn)動(dòng)副Ri軸線的夾角(∠AkAiDi，i=1, 2, 3，j=2, 3, 1，k=3, 1, 2)均為π-σ.因機(jī)構(gòu)由3組結(jié)構(gòu)相同的混合支鏈構(gòu)成以及△A1A2A3為正三角形， 故可令|AiDi|=b， |HiHj|=d， |DiHk|=c， |AiAj|=a，i=1, 2, 3;j=2, 3, 1;k=3, 1, 2.如圖1(c)所示， 取θ1=θ2=θ3=0，θ4=θ5=0，θ6=-π/3為該機(jī)構(gòu)的初始位形.

圖1 3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖及模型圖Fig.1 Schematic and model diagrams for the 3-R(US&SPU) foldable parallel mechanism

1.2 機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算

采用螺旋理論[16]對(duì)3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行自由度分析. 因每組混合支鏈中均含有閉環(huán)子鏈， 故需先對(duì)其進(jìn)行分析. 第I組混合支鏈中的閉環(huán)子鏈由U1S6支鏈和S1P1U4支鏈構(gòu)成.因S1P1U4支鏈可視為無(wú)約束支鏈， 僅U1S6支鏈對(duì)整個(gè)閉環(huán)子鏈起到約束作用， 故以下自由度分析將去除S1P1U4支鏈上的運(yùn)動(dòng)副和構(gòu)件.選取轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的中心為坐標(biāo)系原點(diǎn)o1，y1軸和轉(zhuǎn)動(dòng)副R1的軸線重合，z1軸豎直向上， 并按照右手定則確定x1軸， 建立第I組混合支鏈的分支坐標(biāo)系o1-x1y1z1， 如圖1(c)所示.

在初始位形下，A1，D1，H3，H1在o1-x1y1z1坐標(biāo)系的坐標(biāo)矢量為：

(1)

可得到第I組混合支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋系：

(2)

其中: 分量r1，r2，r3，r4，r5，r6分別為：

(3)

由運(yùn)動(dòng)螺旋系的秩為6， 得知第一組混合支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系的秩為0. 因其它兩組混合支鏈與第一組結(jié)構(gòu)參數(shù)完全相同， 故三個(gè)支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)的約束螺旋系的秩為0. 因此， 3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度， 分別是沿X軸的移動(dòng)及繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)， 沿Y軸的移動(dòng)及繞Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)， 沿Z軸的移動(dòng)及繞Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng).

為進(jìn)一步驗(yàn)證3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度， 根據(jù)修正的Kutzbach-Grübler公式[17]：

(4)

其中：M為機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目； 階數(shù)d=6；n=8為機(jī)構(gòu)總的構(gòu)件數(shù)量；g=9為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副的數(shù)量；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)量， 共18個(gè)； 因機(jī)構(gòu)冗余約束以及局部自由度的數(shù)量均為0， 故ν=0，ξ=0. 結(jié)果顯示， 3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度， 與螺旋理論分析結(jié)果一致.

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正逆解

2.1 位置逆解

運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解是已知末端操作平臺(tái)的空間位姿， 反求出移動(dòng)副所在桿的長(zhǎng)度或者轉(zhuǎn)動(dòng)副所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度. 對(duì)于3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)， 就是已知?jiǎng)悠脚_(tái)的空間位置和姿態(tài)， 求解3個(gè)移動(dòng)副所在桿的桿長(zhǎng)li(i=1, 2, 3)以及3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的旋轉(zhuǎn)角度θi(i=1, 2, 3).動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系O′-X′Y′Z′最終的姿態(tài)矩陣[18]為：

(5)

式中： cθi=cosθi， sθi=sinθi，i=4, 5, 6.

通過(guò)坐標(biāo)變換方法， 可將動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系中的向量變換到全局坐標(biāo)系中：

(6)

根據(jù)式(6)可得H1，H2，H3在全局坐標(biāo)系中的表達(dá)， 同時(shí)根據(jù)機(jī)構(gòu)的參數(shù)條件可知D1，D2，D3在全局坐標(biāo)系中的坐標(biāo).因桿長(zhǎng)|D1H3|=|D2H1|=|D3H2|=c， 故可得3個(gè)約束方程：

(7)

式中： cθi=cosθi， sθi=sinθi， cσ=cosσ， sσ=sinσ，i=1, 2, 3； 變量s1，s2，s3，s4，s5，s6分別為：

s1=cosθ4×sinθ6,s2=cosθ4×cosθ6,s3=sinθ4,s4=cosθ5×cosθ6-sinθ4×sinθ5×sinθ6

s5=cosθ5×sinθ6+sinθ4×sinθ5×cosθ6,s6=-cosθ4×sinθ5

求解式(7)即可得到3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的轉(zhuǎn)動(dòng)量θi的兩組解， 如：

(8)

其中：

根據(jù)求解的θi， 可得Hi在全局坐標(biāo)系的具體坐標(biāo)值， 亦可得DiHi在全局坐標(biāo)系表示為：

DiHi=OHi-ODi(i=1, 2, 3)

(9)

把Di，Hi，i=1, 2, 3的坐標(biāo)帶入式(9)， 可得li(i=1, 2, 3)：

2.2 位置正解

運(yùn)動(dòng)學(xué)位置正解是已知機(jī)構(gòu)移動(dòng)副所在桿的長(zhǎng)度或者轉(zhuǎn)動(dòng)副所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度， 求解機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的空間位姿參數(shù)， 在3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)中就是已知θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3， 求解動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O′點(diǎn)的坐標(biāo)X1，Y1，Z1以及動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)θ4，θ5，θ6角度的大小.在前一節(jié)中， 已建立機(jī)構(gòu)輸出變量θ4，θ5，θ6，X1，Y1，Z1和機(jī)構(gòu)輸入變量θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3間的6個(gè)約束方程， 如式(7)和(10)所示.它們組成含6個(gè)未知參數(shù)的高度非線性方程, 結(jié)合Matlab的fsolve函數(shù)可進(jìn)行求解. 給定機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示. 在Matlab中建立約束方程， 給定初始搜索值， 利用fsolve函數(shù)進(jìn)行迭代搜索即可得到該機(jī)構(gòu)的數(shù)值位置正解.任選兩組機(jī)構(gòu)輸入?yún)?shù)θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3， 得到動(dòng)平臺(tái)的位姿參數(shù)X1，Y1，Z1，θ4，θ5，θ6的結(jié)果, 如表2所示.

表1 3-R(US&SPU)可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)尺寸參數(shù)

表2 位置正解數(shù)據(jù)

3 速度分析

(11)

(12)

對(duì)式(8)中的第二組和式(10)共6個(gè)方程兩端分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)， 可確定驅(qū)動(dòng)副輸入的速度和動(dòng)平臺(tái)輸出的速度之間的映射關(guān)系， 則

(13)

其中：

(14)

(15)

4 仿真分析

采用SolidWorks的Motion模塊進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真， 并與運(yùn)動(dòng)學(xué)理論結(jié)果進(jìn)行比對(duì). 具體地， 設(shè)動(dòng)平臺(tái)的初始位姿為(0， 0， 275， 0， 0， 0.349 0)T， 以5 mm·s-1的速度沿(0.6， 0.8， 0)T方向勻速運(yùn)動(dòng). 經(jīng)過(guò)5 s， 動(dòng)平臺(tái)的位姿為(15， 20， 275， 0， 0， 0.349 0)T， 得到各驅(qū)動(dòng)參數(shù)的位移曲線, 如圖2所示. 同時(shí)， 利用由理論分析得到的位置逆解， 在Matlab中計(jì)算得到各驅(qū)動(dòng)參數(shù)的位移曲線, 如圖3所示.

圖2 仿真分析得出的驅(qū)動(dòng)參數(shù)位移隨著時(shí)間的變化Fig.2 Curves of driving displacements vs time by the simulation analysis

圖3 理論計(jì)算得出的驅(qū)動(dòng)參數(shù)位移隨著時(shí)間的變化Fig.3 Curves of driving displacement vs time by the theoretical study

通過(guò)比對(duì)發(fā)現(xiàn)， 仿真分析得出的桿長(zhǎng)位移隨著時(shí)間的變化曲線與理論分析得出的曲線相差0.004%以?xún)?nèi)， 仿真分析得出的角位移隨著時(shí)間的變化曲線與理論分析得出的曲線相差0.01%以?xún)?nèi). 驗(yàn)證了位置逆解的正確性， 為之后的工作空間求解、 奇異性分析、 樣機(jī)制作奠定了理論基礎(chǔ). 同時(shí)， 通過(guò)對(duì)位移曲線的觀察可知， 曲線連續(xù)且平緩， 也說(shuō)明了機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能.

5 機(jī)構(gòu)折疊性分析

3-R(US&SPU)并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有較好的折疊性能如圖4所示. 當(dāng)3個(gè)移動(dòng)副位移最大時(shí)， 同時(shí)3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的旋轉(zhuǎn)量為0時(shí)， 機(jī)構(gòu)高度達(dá)到最大而處于最大工作狀態(tài)， 如圖4(a)所示. 當(dāng)機(jī)構(gòu)的3個(gè)移動(dòng)副位移均為0， 即l1,l2,l3都處于最短， 且3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副的旋轉(zhuǎn)量為-90°時(shí)， 機(jī)構(gòu)高度達(dá)到最小從而處于折疊狀態(tài)， 如圖4(b)所示. 取表1所示的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)尺寸參數(shù)， 機(jī)構(gòu)的最大工作高度可達(dá)352 mm， 機(jī)構(gòu)處于折疊狀態(tài)時(shí)， 整個(gè)機(jī)構(gòu)的高度為81 mm， 高度折展比約為4.35.

圖4 機(jī)構(gòu)展開(kāi)以及折疊時(shí)的狀態(tài)Fig.4 State at which the mechanism unfolds and folds

機(jī)構(gòu)從完全展開(kāi)變?yōu)檎郫B狀態(tài)，li值從最大的225 mm減小至155 mm，θi值從0°減小至-90°，Z值從最大的352.4 mm減小到81.14 mm, 整個(gè)變換過(guò)程連續(xù)運(yùn)動(dòng)， 如圖5所示， 故為工程應(yīng)用提供了良好的運(yùn)動(dòng)性能.

圖5機(jī)構(gòu)從完全展開(kāi)變?yōu)檎郫B狀態(tài)時(shí)θi值和li值的變化Fig.5 Change of θi and li values when the mechanism changes from full expansion to folded state

6 結(jié)語(yǔ)

結(jié)合可展結(jié)構(gòu)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)， 提出一種新型的可折疊并聯(lián)機(jī)構(gòu)——3-R(US&SPU). 通過(guò)螺旋理論對(duì)其進(jìn)行了自由度分析， 結(jié)果表明機(jī)構(gòu)具有6個(gè)自由度. 進(jìn)而分析了該機(jī)構(gòu)的位置正逆解， 并得出機(jī)構(gòu)的速度雅可比矩陣. 利用SolidWorks的Motion模塊進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真分析， 其分析結(jié)果與理論結(jié)果相差0.01%以?xún)?nèi)， 驗(yàn)證了位置逆解的正確性， 為之后的性能研究奠定了基礎(chǔ). 當(dāng)機(jī)構(gòu)處于工作狀態(tài)時(shí)， 可利用驅(qū)動(dòng)副的連續(xù)運(yùn)動(dòng)， 讓機(jī)構(gòu)快速達(dá)到需要的工作高度. 4.35倍的高度折展比可大幅度降低運(yùn)輸以及維護(hù)成本， 并使機(jī)構(gòu)適用于不同工作高度， 且可提高空間利用率. 同時(shí)， 該機(jī)構(gòu)具有良好的運(yùn)動(dòng)性能， 有較好的工程應(yīng)用潛力.